新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專題10 數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)（原卷版）

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 3題型三：插入新數(shù)混合 4二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓(xùn)練 5一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前項和為SKIPIF1<0，且滿足：SKIPIF1<0(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在三項SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.例題2．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．(2)SKIPIF1<0是不是數(shù)列SKIPIF1<0的項？若是，它是SKIPIF1<0的第幾項？若不是，說明理由．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0和其前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入m個數(shù)，使得這SKIPIF1<0個數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0的正整數(shù)m的最小值.例題4．（2023春·吉林長春·高二長春十一高校考期末）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入n個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0及數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使得這SKIPIF1<0個數(shù)依次組成公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中抽取部分項（按原來的順序）構(gòu)成一個新數(shù)列，記為SKIPIF1<0，再在數(shù)列SKIPIF1<0插入適當(dāng)?shù)捻?，使它們一起能?gòu)成一個首項為1，公比為3的等比數(shù)列SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中第SKIPIF1<0項前（不含SKIPIF1<0）插入的項的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于.例題3．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，在a，b之間插入SKIPIF1<0個實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，使得這SKIPIF1<0個數(shù)成等差數(shù)列，則有結(jié)論SKIPIF1<0成立．若SKIPIF1<0，在a，b之間插入SKIPIF1<0個正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，使得這SKIPIF1<0個數(shù)成等比數(shù)列，則有相應(yīng)的結(jié)論成立．例題4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）回答下面兩個問題(1)在等差數(shù)列中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式．例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)計算SKIPIF1<0，猜想數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式并加以證明；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在3項SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中插入SKIPIF1<0個相同的數(shù)SKIPIF1<0，構(gòu)成一個新數(shù)列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前100項和SKIPIF1<0．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；(2)數(shù)列SKIPIF1<0依次為：SKIPIF1<0，規(guī)律是在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中間插入SKIPIF1<0項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項的和.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)），且滿足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項；數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)試確定SKIPIF1<0的值，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(3)當(dāng)SKIPIF1<0為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個2，得到一個新數(shù)列SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，試求SKIPIF1<0.例題4．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在數(shù)列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0項之間，都插入SKIPIF1<0個相同的數(shù)SKIPIF1<0，組成數(shù)列SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，對任意正整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)對所有正整數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩項中插入SKIPIF1<0，由此得到一個新數(shù)列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前40項和.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前18項的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．762．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，保持數(shù)列SKIPIF1<0中各項順序不變，對任意的SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0項之間，都插入SKIPIF1<0個相同的數(shù)SKIPIF1<0，組成數(shù)列SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81923．（2023·全國·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學(xué)學(xué)生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原計劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0的任意相鄰兩項SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0．按新數(shù)列SKIPIF1<0的各項依次派遣支教學(xué)生．記SKIPIF1<0為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則SKIPIF1<0的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．3904．（2023·全國·高三專題練習(xí)）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的．明萬歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為SKIPIF1<0，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為SKIPIF1<0，則依此規(guī)則，下列說法正確的是（

）．A．插入的第8個數(shù)為SKIPIF1<0B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的SKIPIF1<0倍C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空題6．（2023春·高二?？颊n時練習(xí)）在1和17之間插入n個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)成等差數(shù)列，若這n個數(shù)中第一個為a，第n個為b，當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時，SKIPIF1<0.7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0的任意相鄰兩項SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個4，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0，記新數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．四、解答題8．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項SKIPIF1<0；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，求證：SKIPIF1<0.9．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在3項SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)保持SKIPIF1<0中各