人教高中數(shù)學(xué)A版必修一 《對數(shù)的概念對數(shù)的運算》總結(jié)內(nèi)容

4.3.1

對數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)的概念1.(1)某種細(xì)胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…依次類推,那么1個這樣的細(xì)胞分裂x次后,得到的細(xì)胞個數(shù)N是多少?提示:N=2x.(2)上述問題中,若已知分裂后得到的細(xì)胞的個數(shù)分別為8個,16個,則分裂的次數(shù)分別是多少?提示:3次,4次.(3)上述問題中,如果已知細(xì)胞分裂后的個數(shù)N,能求出分裂次數(shù)x嗎?提示:能,x=log2N.2.填空:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).一二三一二三3.在對數(shù)式x=logaN中,底數(shù)a和真數(shù)N的取值范圍是什么,為什么?提示:由于對數(shù)式中的底數(shù)a就是指數(shù)式中的底數(shù)a,所以a的取值范圍為a>0,且a≠1;由于在指數(shù)式中ax=N,而ax>0,所以N>0.4.對數(shù)式與指數(shù)式的互化(1)在指數(shù)式和對數(shù)式中都含有a,x,N這三個量,那么這三個量在兩個式子中各有什么異同點?提示:一二三(2)53=125化為對數(shù)式是什么?log416=2化為指數(shù)式是什么?指數(shù)式與對數(shù)式具有怎樣的關(guān)系?提示:log5125=3,42=16.當(dāng)a>0,a≠1時,ax=N?x=logaN.(3)(-3)2=9能否直接化為對數(shù)式log(-3)9=2?提示:不能,因為只有符合a>0,a≠1時,才有ax=N?x=logaN.一二三答案:(1)B

(2)D

(3)C一二三(4)判斷正誤①因為(-2)2=4,所以log-24=2.(

)②log34與log43表示的含義相同.(

)答案:(1)B

(2)D

(3)C

(4)①×

②×一二三二、常用對數(shù)與自然對數(shù)1.(1)10b=a用對數(shù)式如何表示?提示:b=log10a,簡記為b=lg

a.(2)在科學(xué)計算器上,有一個特殊符號“l(fā)n”,你知道它是什么嗎?提示:符號“l(fā)n”是一種對數(shù)符號,它是用來計算以“e”為底的對數(shù)的.(3)lnM=n用指數(shù)式如何表示?提示:en=M.2.填空3.做一做(1)lg105=

;(2)lne=

.

答案:(1)5

(2)1一二三三、對數(shù)的基本性質(zhì)1.(1)“60=?”化成對數(shù)式呢?提示:1

log61=0.(2)“51=?”化成對數(shù)式呢?提示:5

log55=1.2.填空對數(shù)的基本性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).(2)loga1=0(a>0,a≠1).(3)logaa=1(a>0,a≠1).一二三3.做一做(2)若log3(log2x)=0,則x=

.

解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2.答案:(1)D

(2)2探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練對數(shù)式與指數(shù)式的互化例1

將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:分析:利用當(dāng)a>0,且a≠1時,logaN=b?ab=N進(jìn)行互化.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟1.logaN=b與ab=N(a>0,且a≠1)是等價的,表示a,b,N三者之間的同一種關(guān)系.如下圖:2.根據(jù)這個關(guān)系式可以將指數(shù)式與對數(shù)式互化:將指數(shù)式化為對數(shù)式,只需將冪作為真數(shù),指數(shù)作為對數(shù),底數(shù)不變;而將對數(shù)式化為指數(shù)式,只需將對數(shù)式的真數(shù)作為冪,對數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值例2求下列各式中x的值:(1)4x=5·3x;

(2)log7(x+2)=2;分析:利用指數(shù)式與對數(shù)式之間的關(guān)系求解.(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.(3)∵ln

e2=x,∴ex=e2,∴x=2.(5)∵lg

0.01=x,∴10x=0.01=10-2,∴x=-2.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟指數(shù)式ax=N與對數(shù)式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三個量a,x,N之間的同一種關(guān)系,因而已知其中兩個時,可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化求出第三個.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練2求下列各式中的x值:(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用對數(shù)的基本性質(zhì)與對數(shù)恒等式求值例3

求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;分析:利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及對數(shù)恒等式求值.解:(1)∵ln(log2x)=0,∴l(xiāng)og2x=1,∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴l(xiāng)g

x=2,∴x=102=100.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟1.在對數(shù)的運算中,常用對數(shù)的基本性質(zhì):(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù);(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)進(jìn)行對數(shù)的化簡與求值.2.對指數(shù)中含有對數(shù)值的式子進(jìn)行化簡、求值時,應(yīng)充分考慮對數(shù)恒等式的應(yīng)用.對數(shù)恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)的結(jié)構(gòu)形式:(1)指數(shù)中含有對數(shù)式;(2)它們是同底的;(3)其值為對數(shù)的真數(shù).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練3求下列各式中x的值:解:(1)∵ln(lg

x)=1,∴l(xiāng)g

x=e,∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴l(xiāng)og5x=1,∴x=5.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練因忽視底數(shù)的取值范圍而致錯典例

已知log(x+3)(x2+3x)=1,求實數(shù)x的值.錯解由對數(shù)的性質(zhì)可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:上述解法的錯誤在于忘記檢驗底數(shù)需大于0且不等于1.解得x=1.故實數(shù)x的值為1.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練防范措施1.在對數(shù)表達(dá)式x=logaN中,需滿足底數(shù)a>0,且a≠1,真數(shù)N>0.2.在利用對數(shù)式的性質(zhì)求出a的值后,務(wù)必驗證底數(shù)和真數(shù)是否滿足對數(shù)式的意義.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練對數(shù)式log(a-2)(5-a)中實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,5)B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5)D.(2,+∞)解析:要使對數(shù)式b=log(a-2)(5-a)有意義,故選C.答案:C探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.將log5b=2化為指數(shù)式是(

)A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5答案:C答案:C探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練3.16、17世紀(jì)之交,隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展,改進(jìn)數(shù)字計算方法成了當(dāng)務(wù)之急,數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中,為簡化計算發(fā)明了對數(shù).直到18世紀(jì),才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系,即ab=N?b=logaN.現(xiàn)在已知a=log23,則2a=

.

