考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷1（共169題）

考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷1（共6套）（共169題）考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷第1套一、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：原式==3+0=3．2、設(shè)=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)及現(xiàn)利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換3、設(shè)K，L，δ為正的常數(shù)，則[δK-x+(1-δ)L-x=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：KδL1-δ知識(shí)點(diǎn)解析：屬1∞型極限．原式=，而因此，原式=elnKθ+lnL1-δ=KδL1-δ．4、設(shè)f(x)=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則常數(shù)a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x=0連續(xù)=f(0)．由于因此a=-2．5、1+x2-ex2當(dāng)x→0時(shí)是x的________階無(wú)窮小(填數(shù)字)．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由于因此當(dāng)x→0時(shí)1+x2-ex2是x的4階無(wú)窮?。?、已知=9，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：7、=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“∞0”型未定式．?dāng)?shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則．如用，得先轉(zhuǎn)化成連續(xù)變量的極限，利用求得，但比較麻煩．事實(shí)上，恒等變形后可轉(zhuǎn)化為直接用冪指數(shù)運(yùn)算法則的情形，即=(3.10)1=3．8、若=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：令2x3=y，則故=3+2=5．9、arctan(x-lnx.sinx)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：x-lnx.sinx=，由于x→+∞時(shí)，.sinx→0，x-lnx.sinx→+∞，于是.10、xsinx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“00”型未定式．利用基本極限xx=1及重要極限即得=11=1.11、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，＜1，于是有而=0，故由夾逼定理可知=0．12、設(shè)，則a=______，b=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：；1知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則可得當(dāng)a=0時(shí)又當(dāng)a≠0時(shí)故13、函數(shù)f(x)=的連續(xù)區(qū)間是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(-∞，1)∪(1，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：初等函數(shù)(單一表達(dá)式)沒有定義的點(diǎn)(附近有定義)是間斷點(diǎn)；對(duì)分段函數(shù)的分界點(diǎn)，要用連續(xù)的定義予以討論．對(duì)非分界點(diǎn)，就不同段而言，在各自的區(qū)間內(nèi)可以按初等函數(shù)看待．注意到x=0為分界點(diǎn)．因?yàn)橛謋(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0處連續(xù)．此外，由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處無(wú)定義，因此x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．于是所給函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-∞，1)∪(1，+∞)．二、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)屬型．利用洛必達(dá)法則．原式=(2)記pn=(-npn)=-t，因此，原式=e-t．(3)屬∞-∞型．先通分，有原式=(4)原式=(5)屬00型．故原式=而故原式=e-1．(6)屬∞0型．原式=，而故原式=e0=1．(7)原式=(8)原式(9)屬型．(12)被積函數(shù)中含有參數(shù)x，把因子e-x2提到積分號(hào)外后，易見所求極限為型未定式．應(yīng)當(dāng)想到洛必達(dá)法則，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)xn=ln(1+xn)，x1＞0，(Ⅰ)．求xn；(Ⅱ)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1-xn=ln(1+xn)-xn＜0(n=1，2，3，…){xn}↓有下界極限a=ln(1+a)．又a≥0時(shí)a＞In(1+a)，故a=0．(Ⅱ)原式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)a＞0為常數(shù)，xn=xn.標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜a＜1時(shí)0＜xn＜an，an=0；當(dāng)a=1時(shí)xn==0；當(dāng)a＞1時(shí)0＜xn＜=0．因此xn=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)(x-3sin3x+ax-2+b)=0，試確定常數(shù)a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知利用(*)，一方面有另一方面，直接計(jì)算又有這表明3+a=0a=-3．將a=-3代入(*)式，即得故b=．綜合得a=-3，b=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、討論下列函數(shù)的連續(xù)性并判斷間斷點(diǎn)的類型：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是初等函數(shù)，它在定義域(x2≠1)上連續(xù)．因此，x≠±1時(shí)均連續(xù)．x=±1時(shí)，故x=1是第一類間斷點(diǎn)(跳躍的)．又，故x=-1也是第一類間斷點(diǎn)(可去)．x≠±1時(shí)，｜x｜＜1與｜x｜＞1分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．x=±1時(shí)均是第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．因左、右極限均，不相等．(Ⅲ)在區(qū)間(0，+∞)，[-1，0)上函數(shù))，分別與某初等函數(shù)相同，因而連續(xù)．在x=0處y無(wú)定義，(Ⅳ)f(x)=是初等函數(shù)，在(0，2π)內(nèi)f(x)有定義處均連續(xù)．僅在無(wú)定義處及=0處f(x)不連續(xù)．在(0，2π)內(nèi)因此f(x)的間斷點(diǎn)是：[*.為判斷間斷點(diǎn)類型，考察間斷點(diǎn)處的極限：是第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮型的)．又是第一類間斷點(diǎn)(可去型的)．(Ⅴ)先求f[g(x)]表達(dá)式．當(dāng)x＞1，x＜1時(shí)，f[g(x)]分別與某初等函數(shù)相同，因而連續(xù)．當(dāng)x=1時(shí)，分別求左、右極限故x=1為第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)0＜x0＜1，xn+1=xn(2-xn)，求證：{xn}收斂并求xn.標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x(2-x)，則xn+1=f(xn)．易知f’(x)=2(1-x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1=x0(2-x0)=1-(x0-1)2∈(0，1)．若xn∈(0，1)xn+1=xn(2-xn)∈(0，1)．又x1-x0=x0(1-x0)＞0{xn}單調(diào)上升且有界xn=a．