新高考數(shù)學二輪復習重難點2-4 利用導數(shù)研究不等式與極值點偏移（8題型 滿分技巧 限時檢測）（原卷版）

重難點2-4利用導數(shù)研究不等式與極值點偏移8大題型函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點，利用導數(shù)研究不等式問題在近幾年高考中出現(xiàn)的頻率較高。求解此類問題關鍵是要找到與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù)，然后利用導數(shù)工具來研究函數(shù)的單調性、極值、最值（值域），從而達到目的。考查難度較大。函數(shù)的極值點偏移問題，是導數(shù)應用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學問題，考查考生的化歸與轉化思想，邏輯思維能力、運算求解能力。【題型1單變量不等式的證明】滿分技巧不等式證明的常用思路1、移項構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；2、最值法：若無法轉化為一個函數(shù)的最值問題，則可以考慮轉化為兩個函數(shù)的最值問題．在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處與取到最值的條件不是同一個“x的值”．3、適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；4、構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數(shù)【例1】（2024·山東青島·高三?？计谀┮阎瘮?shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）當時，證明：．【變式1-1】（2023·安徽合肥·高三?？计谀┮阎瘮?shù).（1）當時，求的單調區(qū)間（2）討論的單調性；（3）當時，證明.【變式1-2】（2024·陜西榆林·高三一模）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求；（2）證明：.【變式1-3】（2024·內蒙古·高三?？计谀┮阎瘮?shù).（1）討論的單調性；（2）證明：在上.【題型2雙變量不等式的證明】滿分技巧雙變量不等式的處理策略：含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉化為一元的不等式，具體轉化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知，求證：．【變式2-1】（2024·北京西城·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；（3）當且時，判斷與的大小，并說明理由.【變式2-2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中.（1）當時，求的極值；（2）當，時，證明：.【變式2-3】（2024·全國·高三專題練習）知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間和最小值；（2）當時，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（3）若，求證：．【題型3對稱化構造解決極值點偏移】滿分技巧1、和型（或）問題的基本步驟：①首先構造函數(shù)，求導，確定函數(shù)和函數(shù)的單調性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關系，得與零進行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調性得到與的大小，從而證明相應問題；2、積型問題的基本步驟：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數(shù)，求導可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據與的范圍，結合的單調性，可得與的大小關系，由此證得結論.【例3】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).（1）討論的單調區(qū)間；（2）已知在上單調遞增，且，求證：.【變式3-1】（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個零點，證明：．【變式3-2】（2023·河南·高三南陽中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).（1）若有唯一極值，求的取值范圍；（2）當時，若，，求證：.【變式3-3】（2024·江蘇揚州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小值為.（1）求實數(shù)的值；（2）若有兩個不同的實數(shù)根，求證：.【題型4比值代換法解決極值點偏移】滿分技巧比值換元的目的也是消元、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的。設法用比值（一般用表示）表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求問題轉化為關于的函數(shù)問題求解。【例4】（2023·全國·高三統(tǒng)考月考）已知是函數(shù)的導函數(shù)．（1）討論方程的實數(shù)解個數(shù)；（2）設為函數(shù)的兩個零點且，證明：．【變式4-1】（2023·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)有兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）設，是的兩個零點，，證明：.【變式4-2】（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)有兩個極值點，．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【變式4-3】（2022·全國·模擬預測）設函數(shù).（1）若，求函數(shù)的最值；（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.【題型5導數(shù)與數(shù)列不等式證明】滿分技巧1、證明此類問題時長根據已知的函數(shù)不等式，用關于正整數(shù)的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量。通過多次求和達到證明的目的。此類問題一般至少兩問，已知的不等式常由第一問根據待證式的特征而得來。2、已知函數(shù)式為指數(shù)不等式（或對數(shù)不等式），而待證不等式為與對數(shù)有關的不等式（或與指數(shù)有關的不等式），還有注意指、對數(shù)式的互化，如可化為【例5】（2024·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）證明：對于任意正整數(shù)n，都有．【變式5-1】（2024·山西·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).（1）若當時，，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【變式5-2】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程：（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：（，）.【變式5-3】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）若有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍：（2）證明：.【題型6三角函數(shù)型不等式證明】滿分技巧1、正余弦函數(shù)的有界性：；2、三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：.【例6】（2023·全國·高三專題練習）當時，證明：恒成立.【變式6-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，.（1）討論的極值；（2）若，，求證：.【變式6-2】（2023·江蘇常州·校考一模）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）證明：當時，成立.【變式6-3】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）已知，證明：.【題型7不等式恒成立求參問題】滿分技巧1、利用導數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種方法（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開，構造關于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類討論法：根據題意分析參數(shù)的臨界值，根據臨界值作分類討論，分別解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集。2、不等式恒成立問題轉化：（1），（2），【例7】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式7-2】（2024·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（1）求a和b的值；（2）若，求m的取值范圍．【變式7-3】（2024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).（1）若是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若有兩個極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【題型8不等式能成立求參問題】滿分技巧1、形如有解問題的求解策略（1）構造函數(shù)法：令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最小值，只需恒成立即可；（2）參數(shù)分離法：轉化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數(shù)求的函數(shù)的單調性與最值即可。2、單變量不等式能成立問題轉化（1），（2），3、雙變量不等式成立問題：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．【例8】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．若存在實數(shù)，使得成立，則正實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，對于存在的，存在，使，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【變式8-3】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）（），若對任意，均存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．（建議用時：60分鐘）1．（2024·河北·高三雄縣第一高級中學校聯(lián)考期末）設實數(shù)，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A．B．C．D．2．（2024·河北·高三石家莊精英中學校聯(lián)考期末）設實數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．3．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）若關于的不等式在內有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．4．（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)