專題03 排隊(duì)問題

例1．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種B．960種C．720種D．480種例2．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()例3．10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為()A．CAB．CAC．CAD．CA例4．在數(shù)字1，2，3與符號(hào)+，-五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是()A．6B．12C．24例5．計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的排列方式的種數(shù)有()A．AAB．AAAC．CAAD．AAA例6．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若女生甲不站兩端，3位男生中有且只有兩位男生相鄰，則不同排法的種數(shù)是()A．360B．288C．216D．96例7．公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)．例如：2與7互質(zhì)，1與4互質(zhì)．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列α1.α2.α3.α4.α5.α6.α7中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有()種.A．576B．720C．864D．1152例8．12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是()A．168B．20160C．840D．560例9．2007年12月中旬，我國(guó)南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災(zāi)，電煤庫存吃緊．為了支援南方地區(qū)抗災(zāi)救災(zāi)，國(guó)家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調(diào)運(yùn)電煤．某鐵路貨運(yùn)站對(duì)8列電煤貨運(yùn)列車進(jìn)行編組調(diào)度，決定將這8列列車編成兩組，每組4列，且甲、乙兩列列車不在同一小組，甲列車第一個(gè)開出，乙列車最后一個(gè)開出．如果甲所在小組4列列車先開出，那么這8列列車先后不同2的發(fā)車順序共有()A．36種B．108種C．216種D．720種例10．有四名男生，三名女生排隊(duì)照相，七個(gè)人排成一排，則下列說法正確的有()A．如果四名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法B．如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法C．如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法D．如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，那么有1440種不同排法例11．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個(gè)用數(shù)字作答）例12．5男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)（1）甲站正中間的排法有種，甲不站在正中間的排法有種.（2）甲、乙相鄰的排法有種，甲乙丙三人在一起的排法有種.（3）甲站在乙前的排法有種，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰）的排法有種，丙在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有種.（4）甲乙不站兩頭的排法有種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有種.（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有種.（6）女生互不相鄰的排法有種，男女相間的排法有種.（7）甲與乙、丙都不相鄰的排法有種.（8）甲乙之間有且只有4人的排法有種.例13．古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有種（結(jié)果用數(shù)值表示）.數(shù)字均不能重復(fù)）、每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是用數(shù)字作答）、母和數(shù)字均不能重復(fù)每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是用數(shù)字作例16．兩部不同的長(zhǎng)篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說的概率是（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.例17．三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排.（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？（5）甲必須在乙的右邊，可有多少種不同的排法？例18．三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排.（1）如果女生須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果男生按固定順序，有多少種不同的排法？（5）如果三個(gè)女生站在前排，五個(gè)男生站在后排，有多少種不同的排法？例19．三個(gè)女生和四個(gè)男生排成一排.（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？（5）如果最高的站中間，兩邊均按從高到低排列，有多少種不同的排法？（6）如果四個(gè)男同學(xué)按從高到低排列，有多少種不同的排法？例20．現(xiàn)有8個(gè)人(5男3女）站成一排.（1）女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？（2）其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？（3）其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？