遼寧省錦州XX中學(xué)2017屆九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)

第 C．6 D．4【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)AD是中線，得出CD=4，再根據(jù)AA證出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可．【解答】解：∵BC=8，∴CD=4，在△CBA和△CAD中，∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△CBA∽△CAD，∴=，∴AC2=CD?BC=4×8=32，∴AC=4；故選B．8．如圖，四邊形ABCD，AD與BC不平行，AB=CD．AC，BD為四邊形ABCD的對角線．E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD）；⑤四邊形EFGH是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形；三角形三邊關(guān)系；三角形中位線定理．【分析】先根據(jù)三角形中位線定理，得出EF=FG=GH=HE，進(jìn)而得到四邊形EFGH是菱形，據(jù)此可判斷結(jié)論是否正確，最后取AB的中點(diǎn)P，連接PE，PG，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及三角形中位線定理，即可得出EG＞BC﹣AD，即EG＞（BC﹣AD）．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=CD，同理可得，GH=CD，F(xiàn)G=AB，EH=AB，又∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形，故⑤正確，②錯(cuò)誤，∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①、③正確，如圖所示，取AB的中點(diǎn)P，連接PE，PG，∵E是BD的中點(diǎn)，G是AC的中點(diǎn)，∴PE是△ABD的中位線，PG是△ABC的中位線，∴PE=AD，PG=BC，PE∥AD，PG∥BC，∵AD與BC不平行，∴PE與PG不平行，∴△PEG中，EG＞PG﹣PE，∴EG＞BC﹣AD，即EG＞（BC﹣AD），故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有①③⑤．故選：C．二、填空題9．一元二次方程x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=2．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】本題應(yīng)對方程左邊進(jìn)行變形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0．”，即可求得方程的解．【解答】解：原方程變形為：x（x﹣2）=0，x1=0，x2=2．故答案為：x1=0，x2=2．10．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≥﹣1且k≠0．【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義．【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得k≥﹣1且k≠0．故答案為：k≥﹣1且k≠0．11．如圖，正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是80°．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)菱形的對角相等可得∠B=∠D，再根據(jù)等角三角形兩底角相等，利用三角形的內(nèi)角和等于180°表示出∠BAE和∠DAF，然后根據(jù)菱形的兩鄰角互補(bǔ)列式求解即可．【解答】解：在菱形ABCD中，∠B=∠D，∵正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，∴AB=AE，AD=AF，∴∠BAE=180°﹣2∠B，∠DAF=180°﹣2∠D，又∵∠EAF=60°，∴180°﹣2∠B+60°+180°﹣2∠D+∠B=180°，整理得，3∠B=240°，解得∠B=80°．故答案為：80°．12．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE垂直平分OB于點(diǎn)E，則AD的長為3．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案為：3．13．如圖是我市將要開發(fā)的一塊長方形的土地，長為xkm，寬為3km，建筑開發(fā)商將這塊土地分為甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均為正方形，現(xiàn)計(jì)劃甲地建住宅區(qū)，乙地建商業(yè)區(qū)，丙地開辟成小區(qū)公園，若已知丙地的面積為2km2，則x的值為4km或【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】根據(jù)敘述可以得到甲，是邊長是3km的正方形，乙是邊長是（x﹣3）km的正方形，丙的長是（x﹣3）km，寬是[3﹣（x﹣3）]km【解答】解：根據(jù)題意，得（x﹣3）[3﹣（x﹣3）]=2，即x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5．故x的值為4km或5故答案為：4km或514．如圖是一位同學(xué)設(shè)計(jì)的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么該古城墻的高度CD是8米．【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【分析】首先證明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得答案．【解答】解：由題意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴=，CD=8米，故答案為：8．15．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE=5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長為18，則OF的長為．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；三角形中位線定理．【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進(jìn)而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵CE=5，△CEF的周長為18，∴CF+EF=18﹣5=13．∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD===12．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O為BD的中點(diǎn)，∴OF是△BDE的中位線，∴OF=（BC﹣CE）=（12﹣5）=．故答案為：．16．如圖，已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，與y=的圖象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）兩點(diǎn)，連接OA、OB，給出下列結(jié)論：①k1k2＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正確的結(jié)論的序號是②③④．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)得到k1k2＞0，故①錯(cuò)誤；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得到m+n=0，故②正確；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y(tǒng)=﹣mx+m，求得P（﹣，0），Q（0，m），根據(jù)三角形的面積公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正確；根據(jù)圖象得到不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正確．【解答】解：由圖象知，k1＜0，k2＜0，∴k1k2＞0，故①錯(cuò)誤；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得﹣2m=n，∴m+n=0，故②正確；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，∴，∵﹣2m=n∴y=﹣mx+m，∵已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，∴P（﹣，0），Q（0，m），∴OP=，OQ=m，∴S△AOP=m，S△BOQ=m，∴S△AOP=S△BOQ；故③正確；由圖象知不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正確；故答案為：②③④．三、解答題17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）x2﹣4x+3=0；（2）（3﹣x）2+x2=9．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接開平方法．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣3）=0，x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=1，x2=﹣3；（2）x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．四、解答題18．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上，且DF=BE，EF與CD交于點(diǎn)G．（1）求證：BD∥EF；（2）若=，BE=4，求EC的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∵DF=BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD∥EF；（2）∵四邊形BEFD是平行四邊形，∴DF=BE=4．∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴=，∴CE==4×=6．19．某商場經(jīng)營一種海產(chǎn)品，進(jìn)價(jià)是每千克20元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每日的銷售量y（千克）與售價(jià)x（元/千克）是一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示：（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量取值范圍）；（2）某日該商場出售這種海產(chǎn)品獲得了21000元的利潤，該海產(chǎn)品的售價(jià)是多少？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；（2）利用（1）中所求，進(jìn)而表示出利潤，得出等式求出答案．【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，將（25，950），（40，800）代入得：，解得：，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣10x+1200；（2）由（1）得：（﹣10x+1200）（x﹣20）=21000，解得：x1=50，x2=90，答：該海產(chǎn)品的售價(jià)是50元或90元．五、解答題20．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：垂直．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BC=CD+CF；（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE．若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論．（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；故答案為：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC．（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3