高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性(精講)(原卷版+解析)

2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f

(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a；(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則函數(shù)的周期為2a；(4)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則函數(shù)的周期為2a；(5)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|；(6)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，則其周期為2a；(9)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，則其周期為4a.4、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性（異號(hào)對(duì)稱(chēng)）（1）軸對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則①；②；③（2）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則①②③（3）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則①②③【題型精講】【題型一判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法】必備技巧判斷函數(shù)的奇偶性(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．例1(安老師改編山東高考)判斷下列函數(shù)的奇偶性：①f(x)＝xlg(x＋eq\r(x2＋1))；②f(x)＝(1－x)eq\r(\f(1＋x,1－x))；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1x>0，,x2＋2x－1x<0；))④f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).例2(2023·江蘇·高三單元測(cè)試）函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【題型精練】1.(2023·廣東高三模擬）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．|g(x)|是偶函數(shù) B．f(x)g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是偶函數(shù) D．f(x)＋g(x)是奇函數(shù)3.(2023·山東高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A． B．C． D．【題型二函數(shù)奇偶性的四種應(yīng)用】方法技巧函數(shù)奇偶性的四種應(yīng)用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.(3)已知奇函數(shù)+M，，則1.2．例3(2023·福建高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，A． B． C． D．例4(2023·河南洛陽(yáng)·三模）若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．例5(2023·湖北襄陽(yáng)市·襄陽(yáng)五中高三二模）已知函數(shù)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，，則函數(shù)_____．例6(2023·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3【題型精練】1．(2023·四川涼山·高三期末）已知，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則______.2.(2023·河南·高三階段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．3.(2023·廣東肇慶市·高三二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B． C． D．14.(2023·黑龍江·哈爾濱三中高三月考）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則的值為（）A． B． C． D．【題型三函數(shù)周期性的應(yīng)用】方法技巧函數(shù)周期性的應(yīng)用(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題．例7(2023·臨河區(qū)第三中學(xué)高三月考）已知奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．例8(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求，的值；（2）寫(xiě)出在，上的解析式；（3）當(dāng)，時(shí)，求不等式的解集.【題型精練】1．(2023·奉新縣第一中學(xué)高三月考）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且滿(mǎn)足.若，則_______________.2.(2023·山東師范大學(xué)附中高三期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有.當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(2)計(jì)算f0【題型四函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】方法技巧函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性(1)求解與函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特征和對(duì)稱(chēng)性的定義，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心．(2)解決函數(shù)對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題，一般結(jié)合函數(shù)圖象，利用對(duì)稱(chēng)性解決求值或參數(shù)問(wèn)題．例9(2023·江西鷹潭·二模）已知是定義在R上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．6例10(2023·黑龍江·哈爾濱三中三模）定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；③對(duì)任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【題型精練】1．(2023·四川雅安·高三期末）若，則___________.2.（多選）(2023·遼寧錦州·一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在上為減函數(shù)C．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 D．方程僅有個(gè)實(shí)數(shù)解【題型五函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】例11(2023·重慶·西南大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013例12(2023·山東聊城·二模）已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例13（多選）(2023·全國(guó)高三模擬）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，．則下列四個(gè)命題中正確的是（）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的周期為8D．函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)【題型精練】1．(多選）(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．為偶函數(shù) D．是周期為4的函數(shù)2.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3.(2023·重慶九龍坡·高三期末）若函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，，已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f

