考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷14（共150題）

考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷14（共6套）（共150題）考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷第1套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、若當(dāng)x→0時(shí)，有，則a=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，故a=一3．3、設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x)在x=0處連續(xù)，則所以。4、sin(χ－t)2dt＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、標(biāo)準(zhǔn)答案：e-π知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗?、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f’(0)＝，則z＝f(4x2－y2)在點(diǎn)(1，2)處的全微分＝________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx－2dy。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、已知α1=(a，a，a)T，α2=(－a，a，b)T，α3=(－a，－a，－b)T線性相關(guān)，則a，b滿足關(guān)系式________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=0或a=b知識(shí)點(diǎn)解析：n個(gè)n維向量線性相關(guān)<=>｜α1，α2，…，αn｜=0．而故a=0或a=b．8、設(shè)y=ln(1+3一x)，則dy=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)y’=[ln(1+3一x)]’=一9、曲線的全部漸近線為_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0；y=1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閯tx=0為鉛直漸近線；則為鉛直漸近線；則y=1為水平漸近線．10、方程組有非零解，則k=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式等于零，即因此得k=一1．11、微分方程xy’＋y＝0滿足初始條件y(1)＝2的特解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：xy＝2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、由曲線y=和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面圖形的面積為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4ln2知識(shí)點(diǎn)解析：先畫圖，作出y=4x與y=的交點(diǎn)(1，4)，直線y=x與y=的交點(diǎn)(2，2)，由圖可知，面積S分兩塊(如圖1—3—8)。S=∫01(4x一x)dx+∫12(一x)dx=2一=4ln2。13、設(shè)三階矩陣三維列向量α=(a，1，1)T．已知Aα與α線性相關(guān)，則a=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳α與α線性相關(guān)，所以Aα與α成比例，14、微分方程滿足y｜x=1=1的特解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=，x＞e－1知識(shí)點(diǎn)解析：令μ=，則原方程變?yōu)?，分離變量得即，將y｜x=1=1代入上式得C=e。故滿足條件的方程的特解為ex=，x＞e－1。15、設(shè)A＝，則A-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用易見16、微分方程的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程．其通解為y=y齊+y*，其中y齊是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，y*是非齊次方程的一個(gè)特解．因原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為r2一2r+1=0，即(r一1)2=0，特征根為r1,2=1．故y齊=(C1+C2x)ex，其中C1，C2為任意常數(shù)．又據(jù)觀察，顯然y*=1與y齊合并即得原方程通解．17、設(shè)矩陣A=，B=A2+5A+6E，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因B=(A+2E)(A+3E)，又=5B-1，故=5(A+3E)-1(A+2E)-118、設(shè)A2-BA=E，其中A=，則B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于BA=A2-E，又A可逆，則有B=(A2-E)A-1=A-A-1．故19、設(shè)α=[1，2，3]，A=αTβ，則An=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因故An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βαT)(βαT)…(βαT)β=3n-1A．20、設(shè)a，b，a+b均非0，行列式等于_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2(a3+b2)知識(shí)點(diǎn)解析：將第2，3行加到第1行上去，提出公因子2(a+b)后，再將第1列的一1倍加到第2，3列，得到=2(a+b)(一a2+ab一b2)=一2(a3+b3)．21、設(shè)二階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征值為λ1=1，屬于λ1的特征向量為(1，一1)T，若｜A｜=一2，則A=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)矩陣A的特征值λ1=1和λ2對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣Q，使得Q—1AQ=。而相似矩陣的行列式相等，所以一2=｜A｜==λ2，即λ2=一2。又實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0。方程組x1一x2=0的基礎(chǔ)解系為α2=(1，1)T。令Q=(α1，α2)=，則22、設(shè)二次型2x12+x22+x3x2+2x1x2+ax2x3的秩為2，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：該二次型的矩陣為A=，因?yàn)樵摱涡偷闹葹?