由遞歸方程得a=a(2-a)．顯然a＞0a=1．因此xn=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令取對(duì)數(shù)化乘積為和差知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)，且f(x)～f’(x)，g(x)～g’(x)(x→a)．(Ⅰ)當(dāng)x→a時(shí)f(x)與g(x)可比較，不等價(jià)，求證：f(x)-g(x)～f’(x)-g’(x)(x→a)；(Ⅱ)當(dāng)0＜｜x-a＜δ時(shí)f(x)與f’(x)均為正值，求證：(其中一端極限存在，則另端極限也存在且相等)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)考察極限因此，f(x)-g(x)-f*(x)-g*(x)(x→a)．(Ⅱ)再證知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x)在(a，b)連續(xù)，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn為任意n個(gè)正數(shù)，求證：∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：依題設(shè)n個(gè)函數(shù)值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨設(shè)min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(x2)}=f(x2)，則f(x1)≤αif(xi)≤f(xn)．記η=αif(xi)，若η=f(x1)，則=x1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，則=xn∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，在x1與xn之間，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，且∈[a，b]，總∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．試證：∈[a，b]，使得f(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法．若在[a，b]上f(x)處處不為零，則f(x)在[a，b]上或恒正或恒負(fù)．不失一般性，設(shè)f(x)＞0，x∈[a，b]，則x0∈[a，b]，f(x0)=．由題設(shè)，對(duì)此x0，∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤f(x0)=f(x0)＜f(x0)，與f(x0)是最小值矛盾．因此，∈[a，b]，使f(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，f(x)=A＞0，求證：∫0xf(t)dt=+∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：因，由極限的不等式性質(zhì)可知，，當(dāng)x＞X時(shí)f(x)≥，則x＞X時(shí)有∫0xf(t)dt=∫0Xf(t)dt+∫Xxf(t)dt≥∫0Xf(t)dt+(x-X)，因此∫0xf(t)dt=+∞．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，f(x)=A≠0，證明：∫01f(x)dx=A.標(biāo)準(zhǔn)答案：先作變量替換：∫01f(nx)dx=∫01f(nx)d(nx)∫0nf(t)dt．這是型數(shù)列極限．將它轉(zhuǎn)化為型函數(shù)極限，便可用洛必達(dá)法則求之，即∫01f(nx)dx=∫0nf(t)dt=∫0xf(t)dt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、“f(x)在點(diǎn)a連續(xù)”是｜f(x)｜在點(diǎn)a處連續(xù)的()條件．A、必要非充分B、充分非必要C、充要D、既非充分又非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x=a連續(xù)=>｜f(x)｜在x=a連續(xù)(｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜)．｜f(x)｜在x=a連續(xù)f(x)在x=a連續(xù)．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a連續(xù)，但f(x)在x=a間斷．因此，選B．2、設(shè)f(x)，g(x)在x=x0均不連續(xù)，則在x=x0處A、f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不連續(xù)．B、f(x)+g(x)不連續(xù)，f(x)g(x)的連續(xù)性不確定．C、f(x)+g(x)的連續(xù)性不確定，f(x)g(x)不連續(xù)．D、f(x)+g(x)，f(x)g(x)的連續(xù)性均不確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如：在x=0均不連續(xù)，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均連續(xù)．又如：在x=0均不連續(xù)，而在x=0均不連續(xù)．因此選D．3、把當(dāng)x→0+時(shí)的無(wú)窮小量α=tanx－x，β=∫0x(1－)dt，γ=－1排列起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：即當(dāng)x→0+時(shí)α是比β高階的無(wú)窮小量，α與β應(yīng)排列為β，α．故可排除A與D．即當(dāng)x→0+時(shí)γ是較α高階的無(wú)窮小量，α與γ應(yīng)排列為α，γ．可排除B，即應(yīng)選C．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、設(shè)有定義在(－∞，+∞)上的函數(shù)：則(Ⅰ)其中在定義域上連續(xù)的函數(shù)是________；(Ⅱ)以x=0為第二類間斷點(diǎn)的函數(shù)是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：B；D知識(shí)點(diǎn)解析：(Ⅰ)當(dāng)x＞0與x＜0時(shí)上述各函數(shù)分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．從而只需再考察哪個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)．注意到若f(x)=其中g(shù)(x)在(－∞，0]連續(xù)，h(x)在[0，+∞)連續(xù)．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])=>f(x)在x=0左連續(xù)．若又有g(shù)(0)=h(0)=>f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))=>f(x)在x=0右連續(xù)．因此f(x)在x=0連續(xù)．B中的函數(shù)g(x)滿足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均連續(xù)=>g(x)在x=0連續(xù)．因此，B中的g(x)在(－∞，+∞)連續(xù)．應(yīng)選B．(Ⅱ)關(guān)于A：由=>x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．關(guān)于(C)：由=>x=0是h(x)的第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))．已證B中g(shù)(x)在x=0連續(xù)．因此選D．或直接考察D．由=>x=0是m(x)的第二類間斷點(diǎn)．5、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)及現(xiàn)利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換6、1+x2－當(dāng)x→0時(shí)是x的________階無(wú)窮小(填數(shù)字)．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由于因此當(dāng)x→0時(shí)1+x2－是x的4階無(wú)窮?。?、若=3，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：8、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，＜1，于是有而=0，故由夾逼定理可知=0．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)9、設(shè)f(x)=又a≠0，問a為何值時(shí)存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：分別求右、左極限f(0+0)與f(0－0)，由f(0+0)=f(0－0)定出a值．