（4）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？（5）其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？（8）第3和第6個(gè)排男生，有多少種不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？例21．已知有7名同學(xué)排隊(duì)照相：（1）若排成兩排照，前排4人，后排3人，有多少種不同的排法？（2）若排成兩排照，前排4人，后排3人，甲必須在前排，乙丙必須在同一排，有多少種不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必須相鄰，且不站兩端，有多少種不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相間，有多少種不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果兩端不能都排男生，有多少種不同的排法？（6）若排成一圈，有多少種不同的排法？例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照.（1）甲必須排在中間，有多少種不同的排法？（2）丁不能排在中間，有多少種不同的排法？（3）丙、丁必須排在兩端，有多少種不同的排法？（4）甲、乙兩人都不能排在首末兩個(gè)位置，有多少種不同的排法？（5）甲不能站排頭，乙不能站排尾，有多少種不同的排法？例23．7位同學(xué)站一排.（1）站成兩排（前3后4)，共有多少種不同的排法？（2）其中甲站正中間的位置，共有多少種不同的排法？（3）甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（4）甲不排頭，乙不排尾的排法共有多少種？（5）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？（6）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？（7）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？（8）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有少種？（9）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)不都相鄰的排法共有多少種？(10)甲、乙相鄰且與丙不相鄰的排法共有多少種？(11)甲必須站在乙的左邊的不同排法共有多少種？例24．6位同學(xué)站在一排照相，按下列要求，各有多少種不同排法？①甲、乙必須站在排頭或排尾②甲、乙．丙三人相鄰③甲、乙、丙三人互不相鄰④甲不在排頭，乙不在排尾⑤若其中甲不站在左端，也不與乙相鄰.例251）一條長(zhǎng)椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少有2個(gè)空椅子，共有幾種不同的坐法？（2）一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有多少種不同的坐法？例26．6個(gè)人坐在一排10個(gè)座位上，問（1）空位不相鄰的坐法有多少種？（2）4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種？（3）4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種？專題3排隊(duì)問題例1．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種B．960種C．720種D．480種【解析】可分3步.第一步，排兩端，:從5名志愿者中選2名有A=20種排法，第二步，:2位老人相鄰，把2個(gè)老人看成整體，與剩下的3名志愿者全排列，有A=24種排法第三步，2名老人之間的排列，有A=2種排法最后，三步方法數(shù)相乘，共有20×24×2=960種排法故選：B.例2．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A．CAB．CAC．CAD．CA【解析】從后排8人中選2人共C種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，:為A故選：C.例3．10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為()A．CAB．CAC．CAD．CA【解析】由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，首先從后排的7人中選出2人，有C種結(jié)果，再把兩個(gè)人在5個(gè)位置中選2個(gè)位置進(jìn)行排列有A，:不同的調(diào)整方法有CA，故選：B.例4．在數(shù)字1，2，3與符號(hào)+，一五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都A．6B．12C．24有A=2種方法，共有12種方法，故選：B.例5．計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的排列方式的種數(shù)有()A．AAB．AAAC．CAAD．AAA【解析】先把每種品種的畫看成一個(gè)整體，而水彩畫只能放在中間，則油畫與國(guó)畫放在兩端有A種放法，再考慮4幅油畫本身排放有A種方法，5幅國(guó)畫本身排放有A種方法，故不同的陳列法有AAA種，故選：D.例6．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若女生甲不站兩端，3位男生中有且只有兩位男生相鄰，則不同排法的種數(shù)是()A．360B．288C．216D．96【解析】先考慮3位男生中有且只有兩位相鄰的排列共有CAAA=432種，在3男生中有且僅有兩位相鄰且女生甲在兩端的排列有2×CAAA=144種，:不同的排列方法共有432—144=288種故選：B.例7．公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)．例如：2與7互質(zhì)，1與4互質(zhì)．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列α1.α2.α3.α4.α5.α6.α7中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有()種.A．576B．720C．864D．