湘豫名校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

湘豫名校聯(lián)考2024屆春季學(xué)期高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)．時(shí)間120分鐘，滿分150分．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷指定位置，并將姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，然后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．作答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩個(gè)根分別為，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出兩復(fù)數(shù)根，再根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，，即，當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，，綜上，.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再由集合的運(yùn)算求解．【詳解】因?yàn)?，，所以，所以．故選：D．3.已知橢圓與矩形的四條邊都相切，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知橢圓的長(zhǎng)軸與短軸長(zhǎng)，進(jìn)而可得離心率.【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，，則，，所以，所以的離心率為，故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和余弦倍角公式即可求解.【詳解】，故選：C5.在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對(duì)準(zhǔn)同一個(gè)弓箭靶，兩人同時(shí)射箭．已知甲、乙中靶的概率分別為0.5，0.4，且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，求的是條件概率，根據(jù)條件概率的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”，則，，所以，，．所以．所以．故選：B．6.如圖，，和，分別是函數(shù)圖象的兩個(gè)最低點(diǎn)和兩個(gè)最高點(diǎn)，若四邊形的面積為，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四邊形面積可得三角函數(shù)的周期與，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得解.【詳解】由題意，得四邊形為平行四邊形，且，且與之間的距離為，則，解得，則，令，，解得，，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，則，即的最大值為，故選：C.7.已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶函數(shù)的定義得出為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，由導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性進(jìn)而得出在上單調(diào)遞增，根據(jù)抽象函數(shù)不等式解法求解即可．【詳解】由題意得，的定義域?yàn)?，，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．由，得，所以，兩邊平方并整理，得，解得．故選：B．8.中國(guó)古代建筑中重要的構(gòu)件之一——柱（俗稱(chēng)“柱子”多數(shù)為木造，屬于大木作范圍，其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一種做法，即木柱非整根原木，而是多塊用榫卯拼合而成．寧波保國(guó)寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包鑲式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周?chē)?，根?jù)需要再用若干根一定厚度的木料包鑲而成的柱子，圖1為“包鑲式瓜棱柱”，圖2為此瓜棱柱的橫截面圖，中間大圓木的直徑為，外部八根小圓木的直徑均為，所有圓木的高度均為，且粗細(xì)均勻，則中間大圓木與一根外部小圓木的體積之比為（）A. B.C.3 D.【答案】D【解析】【分析】八根小圓木截面圓的圓心構(gòu)成一個(gè)正八邊形，邊長(zhǎng)為，相鄰兩根小圓木圓心與大圓木圓心構(gòu)成一個(gè)底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，結(jié)合余弦定理可得，從而可求結(jié)論.【詳解】八根小圓木截面圓的圓心構(gòu)成一個(gè)正八邊形，邊長(zhǎng)為，相鄰兩根小圓木圓心與大圓木圓心構(gòu)成一個(gè)底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，根據(jù)余弦定理，得，解得，所以中間大圓木與一根外部小圓木的體積之比為：．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量，且，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)得到，再由基本不等式判斷A、B、C，利用特殊值判斷D.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，由正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得，因?yàn)?，所以，故A正確；，故B正確；，即，故C錯(cuò)誤；由于當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA⊥平面ABCD，且，E，F(xiàn)，G分別為PB，PD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段PA上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則（）A.平面PCDB.直線FG與AB所成的角為30°C.D.經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，G的平面截四棱錐所得到的截面圖形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面平行判斷A,應(yīng)用定義得出異面直線所成角判斷B,平行公理判斷C,先證明線面垂直得出線線平行即可求出截面再計(jì)算判斷D.【詳解】因?yàn)镋G是△PBC的中位線，所以，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，A正確．如圖，取PA的中點(diǎn)M，連接MF，BM，則，且．因?yàn)榍?，所以且．所以四邊形MFGB為平行四邊形，所以，所以∠MBA或其補(bǔ)角即為直線FG與AB所成的角．由平面ABCD，面，得．因?yàn)?，所以FG與AB所成角的正切值為，B錯(cuò)誤．由題意，得Q是PM的中點(diǎn)，所以，又，所以，C正確．顯然E，G，F(xiàn)，Q四點(diǎn)共面，取CD的中點(diǎn)H，連接FH，GH，可得四邊形EGHF為平行四邊形，所以E，G，H，F(xiàn)四點(diǎn)共面，所以E，G，H，F(xiàn)，Q五點(diǎn)共面，即五邊形EGHFQ即為所求的截面．設(shè)，則，且，，．由題意及線面垂直的性質(zhì)有，，且都在面，所以BD⊥平面PAC．而面，所以，又，，所以，所以，D正確．故選：ACD．11.已知拋物線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，直線l與交于B，C兩點(diǎn)（異于A點(diǎn)），與x軸交于M點(diǎn)，直線AC與AB的傾斜角互補(bǔ)，則（）A.線段BC中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為B.直線l的傾斜角為C.當(dāng)時(shí)，M點(diǎn)為的焦點(diǎn)D.當(dāng)直線l在y軸上的截距小于3時(shí)，△ABC的面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出拋物線方程，根據(jù)化簡(jiǎn)可得，即可判斷A；結(jié)合A的分析化簡(jiǎn)可得，即可判斷B；設(shè)，可得l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)，求出M的坐標(biāo)，即可判斷C；求出△ABC的面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求解其最大值，即可判斷D.【詳解】將代入，可得，所以的方程為，焦點(diǎn)為，設(shè)，，則，同理．因?yàn)橹本€AC與AB的傾斜角互補(bǔ)，所以，即，解得，且，所以BC中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，A正確．因?yàn)椋詌的傾斜角為，B正確．