由f(0+0)=f(0－0)，得a=π．因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=π時(shí)，存在=π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、求標(biāo)準(zhǔn)答案：這是求型極限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得ω==0×2=0．其中=0(用洛必達(dá)法則)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求ω=標(biāo)準(zhǔn)答案：屬型．先作恒等變形然后用等價(jià)無(wú)窮小因子替換：x→0時(shí)最后用洛必達(dá)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求下列極限標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求數(shù)列極限：(Ⅰ)(M＞0為常數(shù))；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{xn}有界，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)存在自然數(shù)k，k≥M，使1＞＞…，當(dāng)n＞k時(shí)，有即當(dāng)n＞k時(shí)，有0＜是常數(shù)，且=0，由夾逼定理知=0．(Ⅱ)由于{xn}有界，故M＞0，對(duì)一切n有｜xn｜≤M．于是0＜，由題(Ⅰ)的結(jié)論及夾逼定理知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=2+，則xn+1=f(xn)．顯然f(x)在x＞0單調(diào)下降，因而由上面的結(jié)論可知{xn}不具單調(diào)性．易知，2≤xn≤．設(shè)=n，則由遞歸方程得a=2+，即a2－2a－1=0，解得a=，則由a≥2知a=+1＞2．現(xiàn)考察｜xn+1－a｜=因此，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)=，(Ⅰ)若f(x)處處連續(xù)，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值時(shí)f(x)有何間斷點(diǎn)，并指出它的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表達(dá)式．當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，f(x)=當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，f(x)==ax2+bx．于是得其次，由初等函數(shù)的連續(xù)性知f(x)分別在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，+∞)上連續(xù)．最后，只需考察f(x)在分界點(diǎn)x=±1處的連續(xù)性．這就要按定義考察連續(xù)性，分別計(jì)算：從而f(x)在x=1連續(xù)<=>(1+0)=f(1－0)=f(1)<=>a+b=1=(a+b+1)<=>a+b=1：f(x)在x=－1連續(xù)<=>(－1+0)=f(－1－0)=f(－1)<=>a－b=－1=(a－b－1)<=>a－b=－1．因此f(x)在x=±1均連續(xù)<=><=>a=0，b=1．當(dāng)且僅當(dāng)a=0，b=1時(shí)f(x)處處連續(xù)．(Ⅱ)當(dāng)(a，b)≠(0，1)時(shí)，若a+b=1(則a－b≠－1)，則x=1是連續(xù)點(diǎn)，只有x=－1是間斷點(diǎn)，且是第一類間斷點(diǎn)；若a－b=－1(則a+b≠1)，則x=－1是連續(xù)點(diǎn)，只有間斷點(diǎn)x=1，且是第一類間斷點(diǎn)；若a－b≠－1目a+b≠1，則x=1，x=－1均是第一類間斷點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求極限ω=標(biāo)準(zhǔn)答案：屬∞.0型．可化為型后作變量替換，接著再用洛必達(dá)法則求極限．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：屬型．先用等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系arctan4x～x4(x→0)化簡(jiǎn)分母后再用洛必達(dá)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知=2，求a，b之值．標(biāo)準(zhǔn)答案：原式可改寫成=2．由于該式成立，所以必有3－=0，即a=9．將a=9代入原式，并有理化得由此得b=－12．故a=9，b=－12．知識(shí)點(diǎn)解析：像這種類型(∞-∞)的極限，已知此待定式的極限存在且等于某一常數(shù)，要確定極限式中的參數(shù)a，b，一般有下列兩種方法：方法1直接將所給無(wú)理式有理化定出極限式中所含參數(shù)之值；方法2。先提出∞因子，將∞-∞型化為∞.0型，然后由極限存在的條件定出極限式中所含參數(shù)之值．19、證明cosnxdx=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：先對(duì)積分∫a1cosnxdx建立估計(jì)式然后證明它的極限為零，這里可行的方法是先對(duì)原積分進(jìn)行分部積分．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求數(shù)列極限，其中xn=n[e(1+)－n－1]．標(biāo)準(zhǔn)答案：先用等價(jià)無(wú)窮小因子替換：于是現(xiàn)把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限后再用洛必達(dá)法則即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，存在極限．證明：(Ⅰ)設(shè)A＜B，則對(duì)μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用極限的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為有界區(qū)間的情形．(Ⅰ)由=A＜μ及極限的不等式性質(zhì)可知，X1使得f(X1)＜μ．由=B＞μ可知，X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]連續(xù)，F(xiàn)(X1)＜μ＜f(X2)，由連續(xù)函數(shù)介值定理知(－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ．(Ⅱ)因，由存在極限的函數(shù)的局部有界性定理可知，X1使得當(dāng)x∈(－∞，X1)時(shí)f(x)有界；X2(＞X1)使得當(dāng)x∈(X2，+∞)時(shí)f(x)有界．又由有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(－∞，+∞)上有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)xn+1=ln(1+xn)，x1＞0，標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1－xn=ln(1+xn)－xn＜0(n=1，2，3，…)=>{xn}↘有下界0=>極限=>a=ln(1+a)．又a＞0時(shí)a＞ln(1+a)，故a=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)=0，試確定常數(shù)a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知利用(*)，一方面有另一方面，直接計(jì)算又有這表明3+a=0<=>a=－3．將a=－3代入(*)式，即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求證：{xn}收斂并求標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x(2－x)，則xn+1=f(xn)．易知f’(x)=2(1－x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1=>x1=x0(2－x0)=1－(x0－1)∈(0，1)．若xn∈(0，1)=>xn+1+1=xn(2－xn)∈(0，1)．undefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)，且f(x)～f*(x)，g(x)～g*(x)(x→a)．