小學五年級奧數題庫

小學五年級奧數題

一、小數的巧算

(-)填空題

1.計算1.996+19.97+199.8=。

答案:221.766o

解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2)

=222-(0.004+0.03+0.2)

=221.766o

2.計算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=

答案：103.25。

解析：原式=1.1x(1+3+…+9)+1.01x(11+13+…+19)

=1.1x25+1.01x75

=103.250

3.計算2.89x4.68+4.68x6.11+4.68=。

答案:46.8o

解析：4.68X(2.89+6.11+1)=46.8

4.計算17.48x37-17.48x19+17.48x82=。

答案：1748。

解析：原式=17.48X37-17.48X19+17.48X82

=17.48X(37-19+82)

=17.48X100

=17480

5.計算1.25x0.32x2.5=。

答案：1。

解析：原式=(1.25x0.8)x(0.4x2.5)

=1x1

=lo

6.計算75x4.7+15.9x25=。

答案:750o

原式=75x4.7+5.3x(3x25)

=75x(4.7+5.3)

=75x10

=750o

7.計算28.67x67+3.2x286.7+573.4x0.05=

答案:2867o

原式=28.67x67+32x28.67+28.67x(20x0.05)

=28.67x(67+32+1)

=28.67x100

=2867o

(二)解答題

8.計算172.4x6.2+2724x0.38。

答案:原式=172.4x6.2+(1724+1000)x0.38

=172.4x6.2+1724x0.38+1000x0.38

=172.4x6.2+172.4x3.8+380

=172.4x(6.2+3.8)+380

=172.4x10+380

=1724+380

=2104o

9.

計算0.00-0181xO.00-011

963個01028個0o

答案：181是三位，11是兩位,相乘后181x11=1991是四位,三位加兩位是五位,因此1991

前面還要添一個0,又963+1028=1991,所以

0.00—0181x0.00-011=0.00---01991

963個01028個01992個0。

10.計算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.230

答案：9個加數中,十位、個位、十分位、百分位的數都是廣9,所以，

原式=11.llx(1+2+…+9)

=11.11x45

=499.95o

二、數的整除性

(-)填空題

1.四位數“3A41”是9的倍數，那么A=o

答案:7。

解析：已知四位數3AA1正好是9的倍數,則其各位數字之和3+A+A+1一定是9的倍數,

可能是9的1倍或2倍,可用試驗法試之。

設3+A+A+l=9,則A=2.5,不合題意.再設3+4+4+1=18,則4=7,符合題意。事實

上，3771+9=419。

2.在“25口79這個數的口內填上一個數字,使這個數能被11整除，方格內應填o

答案：1。

解析：這個數奇數位上數字和與偶數位上數字和之差是?；蚴?1的倍數，那么這個數能

被11整除.偶數位上數字和是5+7=12,因而,奇數位上數字和2+口+9應等于12,口內應

填12-2-9=1o

3.能同時被2、3、5整除的最大三位數是o

答案：990o

解析：要同時能被2和5整除，這個三位數的個位一定是0。要能被3整除，又要是最大

的三位數,這個數是990o

4.能同時被2、5、7整除的最大五位數是o

答案：99960o

解析：解法一：能被2、5整除，個位數應為0,其余數位上盡量取9,用7去除999口0,

可知方框內應填6。所以，能同時被2、5、7整除的最大五位數是99960。

解法二：或者這樣想,2,5,7的最小公倍數是70,而能被70整除的最小六位是

100030o它減去70仍然是70的倍數,所以能被2,5,7整除的最大五位數是

100030-70=99960o

5.1至100以內所有不能被3整除的數的和是o

答案:3367o

解析：先求出「100這100個數的和，再求100以內所有能被3整除的數的和，以上二和

之差就是所有不能被3整除的數的和。

(1+2+3+—+100)-(3+6+9+12+—+99)

=(1+100)^2x100-(3+99)+2x33

=5050-1683

=3367o

6.所有能被3整除的兩位數的和是o

答案：1665。

解析：能被3整除的二位數中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位數如下:

12,15,18,21,…，96,99

這一列數共30個數，其和為

12+15+18+-+96+99

=(12+99)x30+2

=1665o

7.已知一個五位數口691口能被55整除,所有符合題意的五位數是o

答案:96910或46915。

解析：五位數旃歷能被55整除，即此五位數既能被5整除,又能被11整除。所以廬0

或5。當廬。時,福而能被11整除,所以(4+9+0)-(6+1)=4+2能被11整除,因此4=9；

當時，同樣可求出4=4。所以，所求的五位數是96910或469150

(二)解答題

8.173口是個四位數字，數學老師說：“我在這個口中先后填入3個數字，

所得到的3個四位數，依次可被9、11、6整除?！眴枺簲祵W老師先后填入的3個數字的

和是多少？

答案：???能被9整除的四位數的各位數字之和能被9整除，

1+7+3+口=11+口

???口內只能填只

???能被11整除的四位數的個位與百位的數字和減去十位與千位的數字和所得的

差能被11整除。

...(7+口)-(1+3)=3+口能被11整除，口內只能填8。

???能被6整除的自然數是偶數,并且數字和能被3整除，

而1+7+3+口=□+口,口內只能填4。

所以，所填三個數字之和是7+8+4=19。

9.在1992后面補上三個數字，組成一個七位數，使它們分別能被2、3、5、11整除，

這個七位數最小值是多少？

解析：設補上的三個數字組成三位數返，由這個七位數能被2,5整除,說明AO；

由這個七位數能被3整除知l+9+9+2+a+Zrbc=21+a+濟。能被11整除，從而a+8能被3整

除；由這個七位數又能被11整除，可知(l+9+a+c)-(9+2+6)=a■正1能被11整除；由所

組成的七位數應該最小，因而取a+b=3,從而ar2,ZF1O

所以這個最小七位數是1992210c

［注］小朋友通常的解法是:根據這個七位數分別能被2,3,5,11整除的條件,這個七位數

必定是2,3,5,11的公倍數，而2,3,5,11的最小公倍數是2x3x5x11=330。這

樣，1992000+330=6036…120,因此符合題意的七位數應是(6036+1)倍的數，即

1992000+(330-120)=1992210o

10.在“改革”村的黑市上,人們只要有心，總是可以把兩張任意的食品票換成3張其他

票券,也可以反過來交換。試問，合作社成員瓦夏能否將100張黃油票換成100腸票,并

且在整個交換過程中剛好出手了1991張票券？

答案：不可能。

由于瓦夏原有100張票，最后還有100張票，所以他作了多少次“兩換三”，那么也

就作了多少次“三換兩”，因此他一共出手了24+3F5A張票，而1991不是5的倍數。

三質數與合數

(-)填空題

1.在一位的自然數中，既是奇數又是合數的有;既不是合數又不是質數的有

____；既是偶數又是質數的有0

答案：9,1,2o

解析：在一位自然數中,奇數有：1,3,5,7,9,其中僅有9為合數，故第一個空填9o

在一位自然數中，質數有2、3、5、7,合數有4、6、8、9,所以既不是合數又不

是質數的為lo

在一位自然數中，偶數有2、4、6、8,所以既是偶數又是質數的數為2。

2.最小的質數與最接近100的質數的乘積是o

答案：202o

解析：最小的質數是2,最接近100的質數是101,它們的乘積是2xl01=202o

3.兩個自然數的和與差的積是41,那么這兩個自然數的積是o

答案:420o

解析：首先注意到41是質數,兩個自然數的和與差的積是41,可見它們的差是1,這是兩

個連續(xù)的自然數,大數是21,小數是20,所以這兩個自然數的積是20x21=420。

4.在下式口中分別填入三個質數,使等式成立。

□+□+□=50

答案：2、5、430

解析：接近50的質數有43,再將7分拆成質數2與質數5的和.即

2+5+43=50o

另外,還有

2+19+29=50,

2+11+37=50。

［注］填法不是唯一的，如也可以寫成

41+2+7=50。

5.三個連續(xù)自然數的積是1716,這三個自然數是、、o

答案:11,12,13。

解析：將1716分解質因數得：

1716=2x2x3x11x13

=llx(2x2x3)xl3

由此可以看出這三個數是11,12,13。

6.找出1992所有的不同質因數，它們的和是o

答案:88o

解析：先把1992分解質因數,然后把不同質數相加，求出它們的和。

1992=2x2x2x3x83

所以1992所有不同的質因數有:2,3,83。它們的和是

2+3+83=88o

7.如果自然數有四個不同的質因數，那么這樣的自然數中最小的是o

答案:210o

解析：最小的四個質數是2,3,5,7,所以有四個不同質因數的最小自然數是

2x3x5x7=210。

(-)解答題

8.2,3,5,7,11,…都是質數，也就是說每個數只以1和它本身為約數。已知一個

長方形的長和寬都是質數個單位,并且周長是36個單位。問這個長方形的面積至多是多

少個平方單位？

答案：由于長+寬是36+2=18,

將18表示為兩個質數和18=5+13=7+11,

所以長方形的面積是5x13=65或7x11=77,

故長方形的面積至多是77平方單位。

9.把7、14、20、21、28、30分成兩組，每三個數相乘，使兩組數的乘積相等。

答案：先把7,14,20,21,28,30分解質因數，看這六個數中共有哪幾個質因數，再分攤在

兩組中，使兩組數乘積相等。

14-7x220-2x2x5

21=3x728=2x2x7

30-2x3x57

從上面五個數分解質因數來看,連7在內共有質因數四個7,六個2,二個3,二個5,

因此每組數中一定要含三個2,一個3,一個5,二個70

六個數可分成如下兩組(分法是唯一的)：

第一組:7、28、和30

第二組：14、21和20

且7x28x30=14x21x20=5880滿足要求。

［注］解答此題的關鍵是審題,抓住題目中的關鍵性詞語：“使兩組數的乘積相等”。實質

上是要求兩組里所含質因數相同,相同的質因數出現的次數也相同。

10.學生1430人參加團體操,分成人數相等的若干隊,每隊人數在100至200之間，問哪

幾種分法？

答案：把1430分解質因數得：

1430=2x5x11x13

根據題目的要求，應在2、5、11及13中選用若干個數，使它們的乘積在100到200

之間，于是得三種答案：

(1)2x5x11=110；

(2)2x5x13=130；

(3)11x13=143.

所以，有三種分法:一種是分為13隊，每隊110人；二是分為11隊，每隊130人；三

是分為10隊，每隊143人。

四約數與倍數

1.28的所有約數之和是。

答案：56O

解析：28的約數有1,2,4,7,14,28,它們的和為

1+2+4+7+14+28=56。

2.用105個大小相同的正方形拼成一個長方形，有種不同的拼法。

答案:4。

解析：因為105的約數有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的長方形的長與寬分別是105

和1,35和3,21與5,15與7o所以能拼成4種不同的長方形。

3.一個兩位數,十位數字減個位數字的差是28的約數，十位數字與個位數字的積是24.