(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a；(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則函數(shù)的周期為2a；(4)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則函數(shù)的周期為2a；(5)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|；(6)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，則其周期為2a；(9)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，則其周期為4a.4、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性（異號(hào)對(duì)稱(chēng)）（1）軸對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則①；②；③（2）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則①②③（3）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則①②③【題型精講】【題型一判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法】必備技巧判斷函數(shù)的奇偶性(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．例1(安老師改編山東高考)判斷下列函數(shù)的奇偶性：①f(x)＝xlg(x＋eq\r(x2＋1))；②f(x)＝(1－x)eq\r(\f(1＋x,1－x))；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1x>0，,x2＋2x－1x<0；))④f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).【解析】①∵eq\r(x2＋1)>|x|≥0，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(－x)＝(－x)lg(－x＋eq\r(－x2＋1))＝－xlg(eq\r(x2＋1)－x)＝xlg(eq\r(x2＋1)＋x)＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．②當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1＋x,1－x)≥0時(shí)函數(shù)有意義，∴－1≤x<1，由于定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，∴函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)．③函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)是奇函數(shù)．④∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3))?－2≤x≤2且x≠0，∴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq\f(\r(4－x2),x).又f(－x)＝eq\f(\r(4－－x2),－x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)是奇函數(shù)．例2(2023·江蘇·高三單元測(cè)試）函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)答案：C【解析】令，則,且，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤；令，則,且，是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確、D錯(cuò)誤；故選：C【題型精練】1.(2023·廣東高三模擬）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．答案：C【解析】A.函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；B.在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，正確；D.因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：C．2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．|g(x)|是偶函數(shù) B．f(x)g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是偶函數(shù) D．f(x)＋g(x)是奇函數(shù)答案：D【解析】f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)為奇函數(shù)．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|為偶函數(shù)，A正確；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)為奇函數(shù)，B正確；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函數(shù)，C正確；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤，故選D.3.(2023·山東高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A． B．C． D．答案：B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)為非奇非偶函數(shù)，A選項(xiàng)不滿(mǎn)足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，該函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)滿(mǎn)足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，由，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，該函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在上為增函數(shù)，C選項(xiàng)不滿(mǎn)足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，該函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在上為增函數(shù)，D選項(xiàng)不滿(mǎn)足條件.故選：B.【題型二函數(shù)奇偶性的四種應(yīng)用】方法技巧函數(shù)奇偶性的四種應(yīng)用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.(3)已知奇函數(shù)+M，，則1.2．例3(2023·福建高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，可得.故選：D.例4(2023·河南洛陽(yáng)·三模）若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．答案：C【解析】由已知，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，整理得：，所以.故選：C.例5(2023·湖北襄陽(yáng)市·襄陽(yáng)五中高三二模）已知函數(shù)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，，則函數(shù)_____．答案：【解析】因?yàn)椋?，又分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以；所以，則，兩式相加得，，所以.故答案為:.例6(2023·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3答案：D【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，因?yàn)椋?，則．故選：D.【題型精練】1．(2023·四川涼山·高三期末）已知，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則______.答案：【解析】因?yàn)?，所以有，因?yàn)椋謩e是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，因此由，故答案為：2.(2023·河南·高三階段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即．當(dāng)時(shí)，，．故選：C3.(2023·廣東肇慶市·高三二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B． C． D．1答案：D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)榍乙驗(yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，所以，因?yàn)?，滿(mǎn)足為奇函數(shù)，故選：D.4.(2023·黑龍江·哈爾濱三中高三月考）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則的值為（）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，函數(shù)為上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又由函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以.故選：C.【題型三函數(shù)周期性的應(yīng)用】方法技巧函數(shù)周期性的應(yīng)用(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題．例7(2023·臨河區(qū)第三中學(xué)高三月考）已知奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．答案：C【解析】由得，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，∴.故選：C.例8(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求，的值；（2）寫(xiě)出在，上的解析式；（3）當(dāng)，時(shí)，求不等式的解集.答案：（1），；（2）；（3）.【解析】（1），，.（2）當(dāng)時(shí)，，..（3）當(dāng)時(shí)，，由得，解得：.當(dāng)時(shí)，求不等式的解集為.【題型精練】1．(2023·奉新縣第一中學(xué)高三月考）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且滿(mǎn)足.若，則_______________.答案：0【解析】由知：，即的周期為4，∵是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，有，又，∴，，，∴，∴.故答案為：02.(2023·山東師范大學(xué)附中高三期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有.當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(2)計(jì)算f0答案：(1)(2)【解析】(1)，，是周期為4的周期函數(shù).當(dāng)時(shí)，，由已知得.又是奇函數(shù)，，，又當(dāng)時(shí)，，，又是周期為4的周期函數(shù)，，從而求得時(shí)，.(2)，，，，又是周期為4的周期函數(shù)，.又，∴f0【題型四函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】方法技巧函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性(1)求解與函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特征和對(duì)稱(chēng)性的定義，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心．(2)解決函數(shù)對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題，一般結(jié)合函數(shù)圖象，利用對(duì)稱(chēng)性解決求值或參數(shù)問(wèn)題．例9(2023·江西鷹潭·二模）已知是定義在R上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．6答案：C【解析】解：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以、且，則，即，所以，即是以為周期的周期函數(shù)，由，所以，，，所以；故選：C例10(2023·黑龍江·哈爾濱三中三模）定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；③對(duì)任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】解：由題意，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，所以，即，因?yàn)?，所以函?shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)閷?duì)任意的，，，都有成立，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故選：B.【題型精練】1．(2023·四川雅安·高三期末）若，則___________.答案：1010【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則有；故；故答案為：1010．2.（多選）(2023·遼寧錦州·一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在上為減函數(shù)C．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 D．方程僅有個(gè)實(shí)數(shù)解答案：CD【解析】為奇函數(shù)，，即，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；為偶函數(shù)，，即，關(guān)于對(duì)稱(chēng)；由，得：，，即是周期為的周期函數(shù)；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于BD，由周期性和對(duì)稱(chēng)性可得圖象如下圖所示，由圖象可知：在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，，結(jié)合圖象可知：與共有個(gè)交點(diǎn)，即有個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確.故選：CD.【題型五函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】例11(2023·重慶·西南大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013答案：B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)椋?，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖像，如圖所示：

由圖可知，函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，由于函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)，與有2個(gè)交點(diǎn)，在上，與有1個(gè)交點(diǎn)，所以根據(jù)函數(shù)周期性可知，當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn).所以關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B例12(2023·山東聊城·二模）已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由，得，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，而，則，解得：；因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，則為R上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，，則，解得：；綜上，原不等式的解集為.故選：B.例13（多選）(2023·全國(guó)高三模擬）已知函數(shù)是上的奇函