，所以｜A｜=0，解得a=23、微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(χy)＝Cχ知識(shí)點(diǎn)解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分離變量得，積分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解為ln(χy)＝Cχ．24、設(shè)5χ12＋χ22＋tχ32＋4χ1χ2－2χ1χ3－2χ2χ3為正定二次型，則t的取值范圍是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：t＞2知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣為A＝，因?yàn)槎涡蜑檎ǘ涡?，所以?＞0，－1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．25、=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷第2套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、已知當(dāng)x→0時(shí)，與cosx－1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)A，B為3階矩陣，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，則｜A+B-1｜=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：f(0)=f(0-0)=a，因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以a=-2．5、設(shè)D=，則行列式第1列各元素的代數(shù)余子式之和A11+A21+A31+A41=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：將行列式按第1列展開得A11+A21+A31+A41==0。6、=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由于則7、設(shè)α，β均為3維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果，則αβ=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則可以看出αTβ也就是矩陣αβT的主對(duì)角線元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5．8、設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)=2，則f(x3)｜x=-1=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=-1=3f’(-1)=3f’(1)=6．9、曲線在點(diǎn)(0，1)處的法線方程為__________標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-2x+1．知識(shí)點(diǎn)解析：在點(diǎn)(0，1)處t=0，，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)處法線的斜率為-2，所以法線方程為y-1=-2(x-0)，即y=-2x+1．10、若矩陣A=只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則這個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，0，1)T，其中k≠0知識(shí)點(diǎn)解析：因A只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且r(λE—A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是3E—A=，顯然a≠1。再由(3E—A)x=0的解得特征值λ=3對(duì)應(yīng)的特征向量為(1，0，1)T。故線性無(wú)關(guān)的特征向量是k(1，0，1)T，其中k≠0。11、設(shè)f(x，y，z)一eCyz。，其中z＝z(x，y)是由x＋y＋z＋xyz＝0確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，＝1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、已知f(x)=∫1x2e-t2dt，則∫01xf(x)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(e-1-1)知識(shí)點(diǎn)解析：用分部積分法．由于f’(x)=e-x4(x2)’=2xe-x4，故∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx2=x2f(x)｜01-∫01x2f’(x)dx∫01x2.2xe-x4dx=e-x4｜01=(e-1-1)．13、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)A和B為可逆矩陣，為分塊矩陣，則X－1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)矩陣A，B滿足A*BA－2BA－8E，其中A＝，E為單位矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則B＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ－tan()＋C知識(shí)點(diǎn)解析：17、曲線y＝3χ＋χ＋1的漸近線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝3χ＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：只有間斷點(diǎn)χ＝0，χ＝0為垂直漸近線．又則有斜漸近線y＝3χ＋1．18、計(jì)算行列式=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(a1c2—a2c1)(b1d2—b2d1)知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)行列式按行(列)展開法則，按照第一行展開，=a1c2(b1d2—b2d1)一a2c1(b1d2—b2d1)=(a1c2—a2c1)(b1d2—b2d1)。19、行列式=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：120知識(shí)點(diǎn)解析：將行列式第四行的各元素加到第一行相應(yīng)元素上后，提出公因子10，然后將第四行逐行換至第二行，即原式==10(2—1)(3一1)(4一1)(3—2)(4—2)(4—3)=120。20、設(shè)一階非齊次線性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解y1，y2，若αy1+βy2也是該方程的解，則應(yīng)有α+β=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由y’1+P(x)y1=Q(x)及y’2+P(x)y2=Q(x)得(αy1+βy2)’+P(x)(αy1+βy2)=(α+β)Q(x)．又因αy1+βy2滿足原方程，故應(yīng)有(α+β)Q(x)=Q(x)，即α+β=1．