這個兩位數是o

答案：64o

解析：因為28=2x2x7,所以28的約數有6個：1,2,4,7,14,28。在數字0,1,2,…，9中，

只有6與4之積，或者8與3之積是24,又6-4=2,8-3=5。故符合題目要求的兩位數

僅有64o

4.李老師帶領一班學生去種樹,學生恰好被平均分成四個小組，總共種樹667棵,如果師

生每人種的棵數一樣多,那么這個班共有學生____人。

答案：28o

解析：因為667=23x29,所以這班師生每人種的棵數只能是667的約數:1,23,29,667.顯

然,每人種667棵是不可能的。

當每人種29棵樹時,全班人數應是23-1=22,但22不能被4整除,不可能。

當每人種23棵樹時,全班人數應是29-1=28,且28恰好是4的倍數,符合題目要求。

當每人種1棵樹時,全班人數應是667T=666,但666不能被4整除,不可能。

所以，一班共有28名學生。

5.兩個自然數的和是50,它們的最大公約數是5,則這兩個數的差是o

答案:40或20。

解析：兩個自然數的和是50,最大公約數是5,這兩個自然數可能是5和45,15和35,它

們的差分別為(45-5=)40,(35-15=)20,所以應填40或20。

［注］這里的關鍵是依最大公約數是5的條件，將50分拆為兩數之和：50=5+45=15+35。

6.現有梨36個,桔108個,分給若干個小朋友,要求每人所得的梨數,桔數相等,最多可

分給個小朋友,每個小朋友得梨?zhèn)€,桔個。

答案：36,1,3。

解析：要把梨36個、桔子108個分給若干個小朋友，要求每人所得的梨數、桔子相等,

小朋友的人數一定是36的約數，又要是108的約數，即一定是36和108的公約數.因

為要求最多可分給多少個小朋友,可知小朋友的人數是36和108的最大公約數。36和

108的最大公約數是36,也就是可分給36個小朋友。

每個小朋友可分得梨：36+36=1(只)，

每個小朋友可分得桔子：108+36=3(只)，

所以，最多可分得36個小朋友,每個小朋友可分得梨1只,桔子3只。

7.一塊長48厘米、寬42厘米的布，不浪費邊角料，能剪出最大的正方形布片塊。

答案:56O

解析：剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長48厘米及寬42厘米,所以它是

48與42的公約數，題目又要求剪出的正方形最大,故正方形的邊長是48與42的最大公

約數。

因為48=2x2x2x2x3,42=2x3x7,所以48與42的最大公約數是6。這樣，最大正方形

的邊長是6厘米。由此可按如下方法來剪:長邊每排剪8塊,寬邊可剪7塊,共可剪

(48+6)x(42+6)=8x7=56(塊)正方形布片。

8.寫出小于20的三個自然數，使它們的最大公約數是1,但兩兩均不互質，請問有多

少組這種解？

答案：三組。

解析：三個數都不是質數,至少是兩個質數的乘積,兩兩之間的最大公約數只能分別是

2,3和5,這種自然數有6,10,15和12,10,15及18,10,15三組。

9.和為1111的四個自然數，它們的最大公約數最大能夠是多少？

答案：四個數的最大公約數必須能整除這四個數的和，也就是說它們的最大公約數應該

是1111的約數。將1111作質因數分解，得

1111=11x101

最大公約數不可能是1111,其次最大可能數是101.若為101,則將這四個數分別除以101,

所得商的和應為11?，F有

1+2+3+5=11,

即存在著下面四個數

101,101x2,101x3,101x5,

它們的和恰好是

101x(1+2+3+5)=101x11=1111,

它們的最大公約數為101,所以101為所求。

10.狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳4,米，黃鼠狼每次跳2之米，它們每秒鐘

24

都只跳一次.比賽途中，從起點開始每隔12：米設有一個陷井，當它們之中有一個掉進陷

O

井時,另一個跳了多少米？

答案：黃鼠狼掉進陷井時已跳的行程應該是2之與12。的“最小公倍數”經，即跳了

484

2+口=9次掉進陷井，狐貍掉進陷井時已跳的行程應該是八和12之的“最小公倍數”里，

44282

即跳了藝+2=11次掉進陷井。

22

經過比較可知,黃鼠狼先掉進陷井,這時狐貍已跳的行程是4，x9=4().5(米)。

2

五帶余數除法

(-)填空題

1.小東在計算除法時，把除數87寫成78,結果得到的商是54,余數是8.正確的商是

,余數是O

答案:48,44o

解析：依題意得：被除數=78x54+8=4220,而4220=87x48+44,所以正確的商是48,余數

是44o

2.a.24=121……b,要使余數最大,被除數應該等于o

答案：2927o

解析：因為余數一定要比除數小,所以余數最大為23,故有，

被除數=24x121+23=2927。

3.一個三位數被37除余17,被36除余3,那么這個三位數是。

答案：831

解析：這個三位數可以寫成：

37x商+17=36x商+（商+17）。

根據“被36除余3”。（商+17）被36除要余3。商只能是22（如果商更大的話，與題

目條件“三位數”不符合）。

因此,這個三位數是37x22+17=831。

4.393除以一個兩位數,余數為8,這樣的兩位數有個,它們是。

答案:11,35,55,77。

解析：393減8,那么差一定能被兩位數整除。

V393-8=385,

385=5x7x11=(5x7)x11=(5x11)x7=(7x11)x5,

,385能被兩位數11,35,55,77整除。本題的答案是4個:11,35,55,77。

5.31453x68765x987657的積，除以4的余數是。

答案：1。

解析：V31453^4=7863-1

68765+4=17191…1

987657+4=246914…1

lxlxl=l

.*.31453x68765x987657的積除以4余數是1。

6.888……8乘以666……6的積,除以7余數是。

飛汴8'—個6

答案:50

解析：因為111111能被7整除，所以888888和666666均能被7整除。而50=6x8+2,故

得被乘數與88被7除的余數相同，乘數與66被7除的余數相同,進而得:被乘數被7除

余4,乘數被7除余3。所以乘積與(4x3=)12被7整除的余數相同。因此得乘積被7除

的余數是5。

7.如果時針現在表示的時間是18點整,那么分針旋轉1990圈之后是點鐘。

答案：16。

解析：因為分針旋轉一圈為一個鐘頭,所以分針旋轉24圈，時針旋轉2圈.若以現時18

點整為起點與終點,這樣時針又回到18點整的位置上。

由1990+24=82…余22,可知那時時鐘表示的時間應是16點整。

（二）解答題

8.幼兒園某班學生做游戲，如果每個學生分得的彈子一樣多，彈子就多12顆，如果再

增加12顆彈子，那么每個學生正好分得12顆，問這班有多少個學生？原有多少顆彈子？

答案：依題意知，原來每個學生分相等的若干顆，余12顆，則學生人數大于12.同時由

增加12顆后每個學生正好分得12顆,即12+12=24（顆），24能被班級人數整除,又24能

分解為

24=1x24=2x12=3x8=4x6

由班級人數大于12,可知符合題意的是24人。所以,共有彈子數12x24-12=276（顆）。

9.已知：5=199119911991……1991,問：a除以13,余數是幾？

"-91個通］

答案：用試除的方法可知：199119911991可以被13除盡。原數a有1991個1991.因為

1991除以3余2,所以a與19911991除以13所得余數相同。又19911991除以13余8,

所以a除以13的余數也是8。

10.100個7組成的一百位數，被13除后，問：

⑴余數是多少？

⑵商數中各位數字之和是多少？

答案:因為777777+13=59829,即777777能被13整除,把這100個7,從第一個起,每6

個分成一組，100+6=16…4,共16組還多4個。

每一組除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余數是3。

所以，100個7組成一百位數除以13后,余數是3,商數中各位數字之和是

(5+9+8+2+9)x164-(5+9+8)=550。

六中國剩余定理

(-)填空題

1.有一個數，除以3余數是1,除以4余數是3,這個數除以12余數是o

答案：7。

解析：因為除以3余數是1的數是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

除以4余數是3的數是3,7,11,15,19,23,27,31-

所以，同時符合除以3余數是1,除以4余數是3的數有7,19,31,…這些數

除以12余數均為7。

2.一個兩位數,用它除58余2,除73余3,除85余1,這個兩位數是。

答案：14。

解析：用一個兩位數除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56,73-3=70,85-1=84

能被這「兩位數整除,這個兩位數一定是56、70和84的公約數.

2567084

712XR542

456

由可可見,56、70、84的兩位數公約數是2x7=14,可見這個兩位數是14。

3.學習委員收買練習本的錢,她只記下四組各交的錢,第一組2.61元,第二組3.19元，

第三組2.61元,第四組3.48元,又知道每本練習本價格都超過1角，全班共有人。

答案：41

解析：根據題意得：

319-261=練習本單價x第二、一組人數之差，

348-319=練習本單價x第四、二組人數之差。即

練習本單價x第二、一組人數之差=58,

練習本單價x第四、二組人數之差=29,

所以,練習本單價是58與29的公約數,這樣,練習本的單價是29分，即0.29元。

因此,全班人數是

（2.61x2+3.19+3.48）+0.29

=11.89+0.29

=41（人）。

［注］這里為了利用練習本單價是總價的公約數這一隱含條件，將小數化成整數來考

慮，為解決問題提供了方便.這里也可直接找261、319和348的公約數，但比較困難.上

述解法從一定意義上說是受了輾轉相除法的啟示。

4.五年級兩個班的學生一起排隊出操,如果9人排一行,多出一個人;如果10人排一行,

同樣多出一個人.這兩個班最少共有人。

答案：91

解析：如果將兩個班的人數減少1人,則9人一排或10人一排都正好排完沒有剩余,所

以兩班人數減1是9和10的公倍數,又要求這兩班至少有幾人,可以求出9和10的最小

公倍數,然后再加上1.所以,這兩個班最少有9x10+1=91（人）。

5.一個數能被3、5、7整除，若用11去除則余1,這個數最小是。

答案:210o

解析：一個數能被3,5,7整除,這個數一定是3,5,7的公倍數.3,5,7的公倍數依次

為：105,210,315,420,……，其中被11除余數為1的最小數是210,所以這個最小數是

210o

6.同學們進行隊列訓練，如果每排8人，最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4

人，參加隊列訓練的學生最少有人。

答案：46人。

解析：如果總人數少6人,則每排8人和每排10人,均恰好排完無剩余。由此可見,人數

比10和8的最小公倍數多6人，10和8的最小公倍數是40,所以參加隊列訓練的學生至

少有46人。

7.把幾十個蘋果平均分成若干份,每份9個余8個,每份8個余7個,每份4個余3個.

這堆蘋果共有個。

答案:71o

解析：依題意知,這堆蘋果總個數,添進1個蘋果后，正好是9,8,4的倍數.因為9,8,4的

最小公倍數是9x8=72,所以這堆蘋果至少有9x87=71（個）。

［注］本題為什么求9,8,4的最小公倍數呢?這是根據限制條件“這堆蘋果共幾十個”