解析:由a=log23,化對數(shù)式為指數(shù)式可得2a=3.答案:3探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練5.若loga2=m,loga3=n,則a2m+n=

.

解析:因為loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.答案:126.求下列各式中x的值:(3)由log3(lg

x)=1,得lg

x=3,故x=103=1

000.4.3.2

對數(shù)的運算指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一二一、對數(shù)的運算性質(zhì)1.(1)指數(shù)的運算法則有哪些?提示:①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);③(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);④(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)計算log24,log28及l(fā)og232的值,你能分析一下三者存在怎樣的運算關(guān)系嗎?提示:∵log24=2,log28=3,log232=5,∴l(xiāng)og24+log28=log2(4×8)=log232;一二(3)計算lg10,lg100,lg1000及l(fā)g104的值,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?提示:lg

10=1,lg

100=lg

102=2,lg

1

000=lg

103=3,lg

104=4,可見lg

10n=nlg

10=n.2.填表對數(shù)的運算性質(zhì)一二3.做一做(1)化簡2lg5+lg4-的結(jié)果為(

)A.0 B.2 C.4 D.6解析:原式=2lg

5+2lg

2-2=2(lg

5+lg

2)-2=0.答案:A(2)判斷正誤:log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5).(

)答案:×一二二、換底公式一二2.做一做(2)化簡log47·log74=

.

(3)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log125=

.

探究一探究二探究三探究四思想方法對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用例1

計算下列各式的值:分析:利用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行計算.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.反思感悟?qū)τ诘讛?shù)相同的對數(shù)式的化簡、求值,常用的方法(1)“收”,將同底的兩個對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù);(2)“拆”,將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差).對數(shù)式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應(yīng)用公式的習(xí)慣.lg

2+lg

5=1在計算對數(shù)值時會經(jīng)常用到,同時注意各部分變形要化到最簡形式.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法換底公式的應(yīng)用例2

計算下列各式的值:分析:用換底公式將對數(shù)化為同底的對數(shù)后再化簡求值.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.換底公式的本質(zhì)是化異底為同底,主要用途是將一般對數(shù)化為常用對數(shù)或自然對數(shù),解決一般對數(shù)的求值問題.2.利用換底公式計算、化簡、求值的一般思路:隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓(xùn)練2化簡:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法

對數(shù)運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(1)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)分析:(1)先利用指數(shù)式和對數(shù)式的互化公式,將18b=5化成log185=b,再利用換底公式,將log3645化成以18為底的對數(shù),最后進(jìn)行對數(shù)的運算.(2)用對數(shù)式表示出x,y,z后再代入所求(證)式子進(jìn)行求解或證明.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟

對數(shù)概念的實質(zhì)是給出了指數(shù)式與對數(shù)式之間的關(guān)系,因此如果遇到條件中涉及指數(shù)冪的連等式時,常引入輔助變量,利用指數(shù)與對數(shù)間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系,簡化求解過程.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓(xùn)練3(1)已知log325=q,log43=p,則lg2=(

)答案:B隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練

換底公式在實際中的應(yīng)用例4分貝是計量聲音強度相對大小的單位.物理學(xué)家引入了聲壓級來描述聲音的大小:把一很小的聲壓P0=2×10-5帕作為參考聲壓,把所要測量的聲壓P與參考聲壓P0的比值取常用對數(shù)后乘20得到的數(shù)值稱為聲壓級.聲壓級是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一,單位是分貝(dB).分貝值在60以下為無害區(qū),說明聲音環(huán)境優(yōu)良,60~110為過渡區(qū),110以上為有害區(qū).(1)試列出分貝y與聲壓P的函數(shù)關(guān)系式.(2)某地聲壓P=0.002帕,則該地為以上所說的什么區(qū)?聲音環(huán)境是否優(yōu)良?(3)假若某精彩的文藝節(jié)目引起了觀眾多次響亮的掌聲,某記者用儀器測得其中一次掌聲的音量達(dá)到了90分貝,試求此時會場內(nèi)的聲壓是多少.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟

解決對數(shù)應(yīng)用題的一般步驟

探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練4一臺機器原價20萬元,由于磨損,該機器每年比上一年的價值降低8.75%,問經(jīng)過多少年這臺機器的價值為8萬元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解:設(shè)經(jīng)過x年,這臺機器的價值為8萬元,則8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,兩邊取以10為底的對數(shù),

所以約經(jīng)過10年這臺機器的價值為8萬元.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練對數(shù)方程的求解方法典例

解下列方程:(2)lgx+2log(10x)x=2;(3)(2x2-3x+1)=1.解得x=15或x=-5(舍去),經(jīng)檢驗x=15是原方程的解.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練歸納總結(jié)(1)在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程叫做對數(shù)方程.(2)解對數(shù)方程可將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對數(shù)后求解,或通過換元轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解,注意在將對數(shù)方程化為代數(shù)方程的過程中,未知數(shù)的范圍擴大或縮小容易導(dǎo)致增、失根.