21、設(shè)A是三階矩陣，其三個(gè)特征值為，1，則｜4A*+3E｜=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=，A*的特征值為，4A*+3E的特征值為5，1，2，于是｜4A*+3E｜=10．22、設(shè)有二重特征根，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2或知識(shí)點(diǎn)解析：｜λE一A｜==(λ一2)[λ2一2λ一2(a—2)]=0。如果λ=2是二重根，則λ=2是λ2—2A一2(a—2)=0的單根，故a=2。如果λ2一2λ一2(a—2)=0是完全平方，則有△=4+8(a一2)=0，滿足λ=1是一個(gè)二重根，此時(shí)。23、矩陣A=的非零特征值是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2=4知識(shí)點(diǎn)解析：因得λ=4．24、設(shè)5x12+x22+tx3x2+4x1x2-2x1x3-2x2x3為正定二次型，則t的取值范圍是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：t>2知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣為A=，因?yàn)槎涡蜑檎ǘ涡?，所以?>0，=1>0，｜A｜>0，解得t>2．25、設(shè)函數(shù)f(x)=∫-1x(1一|t")dt(x≥一1)，則曲線y=f(x)與x軸所圍成的平面圖形的面積為______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=∫-10(1+t)dt+∫0x(1一t)dt=當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=∫-1x(1+t)dt=y=f(x)的圖形如圖3—2．于是所求平面圖形的面積為考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷第3套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、D==________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—2000!知識(shí)點(diǎn)解析：D=(—1)r(n—1,n—2…,1,n)，a1,n—1a2,n—2…an—1,1ann=1×2×3×…×1999×2000=—2000!。2、求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、如果，則｜A｜=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：采用矩陣相乘的方法，A中任意兩行成比例，因此該行列式值為0．4、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)=．則f(x)的間斷點(diǎn)為x=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)=當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0，即因?yàn)樗詘=0為f(x)的間斷點(diǎn)，且為第二類間斷點(diǎn)．6、設(shè)B=(E+A)-1(E—A)，則(E+B)-1=_________?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于B+E=(E+A)一1(E一A)+E=(E+A)一1(E—A)+(E+A)一1(E+A)=(E+A)一1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)一1，7、設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)．則fx’(0，1，一1)=______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)f(lnx)=，則∫f(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-∫ln(1+ex)d(e-x)知識(shí)點(diǎn)解析：由則∫f(x)dx==-∫ln(1+ex)d(e-x)9、已知齊次線性方程組有通解k1[2，一1，0，1]T+k2[3，2，1，0]T，則方程組的通解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k(13，一3，1，5)T(k為任意常數(shù))知識(shí)點(diǎn)解析：方程組(2)的通解一定會(huì)在方程組(1)的通解之中，是方程組(1)的通解中滿足(2)中第三個(gè)方程的解，令(1)的通解為滿足(2)的第三個(gè)方程，得(2k1+3k2)一2(一k1+2k2)+0k2+k1=0，得到5k1=k2，將其代入(1)的通解中，得5k2(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k(13，一3，1，5)T，是方程組(2)的通解．10、(a＞0)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用分部積分法．11、設(shè)f(u)連續(xù)，則∫0xdu∫uxvf(u2-v2)dv=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-xf(x2-1)知識(shí)點(diǎn)解析：∫a1vf(u2-v2)dv=∫a1f(u2-v2)d(u2-v2)=∫0n2-1f(t)dt，則∫0xdu∫u1vf(u2-v2)dv=∫0xdu∫0u2-1f(t)dt=∫0x2-1f(t)dt，∫0xdu∫u1vf(u2-v2)dv=-xf(x2-1)．12、設(shè)A為四階可逆方陣，將A第3列乘3倍再與第1列交換位置，得到矩陣B，則B-1A=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、若∫f(x)dx=F(x)+C且x=at+b(a≠0)，則∫f(t)dt=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：F(t)+C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：因F’(x)=f(x)，故F’(t)=f(t)，于是∫f(t)dt=F(t)+C，其中C為任意常數(shù)．14、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則(x2一y)dxdy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用函數(shù)奇偶性及輪換對(duì)稱性15、函數(shù)f(x，y)=ln(x2+y2一1)的連續(xù)區(qū)域是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：{(x，y)|x2+y2>1}知識(shí)點(diǎn)解析：一切多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的．