設(shè)，則l方程為，由，得．根據(jù)，解得，所以，，則，，所以，解得或，即M點(diǎn)不一定為的焦點(diǎn)，C錯(cuò)誤．當(dāng)l在y軸上的截距小于3時(shí)，即．因?yàn)辄c(diǎn)A到l的距離為，所以的面積為．設(shè)函數(shù)，，則，令，得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得最大值，所以S的最大值為，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要先求出面積的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求解其最大值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若在上的投影向量為，則的值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】先根據(jù)投影向量計(jì)算公式求出，再結(jié)合已知條件和數(shù)量積以及模長(zhǎng)的定義即可求出的值.【詳解】由題得在上的投影向量為，所以,又，所以，解得.故答案為：1.13.設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則______．【答案】13【解析】【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合已知求出，繼而化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意，顯然，且，則，解得，所以．故答案為：1314.已知函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】10【解析】【分析】作出函數(shù)y=f【詳解】作出函數(shù)y=fx如圖，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)．又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，部分函數(shù)圖象如圖，由圖象可得，，，…，，，，，…，，即，即，解得，即2，3，4，…，10，11，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．故答案為：10.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)y=f四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，△ABC的面積為，求b．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用二倍角公式，結(jié)合和角公式，正弦定理化簡(jiǎn)即可；（2）運(yùn)用面積公式，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由已知，得，由正弦定理，得，即，即．由，得，所以．由正弦定理，得．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋寓伲捎嘞叶ɡ?，得，即．由?），得，所以，化簡(jiǎn)，得，代入①，得，所以．16.如圖，在三棱錐中，平面平面，和均為等腰直角三角形，且，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，，若平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，利用法向量夾角的余弦值公式求的值.【小問(wèn)1詳解】由題意，得，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，．所以，即．又因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，所以，．因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則，，所以．由（1）知平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，．所以，，．由，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則平面PAB的一個(gè)法向量為．設(shè)平面ACF的法向量為，則，即，令，則平面ACF的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理，得，解得或．所以的值為或．17.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子次，第次拋擲落地時(shí)朝上的點(diǎn)數(shù)記為，．（1）若，記出現(xiàn)為奇數(shù)次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望；（2）若，求事件“”的概率．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，期望（2）【解析】【分析】（1）由條件先求出為奇數(shù)的概率，再確定的可能取值，及取各值的概率，由此可得分布列，結(jié)合期望公式求期望；（2）求出事件“所含的基本事件，再利用古典概型概率公式求解.【小問(wèn)1詳解】由題易得，拋擲一枚骰子1次，出現(xiàn)為奇數(shù)的概率為，出現(xiàn)不是奇數(shù)的概率也為，的可能取值為．因?yàn)椋?，，，，所以的分布列?1234所以．【小問(wèn)2詳解】記事件為事件“”，則事件包含以下種情況：①拋擲次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同，有種可能；②拋擲次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有個(gè)數(shù)字，有種可能；③拋擲次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有個(gè)數(shù)字，有種可能；④拋擲次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有個(gè)數(shù)字，有種可能；⑤拋擲次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)有個(gè)數(shù)字，有種可能，所以，即事件“”的概率為．18.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)上一點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線，分別交軸于，兩點(diǎn)，且，內(nèi)切圓的圓心到軸的距離為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（?。┰O(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，試判斷直線與C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（異于的兩頂點(diǎn)），在點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，證明：，，三點(diǎn)共線．【答案】（1）（2）（?。┲本€與雙曲線相切；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)及雙曲線的定義可知，再根據(jù)漸近線斜率設(shè)直線與方程，可得，結(jié)合雙曲線方程可得，即可得雙曲線方程；（2）（i）聯(lián)立直線與曲線結(jié)合判別式可得直線與雙曲線位置關(guān)系；（ii）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線得坐標(biāo)，再根據(jù)切線方程可得，根據(jù)斜率相等即可得證三點(diǎn)共線.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，設(shè)，則，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程．令，得，，則．設(shè)的內(nèi)切圓（圓心為）分別與，，切于點(diǎn)，，，則，所以為的頂點(diǎn)，所以軸，的橫坐標(biāo)為，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】（?。┯?，得，結(jié)合，得，所以．所以直線與相切．（ⅱ）由題易得直線的斜率不為，設(shè)直線方程為，代入，得，其中，設(shè)Ax1,y1，Bx2則，，由（?。?，在點(diǎn)，處的切線方程分別為，．兩式聯(lián)立，得，，即，所以，故，，三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19.在平面直角坐標(biāo)系中，定義：如果曲線和上分別存在點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)和點(diǎn)為和的一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求點(diǎn)所在的曲線方程和的最小值；（2）若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求的最大值；（3）若和在區(qū)間上有且僅有兩對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（