(Ⅰ)當(dāng)x→a時(shí)f(x)與g(x)可比較，不等價(jià)，求證：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；(Ⅱ)當(dāng)0＜｜x－a｜＜δ時(shí)f(x)與f*(x)均為正值，求證：(其中一端極限存在，則另端極限也存在且相等)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)考察極限因此，f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，且x∈[a，b]，總y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．試證：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法．若在[a，b]上f(x)處處不為零，則f(x)在[a，b]上或恒正或恒負(fù)．不失一般性，設(shè)f(x)＞0，x∈[a，b]，則．由題設(shè)，對(duì)此x0，y∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤＜f(x0)，與f(x0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，=A≠0，證明：∫01f(nx)dx=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作變量替換：這是型數(shù)列極限．將它轉(zhuǎn)化為型函數(shù)極限，便可用洛必達(dá)法則求之，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、A、0．B、－∞．C、+∞．D、不存在但也不是∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，故要分別考察左、右極限．由于因此應(yīng)選D．2、極限A、等于B、等于C、等于e－6．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：注意到=1，本題為1∞型．設(shè)f(x)=，則原極限=．而故原極限=，應(yīng)選A．3、設(shè)數(shù)列xn，yn滿足=0，則下列正確的是A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．B、若xn無(wú)界，則yn必有界．C、若xn有界，則yn必為無(wú)窮?。瓺、若為無(wú)窮小，則yn必為無(wú)窮小．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：直接考察．若為無(wú)窮小，則因此D成立．4、當(dāng)n→∞時(shí)的A、高階無(wú)窮小．B、低階無(wú)窮?。瓹、等價(jià)無(wú)窮小．D、同階但非等價(jià)無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：該題就是要計(jì)算極限因此選D．5、在中，無(wú)窮大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題四個(gè)極限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需討論極限要選該極限為+∞的，僅當(dāng)n=3并取“+”號(hào)時(shí)，即．選D．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)6、設(shè)K，L，δ為正的常數(shù)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：KδL1－δ知識(shí)點(diǎn)解析：屬1∞型極限．原式=，而因此，原式=7、已知=9，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：8、arctan(x－lnx.sinx)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：x－lnx.sinx=，由于x→+∞時(shí)，，x－lnx.sinx→+∞，于是9、設(shè)=4，則a=________，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：；1知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則可得又當(dāng)a≠0時(shí)三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)10、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：屬1∞型．ω==2e．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：屬∞-∞型．先通分化成型未定式，則有ω=直接用洛必達(dá)法則比較麻煩，若注意到這表明ln(x+)～x(x→0)．因此對(duì)分母先作等價(jià)無(wú)窮小因子替換后再用洛必達(dá)法則，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求數(shù)列極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由(n→∞)．用等價(jià)無(wú)窮小因子替換得引入函數(shù)f(x)=(x＞0)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，求∫01xnf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤?1xnf(x)dx=，且連續(xù)函數(shù)｜f(x)｜在[0，1]存在最大值記為M，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求ω=標(biāo)準(zhǔn)答案：x→0時(shí)，t=(1+x)x－1=0，則(1+x)x－1=t～ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等價(jià)無(wú)窮小因子替換得ω==1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：恒等變形：分子、分母同乘，然后再同除x2，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求極限ω=標(biāo)準(zhǔn)答案：屬∞-∞型．先作變量替換并轉(zhuǎn)化成型未定式，然后用洛必達(dá)法則．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，且滿足標(biāo)準(zhǔn)答案：先作恒等變形轉(zhuǎn)化為求型極限，然后用洛必達(dá)法則．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、確定常數(shù)a，b，c的值，使=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x→0時(shí)對(duì)常數(shù)a，b都有ax2+bx+1－e－2x→0，又已知分式的極限不為零，所以當(dāng)x→0時(shí)必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．綜合得a=4，b=－2，c=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：記是f(x)=tanx在[0，1]區(qū)間上的一個(gè)積分和．由于f(x)在[0．1]上連續(xù)，故可積，于是因此，我們對(duì)xn用適當(dāng)放大縮小法，將求轉(zhuǎn)化為求積分和的極限．因又于是由夾逼定理得=－lncos1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、當(dāng)x→0時(shí)下列無(wú)窮小是x的n階無(wú)窮小，求階數(shù)n：(Ⅰ)(Ⅱ)(1+tan2x)sinx－1；(Ⅲ)(Ⅳ)∫0xsint.sin(1－cost)2dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)－1～x4－2x2～－2x2(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)－1是x的2階無(wú)窮小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx－1～ln[(1+tan2x)sinx－1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x.x2=x3(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)(1+tan2x)sinx－1是x的3階無(wú)窮小，故n=3．(Ⅲ)由是x的4階無(wú)窮小，即當(dāng)x→0時(shí)是x的4階無(wú)窮小，故n=4．即當(dāng)x→0時(shí)∫0xsintsin(1－cost)2dt是x的6階無(wú)窮小，故n=6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)討論y=f[g(x)]的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：先寫出f[g(x)]的表達(dá)式，考察g(x)的值域：當(dāng)x≠1，2，5時(shí)f[g(x)]分別在不同的區(qū)間與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．