16、設(shè)則f’x(0，1)=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：17、設(shè)A=，且A，B，X滿足(E—B－1A)TBTX=E，則X－1=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由(E—B－1A)TBTX=E，得B(E—B－1A)]TX=E，即(B—A)TX=E，因此X－1=(B—A)T=18、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2arcsin＋C知識(shí)點(diǎn)解析：19、設(shè)A，B均為n階矩陣，且|A|=2，|B|=一3，則|2A*B-1|=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：20、設(shè)A是m階矩陣，B是n階矩陣，且｜A｜=a，｜B｜=b，C=，則｜C｜=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1)mnab知識(shí)點(diǎn)解析：｜C｜==(一1)mn｜A｜｜B｜=(一1)mnab．21、已知齊次方程組同解，a______，b_______，它們的通解________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1；2；c1(1，-1，1，0)T+c2(-1，0，0，1)T，c1，c2任意知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：23、設(shè)D=，則A31+A32+A33=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：A31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A3524、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：2ln2-1．知識(shí)點(diǎn)解析：25、設(shè)α，β為三維非零列向量，(α，β)＝3，A＝αβT，則A的特征值為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ1＝3，λ2＝λ3＝0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳2＝3A，令A(yù)X＝λX，因?yàn)锳2X＝λ2X，所以有(λ2－3λ)X＝0，而X≠0，故A的特征值為0或者3，因?yàn)棣?＋λ2＋λ3＝tr(A)＝(α，β)，所以λ1＝3，λ2＝λ3＝0．考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷第4套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設(shè)函數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則c=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，c≥｜x｜≥0，所以2、設(shè)α為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則矩陣E一ααT的秩為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n一1．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查由矩陣特征值求矩陣秩的方法．要求考生掌握抽象矩陣特征值的求法及其有關(guān)性質(zhì)和相似矩陣有相同的秩等有關(guān)理論．由于矩陣ααT的特征值為0，0，…，l，故矩陣E一ααT的特征值為1，…，1，0，又由于實(shí)對(duì)稱矩陣可相似對(duì)角化，其對(duì)角矩陣的秩為n—1，且相似矩陣有相同的秩，故矩陣E一ααT的秩為n—1．3、從R2的基的過(guò)渡矩陣為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查向量空間兩個(gè)基之間過(guò)渡矩陣的概念．設(shè)所求的過(guò)渡矩陣為A，則有(β1β2)=(α1,α2)A，即于是4、xy=yx，則y’=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由xy=yx，得ylnx-xlny，兩邊求導(dǎo)數(shù)得y’lnx+解得y’=5、函數(shù)y=x2x在區(qū)間(0，1]上的最小值為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥’=x2x(21nx+2)，令y’=0得駐點(diǎn)為6、當(dāng)χ→0時(shí)，－1～cos2χ－1，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣帧?時(shí)，，cos2χ－1一(cosχ＋1)(cosχ－1)～－χ2，且－1～cos2χ－1，所以a＝－3．7、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且，則z＝f(4x2－yx)在點(diǎn)(1，2)處的全微分＝_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx－2dy；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)曲線的參數(shù)方程為則對(duì)應(yīng)于的曲線段的弧長(zhǎng)s=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤’(t)=cost，因此當(dāng)t∈時(shí)，曲線的弧微分為因此，相應(yīng)的曲線段的弧長(zhǎng)為9、若向量組(Ⅰ)：α1＝(1，0，0)T，α2＝(1，1，0)T，α3＝(1，1，1)T可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，β3，β4線性表示，則向量組(Ⅱ)的秩為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3．知識(shí)點(diǎn)解析：由條件知3＝r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤3，r(Ⅱ)＝3．10、若a＞0，，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)α=(1，—1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩陣A的特征值，則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，—1，1)T，k≠0知識(shí)點(diǎn)解析：令B=αβT，那么可知矩陣B的秩是1，且βTα=a+1，因此Bα=αβTα=(a+1)α，由此可知矩陣B的特征值為a+1，0，0，那么A=E+B的特征值為a+2，1，1。又因?yàn)棣?3是矩陣A的特征值，因此1+(a+1)=3，可得a=1。于是有Bα=2α。α=k(1，—1，1)T(k≠0)，是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，也就是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。12、y＝eχ在χ＝0處的曲率半徑為R＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：y′(0)＝1，y〞(0)＝1，則曲線y＝eχ在χ＝0處的曲率為k＝，則曲率半徑為R＝2．