決定的.若限制條件改為“這堆蘋果的個數在100-200之間”的話，那么這堆蘋果共有

9x8x27=141（個）。因此，在解答問題時，一定要把條件看清楚，尤其要注意“隱含條

件”的應用。

（二）解答題

8.有一盒乒乓球，每次8個8個地數，10個10個地數，12個12個地數，最后總是剩

下3個。這盒乒乓球至少有多少個？

答案:如果這盒乒乓球少3個的話,8個8個地數，10個10個地數，12個12個的數都正

好無剩余,也就是這盒乒乓球減少3個后是8,10,12的公倍數,又要求至少有多少個乒乓

球,可以先求出8,10,12的最小公倍數,然后再加上3o

2____8一LQ_12

2456

253

故8,10,12的最小公倍數是2x2x2x5x3=120o所以這盒乒乓球有123個。

9.求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整數。

答案:設所求數為x,則x+2就能同時被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以

x=120-2=118o

10.一盒圍棋子,三只三只數多二只，五只五只數多四只，七只七只數多六只,若此盒圍

棋子的個數在200到300之間，問有多少圍棋子？

答案：設有4個圍棋子，則x子是3,5,7的倍數,x+1是[3,5,7]=3x5x7=105的倍數,

x+l=210,%=209。

七奇數與偶數

(-)填空題

1.2,4,6,8,……是連續(xù)的偶數，若五個連續(xù)的偶數的和是320,這五個數中最小的

一個是o

答案：60o

解析：這五個連續(xù)偶數的第三個(即中間的那一個)偶數是320+5=64。所以，最小的偶

數是60。

2.有兩個質數,它們的和是小于100的奇數,并且是17的倍數.這兩個質數是o

答案：2,83。

解析：因為兩個質數的和是奇數,所以必有一個是2。小于100的17的奇數倍有17,51

和85三個，17,51與2的差都不是質數,所以另一個質數是85-2=83o

3.100個自然數,它們的和是10000,在這些數里,奇數的個數比偶數的個數多,那么,這

些數里至多有個偶數。

答案:48

解析：由于100個自然數的和是10000,即100個自然數中必須有偶數個奇數，又由于奇

數比偶數多，因此偶數最多只有48個。

4.下圖是一張靶紙，靶紙上的1、3、5、7、9表示射中該靶區(qū)的分數.甲說:我打了六槍,

每槍都中靶得分,共得了27分.乙說:我打了3槍,每槍都中靶得分,共得了27分。

已知甲、乙兩人中有一人說的是真話，那么說假話的是。

答案：甲

解析：由于分數都是奇數,6個奇數之和為偶數,不可能是奇數27,所以說假話的是甲。

5.一次數學考試共有20道題,規(guī)定答對一題得2分,答錯一題扣1分,未答的題不計分。

考試結束后，小明共得23分。他想知道自己做錯了幾道題，但只記得未答的題的數目是

個偶數。請你幫助小明計算一下，他答錯了道題。

答案：30

解析：小明做錯的題的數目一定是奇數個,若是做錯1個,則應做對12個才會得

12x2-1=23分,這樣小明共做13個題，未做的題的個數7不是偶數；若是做錯3個，則

應做對13個才能得13x2-3=23分，這樣未答的題是4個，恰為偶數個。此外小明不可

能做錯5個或5個以上的題.故他做錯的題有3個。

7.有一批文章共15篇，各篇文章的頁數分別是1頁、2頁、3頁……14頁和15頁的稿

紙，如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼。那么每篇文章的第一頁是

奇數頁碼的文章最多有篇。

答案：11。

解析：根據奇數+偶數=奇數的性質,先編排偶數頁的文章(2頁,4頁，…，14頁)，這樣共

有7篇文章的第一頁都是奇數頁碼。

然后，編排奇數頁的文章(1頁,3頁,…，15頁)，根據奇數+奇數=偶數的性質，這

樣編排，就又有4篇文章的第一頁都是奇數頁碼。

所以,每篇文章的第一頁是奇數頁碼的文章最多是7+4=11(篇)。

7.一本書中間的某一張被撕掉了，余下的各頁碼數之和是1133,這本書有頁，撕掉

的是第頁和第頁。

答案:48,21,22o

解析：設這本書的頁碼是從1到n的自然數,正確的和應該是

]+2+…+77=2"(7?+1)

2

由題意可知，-n(/T+1)>1133

2

由估算,當k48時,-H(/T+1)=-X48X49=1176,1176-1133=43。根據書頁的頁碼編排,

22

被撕一張的頁碼應是奇、偶，其和是奇數，43=21+22。所以，這本書有48頁，被撕的一

張是第21頁和第22頁。

(-)解答題

9.如下圖，從0點起每隔3米種一棵樹。如果把3塊“愛護樹木”的小木牌分別掛在3

棵樹上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數（以米為單位）。試說

明理由。

答案：相距最遠的兩塊木牌的距離，等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和。如果三

塊木牌間兩兩距離都是奇數，就會出現“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊木牌

的距離是偶數。

13.如圖所示，一個圓周上有9個位置，依次編為廣9號.現在有一個小球在1號位置

上。第一天順時針前進10個位置，第二天逆時針前進14個位置。以后，第奇數天與第一

天相同，順時針前進10個位置,第偶數天與第二天相同,逆時針前進14個位置。問：至少

經過多少天，小球又回到1號位置。

74

65

答案：順時針前進10個位置，相當于順時針前進1個位置；逆時針前進14個位置，相

當于順時針前進18-14=4（個）位置。所以原題相當于:順時針每天1個位置,4個位置

交替前進,直到前進的位置個數是9的倍數為止。

偶數天依次前進的位置個數：

5,10,15,20,25,30,35,40,.......

奇數天依次前進的位置個數：

1,6,11,16,21,26,31,36,41,.......

