河南省南陽(yáng)市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題

2021屆河南省南陽(yáng)市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)不等式的解法，化成同底，利用單調(diào)性即可求出集合，然后利用對(duì)數(shù)不等式的解法求出集合，注意定義域，最后根據(jù)并集的定義求出所求．【詳解】解：，，所以，故選：．2．，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的模的公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B3．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值是，大約為，這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.在直角三角形中，為斜邊，如果一直角邊是將斜邊進(jìn)行黃金分割成兩部分中的較長(zhǎng)部分，則成等比數(shù)列.現(xiàn)有一直角三角形恰好滿足上面的特性，其斜邊長(zhǎng)為，則它的兩直角邊平方差的絕對(duì)值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，利用等比中項(xiàng)的定義得到，從而得到關(guān)于a的方程，利用求根公式求出a的值，即可得到b的值，求解兩直角邊平方差的絕對(duì)值即可．【詳解】設(shè)直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，所以①，

又因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，則有，代入①中，可得，

即，所以，

則有(負(fù)值舍去)，

所以，則，

，所以．

故選：A．4．（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用兩角和的余弦公式求解.【詳解】，，故選：C5．如圖的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入，，的值分別為，，，則輸出和的值分別為A．， B．， C．， D．，【答案】A【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖，可得：，，不滿足，不滿足，，滿足，，滿足，，

不滿足，滿足，輸出的值為2，的值為4，故選A.6．若函數(shù)不存在極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得解.【詳解】,由于函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)，所以不存在變號(hào)零點(diǎn)，所以恒成立，即，故選：D.7．已知圓為直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），則最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線滿足的關(guān)系知，，求最小值等價(jià)于求點(diǎn)C到直線l的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得此時(shí)的，即可求得.【詳解】由題知，圓C是以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，根據(jù)切線滿足的關(guān)系知，，求最小值等價(jià)于求點(diǎn)C到直線l的距離，此時(shí)，故選：A8．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，則數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的和是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由①，②，作差求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合單調(diào)性確定最大值最小值，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：因?yàn)?，①，②，①②得，所以，，所以，所以，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，令，且所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，為漸近線，所以（3），（4），所以，故選：C．9．年月日黨的十八屆五中全會(huì)決定:堅(jiān)持計(jì)劃生育的基本國(guó)策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實(shí)施一對(duì)夫婦可生育兩個(gè)孩子政策﹐積極開(kāi)展應(yīng)對(duì)人口老齡化行動(dòng).某夫婦已經(jīng)有一個(gè)小孩.夫婦倆決定再要一個(gè)小孩，假定生男、生女是等可能的.若這個(gè)家庭現(xiàn)在的小孩是個(gè)女孩，則第二胎還是女孩的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法求出基本事件總數(shù)有2種，第二胎還是女孩的情況只有1種，由此能求出第二胎還是女孩的概率．【詳解】解：某夫婦已經(jīng)有一個(gè)小孩．夫婦倆決定再要一個(gè)小孩，假定生男、生女是等可能的．若這個(gè)家庭現(xiàn)在的小孩是個(gè)女孩，則基本事件有：（女男），（女女），其兩種情況，第二胎還是女孩的情況只有一種：（女女），第二胎還是女孩的概率是．故選：A．10．設(shè)分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合條件，求得，是雙曲線右支上一點(diǎn)，則其應(yīng)滿足，從而求得離心率取值范圍.【詳解】由雙曲線定義知，，又，故，是雙曲線右支上一點(diǎn)，則其應(yīng)滿足，即，故離心率的取值范圍是故選：B11．已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，得到，代入，求得t，然后得到a，b代入，利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，所以，，，，，故選：D12．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不等根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，將方程有三個(gè)不等根轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)問(wèn)題得到的范圍，設(shè)，由，得到，由求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以是減函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不等根，所以，設(shè)，則，所以，即，即，所以，又因?yàn)?，所以的取值范圍是，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題：若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題13．設(shè)滿足約束條件，則的最大值是__________【答案】【分析】作出約束條件表示的可行域，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式，通過(guò)平行移動(dòng)求最大值.【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平行移動(dòng)直線，可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最大，此時(shí).故答案為：2.14．已知:，其中，則在上的投影的最小值是__________．【答案】【分析】利用投影的定義得到在上的投影是，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以在上的投影是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在上的投影的最小值是2.故答案為：15．已知圓錐的底面周長(zhǎng)是，母線長(zhǎng)是，則該圓錐內(nèi)切球的表面積是__________．【答案】【分析】先求得圓錐底面半徑，再利用軸截面的面積建立關(guān)于內(nèi)切球半徑的等式，進(jìn)而得解．【詳解】解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，解得，