當(dāng)x=2，5時(shí)，分別由左、右連續(xù)得連續(xù)．當(dāng)x=1時(shí)，，從而f[g(x)]在x=1不連續(xù)且是第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)a＞0為常數(shù)，xn=標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜a＜1時(shí)0＜xn＜an，=0；當(dāng)a=1時(shí)當(dāng)a＞1時(shí)0＜xn＜因此=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、討論下列函數(shù)的連續(xù)性并判斷間斷點(diǎn)的類型：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是初等函數(shù)，它在定義域(x2≠1)上連續(xù)．因此，x≠±1時(shí)均連續(xù)．x=±1時(shí)，故x=1是第一類間斷點(diǎn)(跳躍的)．又，故x=－1也是第一類間斷點(diǎn)(可去)．(Ⅱ)先求極限函數(shù)．注意x≠±1時(shí)，｜x｜＜1與｜x｜＞1分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．x=±1時(shí)均是第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．因左、右極限均，不相等．(Ⅲ)在區(qū)間(0，+∞)，[－1，0)上函數(shù)y分別與某初等函數(shù)相同，因而連續(xù)．在x=0處y無(wú)定義，=>x=0是第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))．(Ⅳ)f(x)=是初等函數(shù)，在(0，2π)內(nèi)f(x)有定義處均連續(xù)．僅在無(wú)定義處及=0處f(x)不連續(xù)。(Ⅴ)先求f[g(x]表達(dá)式．當(dāng)x＞1，x＜1時(shí)，f[g(x)]分別與某初等函數(shù)相同，因而連續(xù)．當(dāng)x=1時(shí)，分別求左、右極限故x=1為第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：取對(duì)數(shù)化乘積為和差知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(x)在(a，b)連續(xù)，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn為任意n個(gè)正數(shù)，求證：ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：依題設(shè)n個(gè)函數(shù)值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨設(shè)min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(xn)}=f(xn)，若f(x1)＜η＜f(xn)，ξ在x1與xn之間，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，=A＞0，求證：∫0xf(t)dt=+∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：因，由極限的不等式性質(zhì)可知，，則x＞X時(shí)有∫0xf(t)dt=∫0Xf(t)dt+∫Xxf(t)dt≥∫0Xf(t)dt+(x－X)，因此∫0xf(t)dt=+∞．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)有定義在(-∞，+∞)上的函數(shù)：則(Ⅰ)其中在定義域上連續(xù)的函數(shù)是________.A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：(Ⅰ)當(dāng)x＞0與x＜0時(shí)上述各函數(shù)分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．從而只需再考察哪個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)．注意到若f(x)=其中g(shù)(x)在(-∞，0]連續(xù)，h(x)在[0，+∞)連續(xù)．因f(x)=g(x)(x∈(-∞，0])f(x)在x=0左連續(xù)．若又有g(shù)(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右連續(xù)．因此f(x)在x=0連續(xù)．(B)中的函數(shù)g(x)滿足：sinx｜x=0=(cosx-1)｜x=0，又sinx，cosx-1均連續(xù)g(x)在x=0連續(xù)．因此，(B)中的g(x)在(-∞，+∞)連續(xù)．應(yīng)選(B)．2、設(shè)有定義在(-∞，+∞)上的函數(shù)：以x=0為第二類間斷點(diǎn)的函數(shù)是________．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：關(guān)于(A)：由x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．關(guān)于(C)：由x=0是h(x)的第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))．已證(B)中g(shù)(x)在x=0連續(xù)．因此選(D)．或直接考察(D)．由x=0是m(x)的第二類間斷點(diǎn)．3、極限A、等于B、等于C、等于e-6．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：注意到，本題為1∞型．設(shè)f(x)=[*，則原極限=．而故原極限=，應(yīng)選(A)．4、設(shè)f(x)在x=a處連續(xù)，φ(x)在x=a處間斷，又f(a)≠0，則A、φ[f(x)]在x=a處間斷．B、f[φ(x)]在x=a處間斷．C、[φ(x)]2在x=a處間斷．D、在x=a處間斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：連續(xù)與不連續(xù)的復(fù)合可能連續(xù)，也可能間斷，故(A)，(B)不對(duì)．不連續(xù)函數(shù)的相乘可能連續(xù)，故(C)也不對(duì)，因此，選(D)．5、“f(x)在點(diǎn)a連續(xù)”是｜f(x)｜在點(diǎn)a處連續(xù)的()條件．A、必要非充分.B、充分非必要.C、充分必要.D、既非充分又非必要.標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x=a連續(xù)｜f(x)｜在x=a連續(xù)(｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤｜f(x)-f(a)｜)．｜f(x)｜在x=a連續(xù)f(x)在x=a連續(xù)．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a連續(xù)，但f(x)在x=a間斷．因此，選(B)．6、設(shè)數(shù)列xn，yn滿足xnyn=0，則下列正確的是A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．B、若xn無(wú)界，則yn必有界．C、若xn有界，則yn必為無(wú)窮?。瓺、若為無(wú)窮小，則yn必為無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：舉例說(shuō)明(A)，(B)，(C)不正確．xn：0，1，0，2，0，3，……發(fā)散，yn：0，0，0，0，0，0，……收斂，xnyn=0．(A)不正確．xn：0，1，0，2，0，3，……無(wú)界，yn：1，0，2，0，3，0，……無(wú)界，xnyn=0．(B)不正確．xn：0，1，0，1，0，1，……有界，yn：1，0，1，0，1，0，……不是無(wú)窮小，xnyn=0．(C)不正確．因此，選(D)．7、f(x)=xsinxA、在(-∞，+∞)內(nèi)有界．B、當(dāng)x→+∞時(shí)為無(wú)窮大．C、在(-∞，+∞)內(nèi)無(wú)界．D、當(dāng)x→∞時(shí)有極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取xn=2nπ+∈(-∞，+∞)(n=1，2，3，…)，則f(xn)=→+∞(n→∞)．因此f(x)在(-∞，+∞)無(wú)界．選(C)．8、設(shè)f(x)，g(x)在x=x0均不連續(xù)，則在x=x0處A、f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不連續(xù)．B、f(x)+g(x)不連續(xù)，f(x)g(x)的連續(xù)性不確定．C、f(x)+g(x)的連續(xù)性不確定，f(x)g(x)不連續(xù)．