新高考數學二輪復習熱點6-1 線線、線面、面面的平行與垂直（6題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）

熱點6-1線線、線面、面面的平行與垂直在高考數學中，本部分內容主要分兩方面進行考查，一是以幾何體為載體考查空間點、線、面位置關系的判斷，主要以小題的形式出現(xiàn)，題目難度較?。欢强臻g線線、線面、面面平行和垂直關系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第（1）問的形式考查，屬于中檔題?！绢}型1空間點線面位置關系判斷】滿分技巧1、判斷與空間位置關系有關的命題的方法：（1）借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理進行判斷；（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，進行肯定或否定。2、兩點注意：（1）平面幾何的結論不能完全引用到立體幾何中；（2）當從正面入手較難時，可利用反證法，推出與提升或公認結論相矛盾的命題，進而作出判斷?！纠?】（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預測）設SKIPIF1<0是兩條不同的直線，SKIPIF1<0是兩個不同的平面，則下面說法正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式1-1】（2024·江蘇徐州·高三校考開學考試）已知兩條不重合的直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，兩個不重合的平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，下列四個說法：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0其中所有正確的序號為（）A．②④B．③④C．④D．①③【變式1-2】（2024·江西·高三校聯(lián)考開學考試）設m，n是不同的直線，SKIPIF1<0是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【變式1-3】（2024·山東濟南·高三濟南一中校聯(lián)考開學考試）已知SKIPIF1<0是三條不重合的直線，SKIPIF1<0是三個不重合的平面，則下列結論正確的是（）A．若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【變式1-4】（2024·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知直線a，b，c與平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法正確的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則a，b異面B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【題型2共面、共線、共點證明】滿分技巧1、證明點線共面問題的兩種方法（1）納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內；（2）輔助平面法：先證有關點、線共平面SKIPIF1<0，再證其他點、線共平面SKIPIF1<0,最后證平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0重合.2、證明點共線問題的兩種方法（1）先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；（2）直接證明這些點都在一條特定直線上.3、證明三線共點問題的步驟第一步：先證其中兩條直線交于一點；第二步：再證交點在第三條直線上.證交點在第三條直線上時，第三條直線應為前兩條直線所在平面的交線?！纠?】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0上的三等分點.設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，則（）A．三點SKIPIF1<0共線，且SKIPIF1<0B．三點SKIPIF1<0共線，且SKIPIF1<0C．三點SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0D．三點SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，證明：SKIPIF1<0四點共面．【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點．（1）證明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面；（2）對角線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，求證：點SKIPIF1<0共線；（3）證明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點．【變式2-3】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0四點共面；（2）若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的正弦值.【變式2-4】（2024·河北衡水·河北冀州中學?？家荒＃┤鐖D所示的幾何體是由一個直三棱柱和半個圓柱拼接而成.其中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為弧SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0四點共面.（1）證明：SKIPIF1<0四點共面；（2）若平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0長.【題型3線線、線面、面面平行證明】滿分技巧1、線線平行的證明方法（1）定義法：即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；（2）利用平面圖形的有關平行的性質，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關于平行的性質；（3）利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．2、線面平行的判定方法（1）利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點；（2）利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行（簡記為“線線平行SKIPIF1<0線面平行”）（3）利用面面平行的性質定理：如果兩個平面平行，那么在一個平面內所有直線都平行于另一個平面。（簡記為“面面平行SKIPIF1<0線面平行”）3、面面平行的判定方法（1）面面平行的定義：兩個平面沒有公共點，常與反證法結合（不常用）；（2）面面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（主要方法）；（3）垂直于通一條直線的兩個平面平行（客觀題可用）；（4）平行于同一個平面的兩個平面平行（客觀題可用）.【例3】（2024·全國·高三專題練習）如圖1所示，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得SKIPIF1<0，得到如圖2所示的四棱錐．若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【變式3-1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）如圖，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【變式3-2】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【變式3-3】（2024·內蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求四棱錐SKIPIF1<0的體積．【變式3-4】（2024·河南·方城第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，梯形SKIPIF1<0是圓臺SKIPIF1<0的軸截面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在底面圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圓周上，SKIPIF1<0為圓臺的母線，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，且異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求圓臺SKIPIF1<0的高.【題型4線線、線面、面面垂直證明】滿分技巧直線與平面垂直的判定方法1、利用定義：若一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面；2、利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平面垂直；3、可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面；4、面面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一平面；5、面面平行的性質：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條直線也垂直于另一個平面；6、面面垂直的性質：若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.【例4】（2024·北京西城·高三北師大實驗中學?？奸_學考試）在某次數學探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板SKIPIF1<0折起，使得二面角SKIPIF1<0為直二面角，得圖2所示四面體SKIPIF1<0.小明對四面體SKIPIF1<0中的直線、平面的位置關系作出了如下的判斷，其中不正確的是（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【變式4-1】（2022·福建廈門·高三廈門雙十中學?？