13、設(shè)函數(shù)，則dz｜(1，1)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+2ln2)dx一(1+2ln2)dy知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橐虼擞杏忠驗(yàn)橐虼擞兴詃z｜(1，1)=(1+2ln2)dx一(1+2ln2)dy。14、已知三階矩陣A的行列式｜A｜=一3，A*為A的伴隨矩陣，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣。如果kA的逆矩陣為，則k=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由｜A｜=一3可知，即kA的逆矩陣為。而(kA)一1=k一3A一1，所以15、設(shè)u=x4+y4一4x2y2,則標(biāo)準(zhǔn)答案：12x2一8y2知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)f(x，y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足f(1，2)=1，f’x(1，2)=2，f’y(1，2)=3，Ф(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，則Ф’(1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：302知識(shí)點(diǎn)解析：Ф(x)=f(x，u(x))，u(x)=2f(x，v(x))，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2f(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1))=2f(1，2)=2，Ф’(1)=f’1(1，2)+f’2(1，2)u’(1)=2+3u’(1)，u’(1)=2[f’1(1，2)+f’2(1，2)v’(1)]=2[2+3v’(1)]，v’(1)=2[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=2(2+2.3)=16．往回代=>u’(1)=2(2+3.16)=100，Ф’(1)=2+3×100=302．17、設(shè)A，B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B一2E)—1=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用已知條件AB=2A+3B，通過(guò)移、添加項(xiàng)構(gòu)造出B一2E，于是有AB一2A—3B+6E=6E，則有(A一3E)(B一2E)=6E。從而(B一2E)—1=18、設(shè)，B是三階非零矩陣，且AB=O，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=O，則有r(A)+r(B)≤3，又已知矩陣B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，則行列式｜A｜=0。而所以。19、設(shè)A=，則A-1=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用和A-1=A*易見20、四元方程組Aχ＝b的三個(gè)解是α1，α2，α3，其中α1＝(1，1，1，1)T，α2＋α3＝(2，3，4，5)T，如r(A)＝3，則方程組Aχ＝b的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1，1)T＋k(0，1，2，3)T．知識(shí)點(diǎn)解析：由(α2＋α3)－2α1＝(α2－α1)＋(α3－α1)＝(2，3，4，5)T－2(1，1，1，1)T＝(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Aχ＝0的解．又秩r(A)＝3，n－r(A)＝1，所以Aχ＝b的通解是(1，1，1，1)T＋k(0，1，21、設(shè)f′(sin2χ)＝cos2χ＋tan2χ，則f(χ)＝_______(0＜χ＜1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：－χ2－ln(1－χ)＋C知識(shí)點(diǎn)解析：由f′(sin2χ)＝1－2sin2χ＋得f′(χ)＝1－2χ＋－2χ，則f(χ)＝－χ2－ln(1－χ)＋C．22、當(dāng)x→0時(shí)，-1～cos2x-1，則a=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤→0時(shí)，，cos2x-1=(cosx+1)(xosx-1)～-x2，且-1～cosx2-1，所以a=-323、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：24、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，則Q(χ)＝_______，該微分方程的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－12χ2－34χ－19；y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：顯然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程為λ2＋λ－12＝0，特征值為λ1＝－4，λ2＝3．因?yàn)棣?＋3χ＋2為特征方程y〞＋y′－12y＝Q(χ)的一個(gè)特解，所以Q(χ)＝2＋2χ＋3－12(χ2＋3χ＋2)＝－12χ2－34χ－19，且通解為y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))．25、設(shè)A，B都是三階矩陣，，且滿足(A*)-1B=ABA+2A2，則B=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A-1=-3A-1，則(A*)-1B=ABA+2A2化為AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，則=-6A(E+3A)-1，考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷第5套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設(shè)B=(E+A)-1(E—A)，則(E+B)-1=_________?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于B+E=(E+A)一1(E一A)+E=(E+A)一1(E—A)+(E+A)一1(E+A)=(E+A)一1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)一1，2、設(shè)，則f’(f)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2t(2t＋1)；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)u＝f(χ，y，z)，φ(χ2，ey，z)＝0，y＝sinχ，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：作定積分換元x+1=t，則5、設(shè)方陣A滿足A2一A一2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩陣，則(A+2E)-1=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A2一A一2E=O，可得(A+2E)(A一3E)=一4E，于是有(A+2E)-1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)-1，因此6、設(shè)f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則fx’(0，1，一1)=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有fx’(x，y，z)=ex+y2zx’．