1152【解析】根據(jù)題意，先排1、5、7，有A=6種情況，排好后有4個(gè)空位，對(duì)于2、4、6和3這四個(gè)數(shù)，分兩種情況討論：①3不在2、4中間，可先將2、4、6排在4個(gè)空位中，有A=24種情況，3不能放在6的兩邊，有5種排法，則此時(shí)有24×5=120種不同的排法，②3在2、4之間，將這三個(gè)數(shù)看成整體，有2種情況，與6一起排在4個(gè)空位中，有A=12種情況，則此時(shí)有2×12=24種不同的排法，則2、4、6和3這四個(gè)數(shù)共有120+24=144種排法；則使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有6×144=864種；故選：C.例8．12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是()A．168B．20160C．840D．560【解析】從后排8人中選2人共C種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，:6×5則不同調(diào)整方法的種數(shù)是CA=840.故選：C.例9．2007年12月中旬，我國(guó)南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災(zāi)，電煤庫存吃緊．為了支援南方地區(qū)抗災(zāi)救災(zāi)，國(guó)家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調(diào)運(yùn)電煤．某鐵路貨運(yùn)站對(duì)8列電煤貨運(yùn)列車進(jìn)行編組調(diào)度，決定將這8列列車編成兩組，每組4列，且甲、乙兩列列車不在同一小組，甲列車第一個(gè)開出，乙列車最后一個(gè)開出．如果甲所在小組4列列車先開出，那么這8列列車先后不同的發(fā)車順序共有()A．36種B．108種C．216種D．720種【解析】由于甲、乙兩列列車不在同一小組，因此，先將剩下的6人平均分組有CC，再將兩組分別按要求排序，各有A種，因此，這8列列車先后不同的發(fā)車順序共有CCAA=720種.故選：D.例10．有四名男生，三名女生排隊(duì)照相，七個(gè)人排成一排，則下列說法正確的有()A．如果四名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法B．如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法C．如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法D．如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，那么有1440種不同排法【解析】A中AA=576，B中AA=720，C中A(A+CCAA+3A)=1440，D中AA=1440.故選：CD.例11．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有576個(gè)用數(shù)字作答）【解析】首先把1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰當(dāng)做三個(gè)元素進(jìn)行排列有A種結(jié)果，這三個(gè)元素形成四個(gè)空，把7和8在這四個(gè)位置排列有A種結(jié)果，三對(duì)相鄰的元素內(nèi)部各還有一個(gè)排列A，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到這種數(shù)字的總數(shù)有AAAAA=576，故答案為：576.例12．5男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)5（1）甲站正中間的排法有8！種，甲不站在正中間的排法有種.（2）甲、乙相鄰的排法有種，甲乙丙三人在一起的排法有種.（3）甲站在乙前的排法有種，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰）的排法有種，丙在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有種.（4）甲乙不站兩頭的排法有種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有種.（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有種.（6）女生互不相鄰的排法有種，男女相間的排法有種.（7）甲與乙、丙都不相鄰的排法有種.（8）甲乙之間有且只有4人的排法有種.【解析】（1）甲站正中間的排法有8甲不站在正中間的排法有8×8（2）甲、乙相鄰的排法有2×8甲乙丙三人在一起的排法有6×7（3）甲站在乙前的排法有9甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰）的排法有丙在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有9（4）甲乙不站兩頭的排法有AA；甲不站排頭，乙不站排尾的排法有9！-2×8！+7（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有2×5！×4（6）女生互不相鄰的排法有5！×A；男女相間的排法有5！×4（7）甲與乙、丙都不相鄰的排法有9！-2×8！×2+2×7（8）甲乙之間有且只有4人的排法，捆綁法．2×A×4！.故答案為1）88×82）2×86×73）999（4）AA；9！-2×8！+75）2×5！×46）5！×A，5！×4！×2例13．古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有10種（結(jié)果用數(shù)值表示）.【解析】由題意，可看作五個(gè)位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故答案為10數(shù)字均不能重復(fù)）、每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是5832用數(shù)字作答）、【解析】各任取2個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)共有CC120A；每排中字母Q和數(shù)字0都出現(xiàn)有CCAA-CCA=5832.故答案為：5832母和數(shù)字均不能重復(fù)每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是8424用數(shù)【解析】由題意知每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)，本題可以分類來解（1）這三個(gè)元素只選O，有CCA4=3×36×24（2）這三個(gè)元素只選Q同理有3×36×24（3）這三個(gè)元素只選0有CCA=3×9×24（4）這三個(gè)元素OQ0都不選有CCA=3×36×24根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理將（1234）加起來3×36×24+3×36×24+3×9×24+3×36×24=8424故答案為：8424例16．