《近世代數(shù)》第二章 群論目錄 2.6.置換群

§6.置換群

6.1置換群6.2置換的表示方法:2-行法6.3循環(huán)6.4補(bǔ)充結(jié)論變換群的一種特例,叫做置換群,在代數(shù)里占一個很重要的地位.比方說,在解決方程能不能用根號解這個問題時就要用到這種群．這種群還有一個特點(diǎn)，就是它們的元可以用一種很具體的符號來表示，使得這種群里的計(jì)算比較簡單．現(xiàn)在我們把這種群討論一下．6.1置換群定義1一個有限集合的一個一一變換叫做一個置換．一個有限集合的若干個置換作成的一個群叫做一個置換群．

我們看一個有限集合，有個元．由Ⅱ，５，的全體置換作成一個群．定義2一個包含個元的集合的全體置換作成的群叫做次對稱群．這個群用來表示．定理１次對稱群的階是！．6.2置換的表示方法:2-行法現(xiàn)在我們要看一看表示一個置換的符號．這種符號普通有兩種，我們先說明第一種．我們看一個置換這樣一個置換所發(fā)生的作用完全可以由，，…，這對整數(shù)來決定．表示置換的第一個方法就是把以上這個置換寫成形式不唯一.在這種表示方法里，第一行的個數(shù)字的次序顯然沒有什么關(guān)系，比方說以上的我們也可用例１．假如那么

不過我們普通用來表示這個．例２有６個元．這６個元可以寫成，，，，，●如何計(jì)算乘法?(注意我們規(guī)定的順序)(從右向左)●如何求逆?

=??無限非交換群我們已經(jīng)看到過，這是我們的第一個有限非交換群的例子．可以說是一個最小的有限非交換群，因?yàn)橐院笪覀儠?，一個有限非交換群至少要有六個元．●所以不是交換群．6.3循環(huán)為了說明置換的第二種表示方法，我們先證明一個公式．看兩個特殊的置換：,那么以下公式成立：●先看一個例子●證明這個公式.我們只須注意，因?yàn)槭?，，?這個元的一一變換，而在之下，，…,已經(jīng)各是，…,的象,所以它們不能再是的象,這就是說,這樣，將變成.顯然，將變成定義的一個把變成變到，變到，…，變到，而使得其余的元，假如還有的話，不變的置換，叫做一個循環(huán)置換．這樣的一個置換我們用符號，，…或來表示．2-循環(huán)稱為對換.例３我們看，這里一個任意的置換當(dāng)然不一定是一個循環(huán)置換．例４的就不是一個循環(huán)置換．定理２每一個個元的置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字的（不相連的）循環(huán)置換的乘積．一般來說，我們有但是,我們再用歸納法．

證明先看一個例子.

在中，

I.當(dāng)不使任何元變動的時候，就是當(dāng)是恒等置換的時候，定理是對的．II.假定對于最多變動個元的定理是對的．現(xiàn)在我們看一個變動個元的．我們?nèi)我馊∫粋€被變動的元，從出發(fā)我們找的象，的象，這樣找下去，直到我們第一次找到一個為止，這個的象不再是一個新的元，而是我們已經(jīng)得到過的一個元:因?yàn)槲覀円还仓挥袀€元，這樣的是一定存在的．我們說．因?yàn)橐呀?jīng)是的象，不能再是的象．這樣，我們得到因?yàn)橹皇箓€元變動，，假如

，本身已經(jīng)是一個循環(huán)置換，我們用不著再證明什么．假如

，由公式（1），但只使得個元變動，照歸納法的假定，可以寫成不相連的循環(huán)置換的乘積：在這些里不會出現(xiàn).不然的話,那么同不會再在其余的中出現(xiàn),也必使但我們知道,使得不動,這是一個矛盾.這樣,是不相連的循環(huán)置換的乘積:證完

例５

的全體元用循環(huán)置換的方法寫出來是，，，，，；定理３每一個有限群都與一個置換群同構(gòu)．這就是說，每一個有限群都可以在置換群里找到例子．現(xiàn)在置換群又是一種比較容易計(jì)算的群，所以用置換群來舉有限群的例是最合理的事．6.4補(bǔ)充結(jié)論

1.每一個循環(huán)可以寫出對換的乘積.進(jìn)一步,對換個數(shù)的奇偶性是固定的.提示:

2.每一個對換可以寫出形如:(12),(13),…(1n)的乘積.提示:(ij)=(1i)(1j)(1i)3.每一個