D、(x)+g(x)，f(x)g(x)的連續(xù)性均不確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如：在x=0均不連續(xù)，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均連續(xù)．又如：在x=0均不連續(xù)，而f(x)+g(x)=在x=0均不連續(xù)．因此選(D)．9、當(dāng)n→∞時(shí)的A、高階無(wú)窮小．B、低階無(wú)窮小．C、等價(jià)無(wú)窮?。瓺、同階但非等價(jià)無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：該題就是要計(jì)算極限因此選(D)．10、設(shè)f(x)=，則下列結(jié)論(1)x=1為可去間斷點(diǎn)．(2)x=0為跳躍間斷點(diǎn)．(3)x=-1為無(wú)窮間斷點(diǎn)．中正確的個(gè)數(shù)是A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=，c=0，±1是f(x)的間斷點(diǎn)，按題意，要逐一判斷這些間斷點(diǎn)的類型．計(jì)算可得由于f(0+0)與f(0-0)存在但不相等，故x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．x=1是f(x)的可去間斷點(diǎn)，又x=-1是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，因此選(D)．11、把x→0+時(shí)的無(wú)窮小量α=tanx-x，β=∫0x排列起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小一，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因即當(dāng)x→+0+時(shí)α是比β高階的無(wú)窮小量，α與β應(yīng)排列為β，α．故可排除(A)與(D)．又因即當(dāng)x→0+時(shí)γ是較α高階的無(wú)窮小量，α與γ應(yīng)排列為α，γ．可排除(B)，即應(yīng)選(C)．12、在中，無(wú)窮大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題四個(gè)極限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需討論極限要選擇該極限為+∞的，僅當(dāng)n=3并取“+”號(hào)時(shí)，即選(D)．二、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)13、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，且滿足標(biāo)準(zhǔn)答案：先作恒等變形轉(zhuǎn)化為求型極限，然后用洛必達(dá)法則．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、(Ⅰ)設(shè)f(x)，g(x)連續(xù)，且，求證：無(wú)窮小∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a)；(Ⅱ)求w={∫0x3ln(1+2sint)dt／[f0xln(1+2sint)dt]3}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a).(Ⅱ)因ln(1+2sinx)～2sinx～2x(x→0)，由題(Ⅰ)∫0x3ln(1+2sint)dt～∫0x32tdt=t2｜0x3=x6，∫0xln(1+2sint)dt～∫0x2tdt=x2.因此，利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知，求a，b之值．標(biāo)準(zhǔn)答案：原式可改寫成由于該式成立，所以必有，即a=9．將a=9代入原式，并有理化得由此得b=-12．故a=9，b=-12．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、確定常數(shù)a，b，c的值，使=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x→0時(shí)對(duì)常數(shù)a，b都有ax2+bx+1-e-2x→0，又已知分式的極限不為零，所以當(dāng)x→0時(shí)必有分母∫cxdt→0，故必有c=0．由于故必有a=4．綜合得a=4，b=-2，c=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求xn，其中xn=標(biāo)準(zhǔn)答案：作恒等變形后再作放大與縮?。河谑怯止视蓨A逼定理知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、證明∫0ex2cosnxdx=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：先對(duì)積分∫01ex2cosnxdx建立估計(jì)式然后證明它的極限為零，這里可行的方法是先對(duì)原積分進(jìn)行分部積分．∫01ex2cosnxdx=∫01d(sinnx)=ex2sinnx｜01-∫012xex2sinnxdx=∫012xex2sinnxdx，于是｜∫01ex2cosnxdx｜≤∫01｜2xex2sinnx｜dx≤∫012edx因此∫01ex2cosnxdx=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：記xn=是f(x)=tanx在[0，1]區(qū)間上的一個(gè)積分和．由于f(x)在[0，1]上連續(xù)，故可積，于是因此，我們對(duì)xn用適當(dāng)放大縮小法，將求xn轉(zhuǎn)化為求積分和的極限．因又于是由夾逼定理得xn=-lncos1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)xn=xn.標(biāo)準(zhǔn)答案：先取對(duì)數(shù)化為和式的極限lnxn=ln(n2+i2)-4lnn，然后作恒等變形(看看能否化為積分和的形式)，則它是f(x)=ln(1+x2)在[0，2]區(qū)間上的一個(gè)積分和(對(duì)[0，2]區(qū)間作2n等分，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng))，則=∫02ln(1+x2)dx=xln(1+x2)｜02-∫02=2ln5-4+2arctan2．因此elnxn=e2ln5-4+2aretan2=25e-4+2arctan2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求數(shù)列極限xn，其中xn=標(biāo)準(zhǔn)答案：先用等價(jià)無(wú)窮小因子替換：于是現(xiàn)把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限后再用洛必達(dá)法則即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、當(dāng)x→0時(shí)下列無(wú)窮小是x的n階無(wú)窮小，求階數(shù)n：(Ⅰ)ex4-2x2-1；(Ⅱ)(1+tan2x)sinx-1；(Ⅲ)(Ⅳ)∫0xsint.sin(1-cost)2dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)ex4-2x2-1～x4-2x2～-2x2(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)ex4-2x2-1是x的2階無(wú)窮小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx-1～ln[(1+tan2x)sinx-1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x.x2=x3(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)(1+tan2x)sinx-1是x的3階無(wú)窮小，故n=3．(Ⅲ)由是x的4階無(wú)窮小，即當(dāng)x→時(shí)是x的4階無(wú)窮小，故n=4．(Ⅳ)即當(dāng)x→0時(shí)∫02sintsin(1-cost)2dt是x的6階無(wú)窮小，故n=6.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)α＞0，β＞0為任意正數(shù)，當(dāng)x→+∞時(shí)將無(wú)窮小量：，e-x按從低階到高階的順序排列．標(biāo)準(zhǔn)答案：先考察再考察因此，當(dāng)x→+∞時(shí)，按從低階到高階的順序排列為，e-x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)討論y=f[g(x)]的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：先寫出f[g(x)]的表達(dá)式．考察g(x)的值域：當(dāng)x≠1，2，5時(shí)f[g(x)]分別在不同的區(qū)間與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．當(dāng)x=2，5時(shí)，分別由左、右連續(xù)得連續(xù)．當(dāng)x=1時(shí)，，從而f[g(x)]在x=1不連續(xù)且是第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且f(0)=f(1)，證明：在[0，1]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：即證：存在零點(diǎn)．因f(x)在[0，1]連續(xù)，所以F(x)=f(x)-連續(xù)．事實(shí)上，我們要證：F(x)在存在零點(diǎn)(只需證F(x)在有兩點(diǎn)異號(hào))．考察于是中或全為0，或至少有兩個(gè)值是異號(hào)的，于是由連續(xù)函數(shù)介值定理，，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，存在極限證明：(Ⅰ)設(shè)A＜B，則對(duì)∈(A，B)，∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用極限的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為有界區(qū)間的情形．(Ⅰ)由f(x)=A＜μ及極限的不等式性質(zhì)可知，X1使得f(X1)＜μ．由f(x)=B＞μ可知，X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]連續(xù)，f(X1)＜μ＜f(X2)，由連續(xù)函數(shù)介值定理知∈(X1，X2)(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因，由存在極限的函數(shù)的局部有界性定理可知，X1使得當(dāng)∈(-∞，X1)時(shí)f(x)有界；X2(＞X1)使得當(dāng)x∈(X2，+∞)時(shí)f(x)有界．又由有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(-∞，+∞)上有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、A、0．B、-∞．C、+∞．D、不存在但也不是∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閑t=+∞，et=0，故要分別考察左、右極限．由于因此應(yīng)選D．2、設(shè)f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)=則當(dāng)x→0時(shí)f(x)是g(x)的A、高階無(wú)窮小．B、低階無(wú)窮?。瓹、同階非等價(jià)無(wú)窮小．D、等階無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由等價(jià)無(wú)窮小因子替換及洛必達(dá)法則可得因此選C．二、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)3、(Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在極限xn=A，yn=B，則A＜B；(Ⅱ)設(shè)f(x)在(a，b)有定義，又c∈(a，b)使得極限=A，則f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得當(dāng)0＜｜x-a｜＜δ時(shí)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)不正確．在題設(shè)下只能保證A≤B，不能保證A＜B．例如，xn=，yn=，則xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正確．這時(shí)只能保證：點(diǎn)c的一個(gè)空心鄰域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保證f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，則在(0，1)無(wú)界．(Ⅲ)正確．因?yàn)椋纱嬖跇O限的函數(shù)的局部有界性使得當(dāng)0＜｜x-a｜＜δ時(shí)有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)f(x)=又a≠0，問a為何值時(shí)存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0+0)==π．f(0-0)==1.a.1=a(a≠0)，由f(0+0)=f(0-0)，得a=π．因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=π時(shí)，存=π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、證明：(Ⅰ)不存在；(Ⅱ)設(shè)f(x)=不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)取xn=，yn=，則均有xn→0，yn→0(n→∞)，但不存在．(Ⅱ)已知f(x)=，其中g(shù)(x)=∫0xcost2dt，由于而不存在．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、求標(biāo)準(zhǔn)答案：這是求型極限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得其中(用洛必達(dá)法則)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：屬1∞型．w==2.e20=2e．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意x→0時(shí)，x2(1-cosx)～x4，ex4-1～x4w==4．(Ⅱ)因?yàn)閤3(x→0)，ln(1+2x3)～2x3(x→0)，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、求標(biāo)準(zhǔn)答案：屬型．先作恒等變形然后用等價(jià)無(wú)窮小因子替換：x→0時(shí)sin3x3～x3，x2-sin2x．于是最后用洛必達(dá)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、求標(biāo)準(zhǔn)答案：屬∞-∞型．先通分化成型未定式，則有直接用洛必達(dá)法則比較麻煩，若注意到這表明～x(x→)．因此對(duì)分母先作等價(jià)無(wú)窮小因子替換后再用洛必達(dá)法則，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：這是1∞型的．對(duì)于冪指數(shù)型未定式，總可先用公式uv=evlnu，然后再用洛必達(dá)法則，并注意arctanx～x(x→0)．由于，而因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求下列極限f(x)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意：因此(Ⅱ)由于因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求數(shù)列極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由(n→∞)．用等價(jià)無(wú)窮小因子替換得引入函數(shù)f(x)=(x＞0)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)xn=xn.標(biāo)準(zhǔn)答案：作恒等變形，再用簡(jiǎn)單手段作適當(dāng)放大與縮小．注意，已知因此xn=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求數(shù)列極限：(Ⅰ)(M＞0為常數(shù))；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{xn}有界，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)存在自然數(shù)k，k≥M，使，當(dāng)n＞k時(shí)，有即當(dāng)n＞k時(shí)，有是常數(shù)，且，由夾逼定理知(Ⅱ)由于{xn}有界，故M＞0，對(duì)一切n有｜xn｜≤M．于是，由題(Ⅰ)的結(jié)論及夾逼定理知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，求∫01xnf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤?1xndx=，且連續(xù)函數(shù)｜f(x)｜在[0，1]存在最大值記為M，于是｜∫01xnf(x)dx｜≤∫01xn｜f(x)｜dx≤M∫01xndx=又∫01xnf(x)dx=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)a1＞0，an+1=(n=1，2，…)，求an.