第15天前進36個位置，36天是9的倍數，所以第15天又回到1號位置。

八周期性問題

（-）填空題

1.某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期。

答案：二。

解析：因為7x4=28,由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應是29天，且2月

1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1

日共經過了31+30+31+1=93（天）。

因為93+7=13…2,所以這年6月1日是星期二。

2.1989年12月5日是星期二,那么再過十年的12月5日是星期。

答案：日。

解析：依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有

365x10+2=3652（天）。

因為3652+7=521…5,1989年12月5日是星期二所以再過十年的12月5日是星期日。

3.按下面擺法擺80個三角形，有個白色的。

答案:39o

解析：從圖中可以看出，三角形按“二黑二白一黑一白”的規(guī)律重復排列，也就是這一

排列的周期為6,并且每一周期有3個白色三角形。

因為80+6=13…2,而第十四期中前兩個三角形都是黑色的，所以共有白色三角形

13x3=39（個）。

4.節(jié)日的校園內掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞

彩燈.也就是說,從第一盞白燈起,每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈，小明想第73盞

燈是燈。

答案：白。

解析：依題意知，電燈的安裝排列如下：白，紅,黃,綠，白，紅,黃,綠，白，……這一排列是

按“白，紅，黃，綠”交替循環(huán)出現的，也就是這一排列的周期為4。

由73+4=18-1,可知第73盞燈是白燈。

5.時針現在表示的時間是14時正,那么分針旋轉1991周后，時針表示的時間是—o

答案：13時。

解析：分針旋轉一周為1小時，旋轉1991周為1991小時。一天24小時，1991+24=82…

23,1991小時共82天又23小時.現在是14時正，經過82天仍然是14時正，再過23小

時，正好是13時。

［注］在圓面上,沿著圓周把1到12的整數等距排成一個圈，再加上一根長針和一根短針,

就組成了我們天天見到的鐘面。鐘面雖然是那么的簡單平常，但在鐘面上卻包含著十分

有趣的數學問題,周期現象就是其中的一個重要方面。

6.把自然數1,2,3,4,5……如表依次排列成5歹U,那么數“1992”在列。

第一弟一*第三第四第五

列列列列列

12345

9876

1011121314

18171615

???????????????

????????????

答案：3o

解析：仔細觀察題中表格。

12345（奇數排）

Y

第一組：

’9876（偶數排）

1011121314（奇數排）

第二組

18171615（偶數排）

1920212223（奇數排）

第三組

27262524（偶數排）

可發(fā)現規(guī)律如下：

⑴連續(xù)自然數按每組9個數,且奇數排自左往右五個數，偶數排自右往左四個數的

規(guī)律循環(huán)排列;

(2)觀察第二組,第三組,發(fā)現奇數排的數如果用9除有如下規(guī)律:第1列用9除余數

為1,第2列用9除余數為2,…，第5列用9除余數為。

(3)104.9=1-1,10在1+1組，第1列

19+9=2-1,19在2+1組，第1列

因為1992+9=221…3,所以1992應排列在(221+1)=222組中奇數排第3列數的位

置上。

7.把分數T化成小數后，小數點第11。位上的數字是o

答案：70

解析:1=0.57142857…

7

它的循環(huán)周期是6,具體地六個數依次是：

5,7,1,4,2,8

110+6=18…2

因為余2,第110個數字是上面列出的六個數中的第2個，就是7。

(二)解答題

8.緊接著1989后面一串數字，寫下的每個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數.

例如8x9=72,在9后面寫2,9x2=18,在2后面寫8,.......得到一串數字：

1989286……

這串數字從1開始往右數，第1989個數字是什么？

答案：依照題述規(guī)則多寫幾個數字：1989286884286884……

可見1989后面的數總是不斷循環(huán)重復出現286884,每6個一組，即循環(huán)周期為6.因為

(1989-4)+6=330…5,所以所求數字是8。

9.1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數是多

少？

答案：1991個1990相乘所得的積末尾兩位是0,我們只需考察1990個1991相乘的積末

尾兩位數即可。1個1991末兩位數是91,2個1991相乘的積末尾兩位數是81,3個1991

相乘的積末尾兩位數是71,4個至10個1991相乘的積的末兩位數分別是

61,51,41,31,21,11,01,11個1991相乘積的末兩位數字是91,……，由此可見，每10

個1991相乘的末兩位數字重復出現，即周期為10。因為1990+10=199,所以1990個1991

相乘積的末兩位數是01,即所求結果是01。

14.在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔

5厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多

少根？

答案：因為100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作

是從同一端點染色。

6與5的最小公倍數是30,即在30厘米的地方，同時染上紅色,這樣染色就會出現循

環(huán),每一周的長度是30厘米,如下圖所示。

5101520259095

由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期

中，6-5=1,5x5-6x4=10剩余10厘米中有一段。所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.