設(shè)內(nèi)切球半徑為R，則利用軸截面等面積法可得，解得，

該圓錐內(nèi)切球的表面積為．

故答案為：．16．已知函數(shù)對(duì)任意都有，若在上的取值范圍是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】由輔助角公式可得，由題意可知的最大值為，可求得，然后結(jié)合已知函數(shù)的值域及正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，其中，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意，都有，所以的最大值為，所以，即，，所以，所以，因?yàn)?，所以，若在，上的值域?yàn)椋越Y(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)對(duì)任意，都有求得函數(shù)的最大值，從而求得的值，才能解決函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.三、解答題17．已知，在中，角所對(duì)的邊分別為（1）求的值（2）若，求邊上的高的長(zhǎng)【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，由，可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．（2）由正弦定理可求的值，利用兩角和的正弦公式可求的值，解三角形可求的值．【詳解】解析：，而由正弦定理可知：故由，得又.18．已知，在三棱錐中，，且（1）求證:平面平面（2）若是三棱錐外接球上任一點(diǎn)，求三棱錐體積的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，只需證明平面即可；（2）首先得出點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，所以為球的直徑，則過(guò)三角形的截面圓為球的大圓因此當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是垂直于平面的球的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，由題意，易得，在中，由得因?yàn)?，所以，即，又為中點(diǎn)，所以，而平面平面，所以平面，又平面，故平面平面.（2）由（1）知：，所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心.同時(shí)，為球的直徑，則過(guò)三角形的截面圓為球的大圓,因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是垂直于平面的球的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大.即三棱錐體積的最大值為.19．高三年級(jí)計(jì)劃從甲、乙兩個(gè)班中選擇一個(gè)班參加學(xué)校的知識(shí)競(jìng)賽，設(shè)甲班的成績(jī)?yōu)?，乙班的成?jī)?yōu)?，兩個(gè)班以往次競(jìng)賽的成績(jī)(滿分分)統(tǒng)計(jì)如下:（1）請(qǐng)計(jì)算甲、乙兩班的平均成績(jī)和方差，從求得數(shù)據(jù)出發(fā)確定派哪個(gè)班參加競(jìng)賽更合適(方差保留一位小數(shù))（2）若，則稱甲、乙屬于“同一階層”.若從上述次考試中任取三次，求至少有兩次甲、乙屬于“同一階層”的概率.附：方差【答案】（1）130，130，69.3，75.3，派甲班參加比賽更合適；（2）.【分析】（1）分別計(jì)算出甲、乙兩班的均值和方差，進(jìn)行比較即可確定排哪個(gè)班級(jí)參賽；（2）上述次考試中有的成績(jī)?yōu)榧?、乙屬于“同一階層”，然后枚舉出所有的次考試中任選三次的情況，找出其中至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的情況即可求得概率.【詳解】解析：由于，，所以派甲班參加比賽更合適上述次考試中有的成績(jī)?yōu)榧住⒁覍儆凇巴浑A層”，從次考試中任選三次，總共有共種結(jié)果其中至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的有次，則至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的概率為20．已知:橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為其上頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程;（2）在橢圓上是否存在一點(diǎn)(位于第一象限)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的面積.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得a,b的值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由已知得，由此并結(jié)合橢圓的方程求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式計(jì)算即得.【詳解】解析：由題意可得：,因?yàn)?解得所以橢圓的方程為：;設(shè),,∴直線和的斜率存在，且,即,,又點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，因此有,解之得,即,故.21．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程;（2）若的最小值為，求函數(shù)的解析式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題知，進(jìn)而求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解即可；（2）分,兩類情況討論求解，其中當(dāng)時(shí)得，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)零點(diǎn)即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，而在處的切線方程為：即當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，無(wú)最小值;當(dāng)時(shí)，由，得時(shí)，為減函數(shù)，時(shí)，為增函數(shù)，令由，得易知在上遞增，在上遞減，且只有一解函數(shù)的解析式為【點(diǎn)睛】時(shí)得，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)零點(diǎn).22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的參數(shù)方程，并把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與圓相交于、兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）：（為參數(shù)），C：；（2）【分析】（1）根據(jù)直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)及直線的傾斜角，求出直線的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，求出圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為和，以直線的參數(shù)方程代入圓的方程，整理可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得與，根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，計(jì)算即可.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即（為參數(shù)），由，得，，圓C的直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為和，把（為參數(shù)），代入，化簡(jiǎn)整理得，，則，，.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查了轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中