兩部不同的長(zhǎng)篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說的概率是（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.【解析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，總事件數(shù)是8本書全排列有A種方法，而符合條件的事件數(shù)要分為二步完成：7首先兩套中任取一套，作全排列，有C.A種方法；剩下的一套全排列，有A種方法；:概率為，故答案為：.例17．三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排.（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？（5）甲必須在乙的右邊，可有多少種不同的排法？【解析】（1）因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，排成一排有A種不同排法．對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有A種不同的排法，因此共有AA=4320種不同的排法.（2）要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空位，這樣共有四個(gè)空位，加上兩端兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰．由于五個(gè)男生排成一排有A種不同的排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有A種方法，因此共有AA=14400種不同的排法.（3）因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選五個(gè)男生中的兩個(gè)，有A種排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有A種排法，所以共有AA=14400種不同的排法.（4）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排有A種排法，從中扣去兩端都是女生的排法AA種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)，因此共有A-AA=36000種不同的排法.（5）甲必須在乙的右邊即為所有排列的，因此共有=20160種不同的排法.例18．三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排.（1）如果女生須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果男生按固定順序，有多少種不同的排法？（5）如果三個(gè)女生站在前排，五個(gè)男生站在后排，有多少種不同的排法？種；（2）女生必須全分開，先排男生形成了6個(gè)空中，插入3名女生，故有AA=14400種；（3）兩端都不能排女生，從男生中選2人排在兩端，其余的全排，故有AA=14400種；種，（5）三個(gè)女生站在前排，五個(gè)男生站在后排，AA=720種例19．三個(gè)女生和四個(gè)男生排成一排.（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？（5）如果最高的站中間，兩邊均按從高到低排列，有多少種不同的排法？（6）如果四個(gè)男同學(xué)按從高到低排列，有多少種不同的排法？【解析】（1）根據(jù)題意，用捆綁法，3名女生看為一個(gè)整體，考慮其順序有A種情況，再將其與4名男生進(jìn)行全排列，有A種情況，則共有A×A=720種排法；（2）用插空法，先將4名男生全排列，有A種情況，排好后，有5個(gè)空位，在其中任選3個(gè)，安排3名女生，有A種情況，則共有A.A=1440種排法；（3）在4名男生中任取2人，安排在兩端，有2C種情況，再將剩余的5人安排在中間的5個(gè)位置，有A種情況，（4）用排除法，7人進(jìn)行全排列，有A種排法，兩端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再將剩余的5人安排在其他5個(gè)位置，有A.A種站法，則共有A-A.A=4320種排法；（5）只需將最高的人放在中間，在剩余的6人中任取3人放在左邊，其他的3人放在右邊，由于順序固定，則左右兩邊只有一種排法，則有C=20種排法；（6）先在7個(gè)位置中安排3名女生，有A種排法，剩余4個(gè)位置安排4名男生，有2種情況，則有2A=420種排法.例20．現(xiàn)有8個(gè)人(5男3女）站成一排.（1）女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？（2）其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？（3）其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？（4）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？（5）其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？（8）第3和第6個(gè)排男生，有多少種不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？【解析】（1）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個(gè)整體，考慮三人之間的順序，有A種情況，將這個(gè)整體與5名男生全排列，有A種情況，則女生必須排在一起的排法有AA種；（2）根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有2種情況，將剩下的7人全排列，有A種情況，則甲必須站在排頭有2A種排法；（3）根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在中間6個(gè)位置，有A種情況，將剩下的6人全排列，有A種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有AA種排法；（4）根據(jù)題意，先將出甲乙之外的6人全排列，有A種情況，排好后有7個(gè)空位，則7個(gè)空位中，任選2個(gè)，安排甲乙二人，有A種情況，則甲、乙兩人不相鄰有AA種排法；（5）根據(jù)題意，將8人全排列，有A種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同，則甲在乙的左邊有A種不同的排法；（6）根據(jù)題意，先將出甲乙丙之外的5人全排列，有A種情況，排好后有6個(gè)空位，則6個(gè)空位中，任選3個(gè)，安排甲乙丙三人，有A種情況，其中甲乙丙不能彼此相鄰有AA種不同排法；（7）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個(gè)整體，考慮三人之間的順序，有A種情況，再將5名男生看成一個(gè)整體，考慮5人之間的順序，有A種情況，將男生、女生整體全排列，有A種情況，則男生在一起，女生也在一起，有AAA種不同排法；（8）根據(jù)題意，在5個(gè)男生中任選2個(gè)，安排在第3和第6個(gè)位置，有CA=A種情況，將剩下的6人全排列，有A種情況，則第3和第6個(gè)排男生，有AA種不同排法；（9）根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在后面的5個(gè)位置，有A種情況，將剩下的6人全排列，有A種情況，甲乙不能排在前3位，有AA種不同排法？(10)根據(jù)題意，將5名男生全排列，有A種情況，排好后除去2端有4個(gè)空位可選，在4個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，有A種情況，則女生兩旁必須有男生，有AA種不同排法.例21．已知有7名同學(xué)排隊(duì)照相：（1）若排成兩排照，前排4人，后排3人，有多少種不同的排法？（2）若排成兩排照，前排4人，后排3人，甲必須在前排，乙丙必須在同一排，有多少種不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必須相鄰，且不站兩端，有多少種不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相間，有多少種不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果兩端不能都排男生，有多少種不同的排法？（6）若排成一圈，有多少種不同的排法？【解析】有7名同學(xué)排隊(duì)照相：（1）若徘成兩排照，前徘4人，后排3人，有A.A=5040種方法.（2）若徘成兩排照，前排4人，后排3人，甲必須在前排，乙丙必須在同一排，若乙、丙在前排，則從除了甲、乙、丙外的4人中再選一人放到前排，其余的在后排，方法有A.A.A=576種，若乙、丙在后排，從除了甲、乙、丙外的4人中再選一人放到后排，其余的人在前排，方法有A.A.A=576種，故共有576+576=1152種方法.（3）若排成一排照，甲、乙必須相鄰，且不站兩端，則采用插空法，將其余的5人排好，5人中間有4個(gè)空，把甲乙當(dāng)做一個(gè)整體插入，方法有A.A.A=960種.（4）若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相間，先排4名男生，4名男生中間有3個(gè)空，插入3名女生，有A.A=144種的排法.（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果兩端不能都排男生，若兩端都是男生，方法有A.A=1440種，而所有的方法有A=5040種，故兩端不能都排男生的排法有5040-1440=3600種.（6）若排成一圈，即彎曲排成一排，有=720種不同的排法.例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照.（1）甲必須排在中間，有多少種不同的排法？（2）丁不能排在中間，有多少種不同的排法？（3）丙、丁必須排在兩端，有多少種不同的排法？（4）甲、乙兩人都不能排在首末兩個(gè)位置，有多少種不同的排法？（5）甲不能站排頭，乙不能站排尾，有多少種不同的排法？【解析】（1）甲排中間，其他任意排列，有A=24種；（2）丁不能排在中間，先排丁有C=4種排法，然后其他任意排有A=24種，所以丁不能排在中間共有4×24=96種；（3）丙、丁必須排在兩端：先排丙丁有A=2，其他任意排列有A=6種，所以丙、丁必須排在兩端共有2×6=12種；（4）甲、乙兩人都不能排在首末兩個(gè)位置有，先排甲乙有A=6種，其他任意排列有A=6種，所以甲、乙兩人都不能排在首末兩個(gè)位置共有6×6=36種；（5）甲不能站排頭，乙不能站排尾，分為兩類，①甲在排尾，其他任意排列有A=24種，②甲不在排尾，甲有C=3種，然后乙有C=3種，其他任意排列有A=6種，所以甲不能站排頭，乙不能站排尾共有24+3×3×6=78種.例23．7位同學(xué)站一排.（1）站成兩排（前3后4)，共有多少種不同的排法？（2）其中甲站正中間的位置，共有多少種不同的排法？（3）甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（4）甲不排頭，乙不排尾的排法共有多少種？（5）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？（6）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？（7）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？（8）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有少種？（9）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)不都相鄰的排法共有多少種？(10)甲、乙相鄰且與丙不相鄰的排法共有多少種？(11)甲必須站在乙的左邊的不同排法共有多少種？【解析】7位同學(xué)站一排，（1）站成兩排（前3后4)，共有多少種不同的排法，此沒有限制條件是全排列問題，故排法種數(shù)是A種；（2）其中甲站正中間的位置，共有多少種不同的排法，此問題是甲定位置的排法，相當(dāng)于六個(gè)元素全排，故排法種數(shù)是A種；（3）甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種，此問題分兩步解決，先排甲乙兩人，再排其余五人，故排法種數(shù)是AA種；（4）甲不排頭，乙不排尾的排法共有多少種，可由乙在排頭與不在排頭兩種情況解答，乙在排頭時(shí)有A種，乙不排頭，先排乙，有5種排法，再排第一位，有5種排法，其他五人全排列，故總的排法種數(shù)是5×5×A；（5）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法，可先將甲乙兩人綁定，共A種，將其看作一個(gè)元素與另五個(gè)元素全排列，有A種，故共有