在等式x+y+z+xyz=0兩端對(duì)x求偏導(dǎo)可得1+zx’+yz+xyzx’=0．由x=0，y=1，z=一1，可得zx’=0．故fe’(0，1，一1)=e0=1．7、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且，則z=f(4x2一y2)在點(diǎn)(1，2)處的全微分dz｜(1,2)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx一2dy．知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用微分的形式計(jì)算，因?yàn)?、設(shè)r(A)=2，則a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A作初等行變換，則有當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=2。9、已知B是三階非零矩陣，且BAT=O，則a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)BAT=0可知，r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3.又因?yàn)锽≠0，因此r(B)≥1，從而有r(A)＜3，即｜A｜=0，因此于是可得10、設(shè)函數(shù)y＝滿足f′(χ)＝arctan，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、矩陣的非零特征值是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)A=(α1，α2，α3，β)，B=(α1，α2，α3，γ)，｜A｜=0，｜B｜=6，則｜A+B｜=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2(a+b)知識(shí)點(diǎn)解析：由題意A+B=(α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ)，即有｜A+B｜=｜α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ｜，將該行列式的第一列的一1倍加到第二列得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，α3+α1，β+γ｜，再將新的行列式的第二列加到第三列可得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，2α3，β+γ｜=2｜α1+α2，一α1，α3，β+γ｜=一2｜α1+α2，α1，α3，β+γ｜=一2｜α2，α1，α3，β+γ｜=一2(｜α2，α1，α3，β｜+｜α2，α1，α3，γ｜)，其中｜α2，α1，α3，β｜=一｜A｜=一a，｜α2，α1，α3，γ｜=一｜B｜=一b，故｜A+B｜=2(a+b)。13、函數(shù)的定義域?yàn)開____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由且z≠0可得．14、設(shè)f(χ，y)連續(xù)，且f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)，其中ρ＝，則dz｜(1，0)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3dχ＋4dy知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ，y)連續(xù)，所以f(1，0)＝9，由f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)得△z＝f(χ，y)－f(1，0)＝3(χ－1)＋4y＋o()，由可微的定義得dz｜(1，0)＝3dχ＋4dy．15、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(t)==_______標(biāo)準(zhǔn)答案：2πf(0，0)知識(shí)點(diǎn)解析：F(t)=f(x，y)dσ=f(ξ，η)．πt2，其中(ξ，η)∈D，D：x2+y2≤t2．16、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域，則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)xf(y2)關(guān)于變量x是奇函數(shù)，故17、設(shè)矩陣的一個(gè)特征值為λ1=一3，且A的三個(gè)特征值之積為一12，則a=__________；b=__________；A的其他特征值為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1；2或一2；λ2=λ3=2知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得｜A｜=一4a—2b2=一12，所以2a+b2=6。又A的特征多項(xiàng)式為而A有特征值一3，所以λ=一3必是方程λ2一(a一2)λ一6=0的根，故a=1，b=2或一2。由｜λE—A｜=(λ一2)(λ2+λ一6)=(λ一2)2(λ+3)可得矩陣A的另外兩個(gè)特征值為λ2=λ3=2。18、設(shè)三階方陣A的特征值是1，2，3，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1,α2,α3，令P=(3α3,α1,α2)，則P一1AP=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?α3，α1，2α2分別為A的對(duì)應(yīng)特征值3，1，2的特征向量，所以19、微分方程的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中C1，C2，C3，C4為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程r4+3r3=0，即r3(r+3)=0．故通解如上．20、已知α1＝(a，a，a)T，α2＝(－a，a，b)T，α3＝(－a，－a，－b)T線性相關(guān)，則a，b滿足關(guān)系式_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝0或a＝b．知識(shí)點(diǎn)解析：n個(gè)n維向量線性相關(guān)｜α1，α2，…，αn｜＝0．而｜α1，α2，α3｜＝＝2a2(a－b)，故a＝0或a＝b．21、A=其中ai≠0，bi≠，i=1，2，…，n，則r(A)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：A≠0，r(A)≥1，故r(A)=1．