綜合算式為：

2x[(100-10)4-301+1

=2x3+1

=7(段)。

［注］解決這一問題的關鍵是根據整除性把自右向左每隔5厘米的染色，轉化為自左向右

的染色,便于利用最小公倍數發(fā)現周期現象，化難為易。

九圖形的計數

（-）填空題

1.下圖中一共有（）條線段。

答案:30

解析：圖形中每邊有3+2+1=6（條）線段，因此整個圖形中共有6x5=30條線段。

2.如下圖，。為三角形4A4的邊44上的一點，分別連結如力%,…因I，這樣圖中共

有個三角形。

解析：將△44人分解成以小6為公共邊的兩個三角形?！鳌?中共有5+4+3+2+1=15（個）

三角形，△0442中共有6+5+4+3+2+1=21（個）三角形。這樣，圖中共有15+21+1=37（個）三

角形。

3.下圖中有個三角形。

答案：15。

解析：這樣的問題應該通過分類計數求解。此題中的三角形可先分成含頂點。的和不含

頂點。的兩大類。含頂點。的又可分成另外兩頂點在線段45上的和在線段加上的兩小

類.分類圖解如下：

AA

D

所以原圖有

(3+2+1)+(3+2+1)+3

=15(個)三角形。

4.下圖中共有____個梯形。

答案：18。

解析：梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6（個），所以一共有6x3=18（個）梯形。

5.數一數A

⑴一共有（）個長方形。

〃⑵一共有（）個三角形。

⑵

答案：108,36。

解析：（1）因為長方形是由長和寬組成的，因此可分別考慮所有長方形的長和寬的可能種

數。按照前面所介紹的線段的計數方法可分別求出長和寬的線段條數，將它們相乘就是

所有長方形的個數。

因為4夕邊上有8+7+6+…+2+1=史處=36條線段，邊上有2+1=3條線段，所以圖中

2

一共有36x3=108個長方形。

（2）三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6（個），所以一共有6x6=36（個）三角形。

6.在下圖中,所有長方形的個數是o

答案：30o

解析：圖形中共有「+22+32+42=30個正方形。

7.一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板,上面有4x4個釘（如右圖）o以每個釘為頂點,

你能用皮筋套出正方形和長方形共個。

答案：44o

解析：因為正方形是特殊的長方形,所以可以把正方形看成長方形,這樣就不必分別求正

方形和長方形的個數，仍用分類計數的方法求解。

先考慮有一組對邊平行于用的長方形有多少個。這一類按其水平邊的位置可分為6

小類，即位置在班'、FE、EC、FC、BE、BCO同樣，其豎直邊也分為6類。所以這一類有

6x6=36個長方形。

AD

另一類是沒有邊平行于夕。的.這一類又分類兩小類,分解圖如下頁圖所示,其中分別

有6個和2個長方形。

所以，一共可套出正方形和長方形36+6+2=44個。

（二）解答題

8.右圖中共有7層小三角皿，求白色小三角形的個數與黑色小三角形的個數之比。

答案：白色小三角形個數=1+2+3+…+6=吟3=21,

黑色小三角形個數=1+2+3+…+7=『=28,

所以它們的比嗤弓。

12.則圖中梯形個數與三角形個數的差是多少?

答案：解法一：本圖中三角形的個數為（l+2+3+4）x4=40（個）。下面求梯形的個數，梯形

由兩底唯一確定.首先在AB,CD,EF,冊中，考慮兩底所在的線段,共有（4x3）+2=6（種）選

法；對上述四條線段中確定的兩條線段，共有10（10=4+3+2+1）個梯形。共60個梯形,

故所求差為20o

解法二：在給中可數出4個三角形,6個梯形，梯形比三角圖形圖形多2個。而在題圖

中，這種恰有10個。.故題圖中，梯形個數與三角形的個數之差為2x10=20（個）。

13.現在都是由邊長為1厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長為2厘米、4厘米、

8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它們的特點都是正方形的四邊的小正方形都是涂

有紅顏色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要組成這樣4個大小不同

的正方形，總共需要紅色正方形多少個？白色正方形多少個？

答案：邊長2厘米的正方形：

2x2=4（個）……紅色

邊長4厘米的正方形

（4T）x4=12（個）……紅色

（4-2）x（4-2）=4（個）……白色

邊長8厘米的正方形

（8T）x4=28（個）……紅色

（8-2）、（8-2）=36（個）……白色

邊長9厘米的正方形

（9-l）x4=32（個）……紅色

（9-2）、（9-2）=49（個）……白色

所以，紅色小正方形共有

4+12+28+32=76（個）,

白色小正方形共有

4+36+49=89（個）。

［注］本題的要求是由邊長為1厘米的紅色和白色兩種正方形,分別組成邊長是2厘

米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形，可以看作方陣問題來解。四周的小正方形

是涂紅色的,可看成是空心方陣。因此，涂紅色正方形的個數等于4x(hl)。其他小正方

形是涂白色的，可當作實心方陣。所以，涂白色的正方形的個數等于(h2)x(h2).比如，

由邊長為1厘米的正方形組成邊長為9厘米的正方形,涂紅色的小正方形的個數

是:4x(9-1)=32(個)，涂白色的小正方形的個數是：(9-2)x(9-2)=49(個)。

十圖形與面積

1.如下圖，把三角形ABC的一條邊A3延長1倍到。，把它的另一邊AC延長2倍到E,得

到一個較大的三角形ADE,三角形ADE的面積是三角形ABC面積的倍。

答案：6倍。

解析：過B、D點分別作BG_LAC,DHIAEo

由題意知，E為AD的中點，得到高BG：DH=1：2,

底邊AC：AE=1：3,

根據面積公式得出：三角形ADE的面積是三角形ABC面積的6倍。

2.如下圖，在三角形ABC中，BC=8厘米，A￡)=6厘米，E、尸分別為AB和AC的中點。

那么三角形EBR的面積是平方厘米。