1.2數(shù)列的極限課公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義概念的引入正六邊形的面積A1正形的面積正十二邊形的面積A2計(jì)算圓的面積1.數(shù)列的概念按照某一法則,對(duì)每一nN,對(duì)應(yīng)著一種擬定的實(shí)數(shù)xn,則得到一種序列 x1,x2,x3,,xn,,這一序列叫做數(shù)列,記為{xn},第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的普通項(xiàng).注意：(1).數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一種點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取(2).數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)2.數(shù)列極限的通俗定義當(dāng)n無限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的普通項(xiàng)xn無限靠近于常數(shù)a,則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a,記為axnn=￥?lim.

當(dāng)n無限增大時(shí),xn無限靠近于a.當(dāng)n無限增大時(shí),|xn-a|無限靠近于0.當(dāng)n無限增大時(shí),|xn-a|能夠任意小,要多小就能有多小.當(dāng)n增大到一定程度后來,|xn-a|能不大于事先給定的任意小的正數(shù).因此,若n增大到一定程度后來,|xn-a|能不大于事先給定的任意小的正數(shù),則當(dāng)n無限增大時(shí),xn無限靠近常數(shù)a.3.數(shù)列極限的精擬定義

設(shè){xn}為一數(shù)列

如果存在常數(shù)a

對(duì)于任意給定的正數(shù)e

總存在正整數(shù)N

使得當(dāng)n>N時(shí)

不等式|xn

a|<e都成立

則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限

或者稱數(shù)列{xn}收斂于a

記為或如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.習(xí)慣上也說極限定義的簡記形式

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.

注：(1).e的任意性，它是描述xn與a的無限靠近程度.(2).N與ε有關(guān)，但不唯一.(3)幾何解釋:(4).數(shù)列極限的定義未給出求極限的辦法.當(dāng)n>N時(shí),全部的點(diǎn)xn都落在開區(qū)間(a-e,a+e),只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在這區(qū)間以外.二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么它的極限唯一

證明:

假設(shè)同時(shí)有axnn=￥?lim及bxnn=￥?lim,

且a<b.

按極限的定義,

對(duì)于2ab-=e>0,

存在充分大的正整數(shù)N,

使當(dāng)n>N時(shí),同時(shí)有

|xn-a|<2ab-=e

及|xn-b|<2ab-=e,

因此同時(shí)有

2abxn+<及2abxn+>,

這是不可能的.因此只能有a=b.定理2(收斂數(shù)列的有界性)收斂數(shù)列{xn}一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),有從而有取

則有由此證明收斂數(shù)列必有界.注此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性)

若時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起子數(shù)列的收斂性注：例如，所謂子數(shù)列是指：數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列{xn}中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列（或子列）.

在子數(shù)列中，一般項(xiàng)是第k項(xiàng)，而在原數(shù)列中卻是第項(xiàng)，顯然，

定理4(收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列{xn}收斂于a，那末它任一子數(shù)列也收斂,且極限也是a.證:

設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)

時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明******************************************注:若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,則原數(shù)列一定發(fā)散.故數(shù)列發(fā)散.

證：因?yàn)楫?dāng)時(shí),證明數(shù)列是發(fā)散的.收斂準(zhǔn)則

單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N”定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性