22、∫max{χ＋2，χ2}dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：max{χ＋2，χ2}＝，當(dāng)χ≤－1時(shí)，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝C1；當(dāng)－1＜χ＜2時(shí)，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋2χ＋C2；當(dāng)χ≥2時(shí)，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋C3．取C2＝C23、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)=4，則=______標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識(shí)點(diǎn)解析：由當(dāng)t→0時(shí)，t-ln(1+t)=由積分中值定理得24、設(shè)A為，2階矩陣，且｜A｜＝0，Aki≠0，則AX＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：C(Ak1，Ak2…，Aki，…，Akn)T(C為任意常數(shù))知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬｜＝0，所以r(A)＜n，又因?yàn)锳ki≠0，所以r(A*)≥1，從而r(A)＝n－1，AX＝0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，又AA*＝｜A｜E＝O，所以A*的列向量為方程組AX＝0的解向量，故AX—O的通解為C(Ak1，Ak2…，Aki，…，Akn)T(C為任意常數(shù))．25、設(shè)，則2f’x(0，0)+f’y(0，0)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：令ρ==2得f(x，y)=-3x+4y+o(ρ)，由二元函數(shù)可全微定義得f’x(0，0)=-3，f’y(0，0)=4，故2f’x(0，0)+f’y(0，0)=-2．考研數(shù)學(xué)二（填空題）模擬試卷第6套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、＝_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、已知f’(3)＝2，則＝_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：－1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、若曲線y=x3+ax2+bx+1有拐點(diǎn)(一1，0)，則b=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意y’=3x2+2ax+b，y’’=6x+2a。令y’’=0，得x==一1，所以a=3。又因?yàn)榍€過(guò)點(diǎn)(一1，0)，代入曲線方程，得b=3。4、若α1=(1，0，5，2)T，α2=(3，一2，3，一4)T，α3=(一1，1，t，3)T線性相關(guān)，則未知數(shù)t=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：α1,α2,α3線性相關(guān)的充分必要條件是齊次方程組x1α1。+x2α2+x3α3=0有非零解．將系數(shù)矩陣通過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣，則有由于方程組有三個(gè)未知數(shù)，如果該方程組有非零解，則系數(shù)矩陣的秩必定小于等于2，因此可知t一1=0，即t=1．5、已知y=ln(x+)，則y’’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：易知6、曲線pθ=1相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)s=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由已知可得。則7、(Ⅰ)下列可表示由雙紐線(x2+y2)2=x2－y2圍成平面區(qū)域的面積的是________．(Ⅱ)由曲線x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(擺線)及x軸圍成平面圖形的面積S=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：A；3πa2知識(shí)點(diǎn)解析：(Ⅰ)雙紐線的極坐標(biāo)方程是：r4=r2(cos20θ－sin2θ)即r2=cos2θ．當(dāng)θ∈[－π，π]時(shí)，僅當(dāng)時(shí)才有r≥0(圖3．25)．由于曲線關(guān)于極軸與y軸均對(duì)稱，如圖3．25，只需考慮θ∈部分．由對(duì)稱性及廣義扇形面積計(jì)算公式得故應(yīng)選A．(Ⅱ)當(dāng)t∈[0，2π]時(shí)，曲線與x軸的交點(diǎn)是x=0，2πa(相應(yīng)于t=0，2π)，曲線在x軸上方，見圖3．26．于是圖形的面積8、=_______(其中a為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：π／4知識(shí)點(diǎn)解析：令I(lǐng)=則2I=9、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ln(x2+y2)一ysinx+x所確定，則|x=0=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)y=y(x)，如果，y(0)=1，且當(dāng)x→+∞時(shí)，y→0，則y=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-x知識(shí)點(diǎn)解析：由已知得由不定積分定義有11、設(shè)y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2確定的隱函數(shù)，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：ex+y+z=x2+y2+z2兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得12、設(shè)A是三階可逆矩陣，A的各行元素之和為k，A*的各行元素之和為m，則｜A｜=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：km知識(shí)點(diǎn)解析：由A的各行元素之和為k，A*的各行元素之和為m可知A(1，1，1)T=k(1，1，1)T，A*(1，1，1)T=m(1，1，1)T，在A(1，1，1)T=k(1，1，1)T兩邊同時(shí)左乘A*可得A*A(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T即｜A｜(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T=km(1，1，1)T，故｜A｜=km。13、設(shè)A=，則(A*)-1=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=10，因?yàn)锳*=｜A｜A-1，所以A*=10A-1，故(A*)-1=14、設(shè)A=，B為三階非零矩陣，且AB=O，則r(A)=_____