標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然，0＜an＜3(n=2，3，…)，于是{an}有界．令f(x)=，則an+1=f(an)，f’(x)=(x＞0)．于是f(x)在x＞0單調(diào)上升，從而{an}是單調(diào)有界的，故極限an存在．令an=A，對(duì)遞歸方程取極限得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求xn.標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=2+，則xn+1=f(xn)．顯然f(x)在x＞0單調(diào)下降，因而由上面的結(jié)論可知{xn}不具單調(diào)性．易知，2≤xn≤xn=a，則由遞歸方程得a=2+，即a2-2a-1=0，解得現(xiàn)考察因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：x→0時(shí)，t=(1+x)x-1→0，則(1+x)x-1=t～ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等價(jià)無(wú)窮小因子替換得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)(x)=(Ⅰ)若f(x)處處連續(xù)，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值時(shí)f(x)有何間斷點(diǎn)，并指出它的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表達(dá)式．當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，=ax2+bx．于是得其次，由初等函數(shù)的連續(xù)性知f(x)分別在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)上連續(xù)．最后，只需考察f(x)在分界點(diǎn)x=±1處的連續(xù)性．這就要按定義考察連續(xù)性，分別計(jì)算：從而f(x)在x=1連續(xù)f(1+0)=f(1-0)=f(1)a+b=1=(a+b+1)a+b=1；f(x)在x=-1連續(xù)f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)a-b=-1=(a-b-1)a-b=-1．因此f(x)在x=±1均連續(xù)a=0，b=1．當(dāng)且僅當(dāng)a=0，b=1時(shí)f(x)處處連續(xù)．(Ⅱ)當(dāng)(a，b)≠(0，1)時(shí)，若a+b=1(則a-b≠-1)，則x=1是連續(xù)點(diǎn)，只有x=-1是間斷點(diǎn)，且是第一類間斷點(diǎn)；若a-b=-1(則a+b≠1)，則x=-1是連續(xù)點(diǎn)，只有間斷點(diǎn)x=1，且是第一類間斷點(diǎn)；若a-b≠-1且a+b≠1，則x=1，x=-1均是第一類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求極限.標(biāo)準(zhǔn)答案：恒等變形：分子、分母同乘然后再同除x2，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：這是求型極限，用洛必達(dá)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：屬∞.0型．可化為型后作變量替換，接著再用洛必達(dá)法則求極限．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：屬∞-∞型．先作變量替換并轉(zhuǎn)化成型未定式，然后用洛必達(dá)法則．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)屬00型.一般方法．因此=e0=1．其中(Ⅱ)屬∞0型．因此e=e-1．(Ⅲ)屬∞0型．利用恒等變形及基本極限可得=1．20=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求標(biāo)準(zhǔn)答案：屬型．先用等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系arctan4x～x(x→0)化簡(jiǎn)分母后再用洛必達(dá)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（極限、連續(xù)與求極限的方法）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=則當(dāng)x→0時(shí)f(x)是g(x)的A、高階無(wú)窮小．B、低階無(wú)窮?。瓹、同階非等價(jià)無(wú)窮?。瓺、等階無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由等價(jià)無(wú)窮小因子替換及洛必達(dá)法則可得因此選C．2、設(shè)f(x)在x=a處連續(xù)，φ(x)在x=a處間斷，又f(a)≠0，則A、φ[f(x)]在x=a處間斷．B、f[φ(x)]在x=a處間斷．C、[φ(x)]2在x=a間斷．D、在x=a處間斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：連續(xù)與不連續(xù)的復(fù)合可能連續(xù)，也可能間斷，故A，B不對(duì)．不連續(xù)函數(shù)的相乘可能連續(xù)，故C也不對(duì)，因此，選D．3、f(x)=xsinxA、在(－∞，+∞)內(nèi)有界．B、當(dāng)x→+∞時(shí)為無(wú)窮大．C、在(－∞，+∞)內(nèi)無(wú)界．D、當(dāng)→∞時(shí)有極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取xn=2nπ+∈(－∞，+∞)(n=1，2，3，…)，則f(xn)=→+∞(n→∞)．因此f(x)在(－∞，+∞)無(wú)界．選C．4、設(shè)f(x)=，則下列結(jié)論(1)x=1為可去間斷點(diǎn)．(2)x=0為跳躍間斷點(diǎn)．(3)x=－1為無(wú)窮間斷點(diǎn)．中正確的個(gè)數(shù)是A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=，x=0，±1是f(x)的間斷點(diǎn)，按題意，要逐一判斷這些間斷點(diǎn)的類型．計(jì)算可得由于f(0+0)與f(0－0)存在但不相等，故x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．x=1是f(x)的可去間斷點(diǎn)，又x=－1是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，因此選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：原式==3+0=3．6、設(shè)f(x)=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則常數(shù)a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x=0連續(xù)<=>=f(0)．由于因此a=－2．7、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“∞0”型未定式．?dāng)?shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則．如用，得先轉(zhuǎn)化成連續(xù)變量的極限，利用求得，但比較麻煩．事實(shí)上，恒等變形后可轉(zhuǎn)化為直接用冪指數(shù)運(yùn)算法則的情形，即8、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“00”型未定式．利用基本極限=1及重要極限=1即得9、函數(shù)f(x)=的連續(xù)區(qū)間是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－∞，1)∪(1，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：初等函數(shù)(單一表達(dá)式)沒有定義的點(diǎn)(附近有定義)是間斷點(diǎn)；對(duì)分段函數(shù)的分界點(diǎn)，要用連續(xù)的定義予以討論．對(duì)非分界點(diǎn)，就不同段而言，在各自的區(qū)間內(nèi)可以按初等函數(shù)看待．注意到x=0為分界點(diǎn)．因?yàn)橛謋(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0處連續(xù)．此外，由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處無(wú)定義，因此x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．于是所給函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)