茧A段練習）已知三棱錐SKIPIF1<0（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形SKIPIF1<0為邊長等于SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為正三角形，在三棱錐SKIPIF1<0中：（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若點M在棱SKIPIF1<0上運動，當直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角最大時，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值．【變式4-2】（2024·四川雅安·高三雅安中學校聯(lián)考開學考試）如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0和側面SKIPIF1<0均是邊長為2的正方形．（1）證明：SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【變式4-3】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在五面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0的對角線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求五面體的體積.【變式4-4】（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【題型5平行關系中的動點探究問題】滿分技巧1、探索性問題的一般解題思路：先假設其存在，然后把這個假設作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進行推理論證和計算．在推理論證和計算無誤的前提下，如果得到了一個合理的結論，則說明存在；如果得到了一個不合理的結論，則說明不存在．2、探索性問題的答題步驟：第一步對“是否存在”給出作答，寫出探求的最后結論；第二步探求結論的正確性?！纠?】（2024·山東濟寧·高三?？奸_學考試）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）試探究在線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，請確定SKIPIF1<0點的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成夾角的余弦值．【變式5-1】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）如圖，在等腰梯形ABCD中，SKIPIF1<0面ABCD，SKIPIF1<0面ABCD，SKIPIF1<0，點P在線段EF上運動．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）是否存在點P，使得SKIPIF1<0平面ACE?若存在，試求點P的位置，若不存在，請說明理由．【變式5-2】（2023·北京·高二期中）如圖所示，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是PD的中點.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（3）若M是線段SKIPIF1<0上一動點，則線段SKIPIF1<0上是否存在點N，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？說明理由.【變式5-3】（2023·河北承德·高三校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）在SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【變式5-4】（2023·重慶·高三重慶市第七中學校?？茧A段練習）在如圖所示的五面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0是正三角形，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.（1）在直線SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，請說明理由；（2）當SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角的正弦值.【題型6垂直關系中的動點探究問題】【例6】（2022·全國·模擬預測）如圖1，在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0邊的中點，現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折成使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖2.（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）在線段SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【變式6-1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）如圖，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，點M是正方體的中心，將四棱錐SKIPIF1<0繞直線SKIPIF1<0逆時針旋轉SKIPIF1<0后，得到四棱錐SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）是否存在SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【變式6-2】（2023·重慶·高三重慶八中校考開學考試）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0為正三角形，且側面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點.（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）在棱SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，請求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，正方形SKIPIF1<0與梯形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）線段SKIPIF1<0上是否存在點M，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【變式6-4】（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側面SKIPIF1<0是矩形，側面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）在棱SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，請指出點SKIPIF1<0的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.（建議用時：60分鐘）1．（2024·重慶·高三西南大學附中校聯(lián)考開學考試）已知SKIPIF1<0是空間中三條互不重合的直線，SKIPIF1<0是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<02．（2024·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃┮阎猄KIPIF1<0表示兩條不同直線，SKIPIF1<0表示平面，則（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<03．（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0均為棱的中點，現(xiàn)有下列4個結論：①平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②梯形SKIPIF1<0內存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③過SKIPIF1<0可作一個平面，使得SKIPIF1<0到這個平面的距離相等；④梯形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0面積的3倍.其中正確的個數為（）A．4B．3C．2D．14．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，E、F為正方體內（含邊界）不重合的兩個動點，下列結論錯誤的是（）．A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<05．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預測）（多選）如圖所示，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，下列結論正確的是（）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）（多選）在正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點，直線SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線，則（）A．存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0B．存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0C．當點SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的中點時，都有SKIPIF1<0面SKIPIF1<0D．當點SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的中點時，都有SKIPIF1<0面SKIPIF1<07．（2023·廣東廣州·高三廣州市天河中學?？茧A段練習）如圖所示，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點．（1）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．8．（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學校聯(lián)考階段練習）如圖，已知四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPI