2024年上海市虹口區(qū)五校中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024學(xué)年虹口區(qū)五校聯(lián)考3月自適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)卷（滿分：150分考試時間：100分鐘）考生注意：1．帶2B鉛筆、黑色簽字筆、橡皮擦等參加考試，考試中途不得傳借文具2．不攜帶具有傳送功能的通訊設(shè)備，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)視為作弊．與考試無關(guān)的所有物品放置在考場外．3．考試開始15分鐘后禁止入場，不得提前交卷，考試期間嚴(yán)格遵守考試紀(jì)律，誠信應(yīng)考，杜絕作弊．4．答題卡務(wù)必保持干凈整潔，答題卡客觀題建議檢查好后再填涂．若因填涂模糊導(dǎo)致無法識別的后果自負(fù)．5．本卷為回憶版，如有題目不同請聯(lián)系，答案在本卷最后一．選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)合并同類項、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計算即可【詳解】A.不是同類項，不能合并，故錯誤，不符合題意；B.，故錯誤，不符合題意；C.，故錯誤，不符合題意；D.，故正確，符合題意．故答案為：D．【點睛】本題考查合并同類項、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法，正確計算是解題的關(guān)鍵．2.若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（）A.a≤1 B.a＞1 C.1＜a≤2 D.﹣1＜a＜1【答案】A【解析】【分析】先解出不等式組，然后根據(jù)不等式組無解，即可解答．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得x＞1，∵關(guān)于x的不等式組無解，∴，解得：a≤1，故選：A．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，理解題意，得出是解題的關(guān)鍵．3.下列平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的曲線中，既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形的是（）A.三葉玫瑰線 B.四葉玫瑰線C.心形線 D.笛卡爾葉形線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．4.下列說法中，不正確的是A.等腰三角形底邊上的中線就是它的頂角平分線B.等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線的一部分C.一條線段可看作以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形D.兩個三角形能夠重合，它們一定是軸對稱的【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面圖形的基本概念依次分析各選項即可作出判斷.【詳解】解：A.等腰三角形底邊上的中線就是它的頂角平分線，正確，不符合題意；B.等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線的一部分，正確，不符合題意；C.一條線段可看作以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形，正確，不符合題意；D.兩個三角形能夠重合，它們可能是平移或旋轉(zhuǎn)的，故錯誤，本選項符合題意.故選：D【點睛】此題主要考查了學(xué)生對軸對稱的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的理解．找出每個選項正誤的具體原因是解答本題的關(guān)鍵．5.知直線，直線，且，若以中的一條直線為x軸，中的一條直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向右、向上為正方向，且拋物線與這四條直線的位置如圖所示，則所建立的平面直角坐標(biāo)系中的x軸、y軸分別為（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)解析式可得拋物線的對稱軸及與y軸的交點，由此則可知道兩坐標(biāo)軸所在的直線．【詳解】由解析式知，拋物線的對稱軸為直線，所以拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，從而直線是y軸；當(dāng)x=0時，，則拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，所以此交點應(yīng)在x軸上方，從而直線是x軸；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．6.某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為y，觀影人數(shù)記為x，其函數(shù)圖象如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調(diào)整后y與x的函數(shù)圖象．給出下列四種說法：①圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價，并提高成本；②圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價不變，并降低成本；③圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并保持成本不變：④圖（3）對應(yīng)方案是：提高票價，并降低成本．其中，正確的說法是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，解題時要能熟練掌握并能學(xué)會讀圖分析是關(guān)鍵．依據(jù)題，分析圖象變化前后的實際意義即可得答案．【詳解】解：由圖可知，點A的縱坐標(biāo)的相反數(shù)表示成本，一次函數(shù)的比例系數(shù)表示票價．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價不變，并降低成本，故①錯誤，②正確；圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并保持成本不變，故③正確，④錯誤．故選：C．二．填空題（共12題，每題4分，滿分48分）7.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．8.已知，則的值為_____．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意得出，再代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，原式，故答案：．【點睛】本題考查了分式的加減法以及分式有意義的條件，把條件變形得出是解本題的關(guān)鍵．9.函數(shù)的定義域為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的定義域，就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題．由根式的被開方數(shù)大于等于0，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故答案為：．10.不等式的解集為_________．【答案】【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式，直接將系數(shù)化為1即可求解．【詳解】解：，系數(shù)化為1，得．故答案為：．11.在某公司的面試中，李明的得分情況為：個人形象85分，工作能力90分，交際能力80分，已知個人形象、工作能力和交際能力的權(quán)重為1:2:2，則李明的最終成績是_____________．【答案】85分【解析】【分析】李明的各項成績分別乘以其權(quán)，再除以權(quán)的和，求出加權(quán)平均數(shù)即可.【詳解】解：根據(jù)題意得：，故答案為85分.【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，本題易出現(xiàn)的錯誤是求89,93,83這三個數(shù)的平均數(shù)，對平均數(shù)的理解不正確.12.已知反比例函數(shù)的圖象與直線交于點，則這個反比例函數(shù)的解析式為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了求反比例函數(shù)解析式、求一次函數(shù)上點坐標(biāo)，根據(jù)交點，代入求出坐標(biāo)，再把完整坐標(biāo)代入，求出反比例函數(shù)的解析式即可，正確代入計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象與直線交于點，∴把代入得：，∴點的坐標(biāo)為，∴把代入得：，∴，∴這個反比例函數(shù)的解析式為，故答案為：．13.正六邊形的中心角等于______度．【答案】60°【解析】【分析】根據(jù)正n邊形中心角的公式直接求解即可.【詳解】解：正六邊形的圓心角等于一個周角，即為，正六邊形有6個中心角，所以每個中心角=故答案為：60°【點睛】本題考查正六邊形，解答本題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)，熟悉正六邊形的中心角的概念14.如圖，已知在平行四邊形中，點E是邊CD的中點，和交于點F，設(shè)．用向量表示向量，即=___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了向量的線性運算及平行四邊形的性質(zhì)得到，即可得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，結(jié)合點E是的中點推出，得到，所以，進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】解：∵是平行四邊形，∴，，∴，又∵點E是的中點，∴，∴，又∵∴，，∴，∴，即，∴，故答案為：．15.已知反比例函數(shù)的表達(dá)式為，和是反比例函數(shù)圖象上兩點，若時，，則的取值范圍是________．【答案】##m＞-0.5【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以得到關(guān)于m的不等式，從而可以求得m的取值范圍．【詳解】解：∵點A(x1,y1)，B(x2,y2)為反比例函數(shù)圖象上兩點，當(dāng)時，，∴該反比例函數(shù)的圖象的兩個分支分別在第一、第三象限∴1+2m>0，解得，故m的取值范圍是故答案為：【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．16.在平面直角坐標(biāo)系中，對于不在坐標(biāo)軸上的任意一點，我們把點稱為點的“逆倒數(shù)點”．如圖，正方形的頂點為，頂點在軸正半軸上，函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點和點，連結(jié)交正方形的一邊于點，若點是點的“逆倒數(shù)點”，則點的坐標(biāo)為________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和點的坐標(biāo)，可知正方形頂點的坐標(biāo)為，從而得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則“逆倒數(shù)”點的坐標(biāo)為，點在正方形的一邊上，分兩種情況：①點在上，得；②點在上，得，即可求出點的坐標(biāo)．【詳解】解：在正方形上，點的坐標(biāo)∴正方形頂點的坐標(biāo)為將代入中，解得：即反比例函數(shù)解析式為：設(shè)點的坐標(biāo)為，則“逆倒數(shù)”點的坐標(biāo)為點在正方形的一邊上，分兩種情況：①點在上，，即②點在上，，即故答案為：或．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，新定義閱讀理解能力，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)的知識．17.在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“Y函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對稱的不同兩點叫做一對“Y點”．若關(guān)于x的“Y函數(shù)”（，且a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點O，且與直線l：（，且m，n是常數(shù)）交于兩點，當(dāng)滿足時，則直線l經(jīng)過的定點為_____．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)過原點得出，再由“Y函數(shù)”得出b的值，確定二次函數(shù)解析式后，和直線聯(lián)立求出交點的橫坐標(biāo)，寫出l的解析式，確定經(jīng)過的定點即可．【詳解】解：∵過原點，∴，∵是“Y函數(shù)”，∴，∴，聯(lián)立直線l和拋物線得：，即：∴，又∵，化簡得：∴，即，∴，當(dāng)時，，∴直線l必過定點．故答案為：．【點睛】本題主要考查與二次函數(shù)有關(guān)的新定義的概念，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的特點，對于過定點的問題，一般要先寫出解析式，然后取適當(dāng)?shù)膞求出對應(yīng)的y．18.如圖，在矩形中，，是的中點，連接是邊AD上一動點，過點的直線將矩形折疊，使點落在上的處，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，_______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，當(dāng)是以為腰的等腰三角形，分類討論：第一種情況，，過點作于點；第二種情況，；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，運用相似三角形的判定和性質(zhì)可得，找出線段之間的數(shù)量關(guān)系列式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∵點是中點，∴，∴在中，，∵折疊，∴，當(dāng)是以為腰的等腰三角形，分類討論：第一種情況，如圖所示，，過點作于點，∴，設(shè)，則，，∴，∵，∴，且，∴，∴，即，解得，，即，∴；第二種情況，如圖所示，，同理，可得，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，在中，，∴，解得，，（舍去），∴；綜上所述，的值為或，故答案為：或

．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運用，掌握折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（滿分78分）19.計算：．【答案】0【解析】【分析】本題主要考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角銳角三角函數(shù)值．先根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角銳角三角函數(shù)值化簡，再計算，即可求解．【詳解】解：原式20.解方程組：【答案】，【解析】【分析】本題考查了二元二次方程組解法，解題關(guān)鍵通過因式分解將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為兩個二元一次方程組解答．因式分解組中的方程②，得到兩個二元一次方程，再代入①即可解方程組．【詳解】解：由②得：，即或，把代入①得，；把代入①得，；∴方程組的解為：，．21.如圖1是一張乒乓球桌，其側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)如圖2所示，臺面（臺面厚度忽略不計）與地面平行，且高度為（臺面與地面之間的距離），直線型支架與的上端E，F(xiàn)與臺面下方相連，與的下端P，Q與直徑為的腳輪（側(cè)面是圓）相連（銜接之間的距離忽略不計），直線型支架與的上端C，D與臺面下方相連，下端G，H與，相連，圓弧形支架分別與，在點G，H相連，且，已知，，

（1）求：的長度（2）當(dāng)所在的圓經(jīng)過點P、Q時，求：所在的圓的圓心到臺面之間的距離【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查垂徑定理及解直角三角形的應(yīng)用，理解和靈活運用垂徑定理，并能夠熟練地解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．（1）過點，交于點M．連接．根據(jù)已知條件求出、，由勾股定理計算的長度；（2）設(shè)點O為所在圓的圓心．連接、、、，過點O作OK⊥GH，交GH于點K，交PQ于點N．由垂徑定理求得、，由勾股定理和半徑相等列方程，求出，進(jìn)而求出圓心到的距離．【小問1詳解】解：過點G作，交于點M．連接．由題意可得：，，∴．又∵，∴，∵，，∴，∴，，∴．【小問2詳解】解：設(shè)點O為所在圓的圓心．連接、、、，過點O作OK⊥GH，交GH于點K，交PQ于點N．由垂徑定理，得，∴．∴．∵，，且，∴，∴，即，解得．∴．∴所在的圓的圓心到臺面之間的距離為．22.“長度”和“角度”是幾何學(xué)研究的核心問題．相交線與平行線的學(xué)習(xí)，讓我們對“角度轉(zhuǎn)化”有了深刻的體會．某數(shù)學(xué)興趣小組受此啟發(fā)，試圖溝通“角度”與“長度”間的關(guān)系．在研究過程中他們發(fā)現(xiàn)了一條關(guān)于三角形的重要結(jié)論----“等角對等邊”，即：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．如右圖，在中，若，則．以此為基礎(chǔ)，該興趣小組邀請你加入研究，繼續(xù)解決如下新問題：在平面直角坐標(biāo)系中，，，已知，點為軸上方的一點．（1）如圖1，若的角平分線交于點，已知點，上有一點．則①與軸的位置關(guān)系為______；②求的長度；（2）如圖2，、分別平分、，過點作的平行線，分別交、于點、．若，，求四邊形的周長；（3）當(dāng)點為軸上方的一動點（不在軸上）時，連接、．若鄰補角的角平分線和的角平分線交于點，過點作的平行線，分別交直線、直線于點、．隨著點移動，圖形形狀及點、、的位置也跟著變化，但線段、和之間卻總是存在著確定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系______．【答案】（1）①平行；②3；（2）14；（3）【解析】【分析】（1）①根據(jù)D、E縱坐標(biāo)相等可得到結(jié)果；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)計算即可；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明即可；【詳解】（1）①∵，，∴軸，∴答案是：平行；②∵，∴，∵BD評分，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∵，，∴，∴；（2）∵、分別平分、，∴，，又∵，∴，，∴，，∴和是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，又∵，，，∴，，∴，∴四邊形的周長；（3）如圖所示，∵AP、BP分別是鄰補角的角平分線和的角平分線，∴，，又∵，∴，，∴，，∴，，∴；【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在菱形中，，連結(jié)，E，F(xiàn)分別是，上的點，且，連接，交于點P．（1）求證：；（2）連結(jié)交于O點，設(shè)，，求證：【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用邊角邊判定可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和銳角三角函數(shù)，可以證明結(jié)論成立；【小問1詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，在和中，，∴；【小問2詳解】證明：由（1）知，，∴，∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，垂足為O，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24.二次函數(shù)的圖象交x軸于點，點，交軸于點，拋物線的頂點為點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，點是拋物線上的一點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，點在對稱軸上，且，若，請求出的值；（3）如圖2，將拋物線繞軸正半軸上一點旋轉(zhuǎn)得到新拋物線交軸于，兩點，點的對應(yīng)點為點，點B的對應(yīng)點為點．若，求旋轉(zhuǎn)中心點的坐標(biāo)【答案】（1）（2）（3）R【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）證明，則，即可求解；（3）在中，，，則，解得，在中，，故點的坐標(biāo)為，進(jìn)而求解．【小問1詳解】解：將，點，代入函數(shù)解析式得：，解得：，這個二次函數(shù)的表達(dá)式是；【小問2詳解】解：過點作軸的平行線交過點與軸的平行線與點，交過點與軸的平行線于點，，，，，，，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則，，，，即，解得（舍去）或4，故；【小問3詳解】解：過點作交的延長線于點，由拋物線的表達(dá)式知，點，，則，，故，故設(shè)，則，在中，，，則，解得，在中，，故點的坐標(biāo)為，由旋轉(zhuǎn)的定義知，點是點、的中點，則，故點的坐標(biāo)為．【點睛】本題要考查了二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確的利用性質(zhì)．25.如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