高考數學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))1.4不等式的性質及一元二次不等式(精講)(原卷版+解析)

1.4不等式的性質及一元二次不等式【題型解讀】【知識儲備】1．不等式的基本性質性質性質內容特別提醒對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N＋，n>1)a，b同為正數可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N＋，n>1)2．兩個實數比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)3．一元二次不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．4．二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??5.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.【題型精講】【題型一不等式性質的應用】必備技巧判斷不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．(2)利用特殊值法排除錯誤答案．(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數函數、對數函數、冪函數等函數的單調性來比較．例1(2023·遼寧·東北育才學校一模）若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a2>b2C．> D．a|c|>b|c|例2(2023·浙江模擬）已知，是正實數，則下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【題型精練】1.(2023·北京海淀·二模）已知，且，則（

）A． B．C． D．2．（多選題）(2023·福建三明·模擬預測）設，且，則（

）A． B． C． D．【題型二比較數（式）的大小】必備技巧比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論．(3)構造函數，利用函數的單調性比較大?。?(2023·江蘇·高三專題復習）設x，y為正數，比較與的大小.例4(2023·湖南·高三課時練習）比較與的大小．例5(2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【題型精練】1．(2023·重慶·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．2.(2023·廣東茂名·高三階段練習）（多選）已知，，（其中為自然對數的底數），則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．3.(2023·重慶市育才中學模擬預測）（多選）若a＞b＞0＞c，則(

)A． B． C． D．【題型三不等式性質的應用】必備技巧不等式性質的應用求代數式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范圍．例6（多選）(2023·山東·模擬預測）已知實數x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為例7(2023·江西·二模）已知，，則6x＋5y的取值范圍為______．【題型精練】1．（2023·東北三省四市聯(lián)考）已知角α，β滿足－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，求3α－β的取值范圍．2.(2023·全國·高三專題練習（文））已知－3<a<－2，3<b<4，則的取值范圍為（

）A．(1，3)B．C．D．【題型四一元二次不等式的解法】必備技巧含參的不等式解法(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數．(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．例8(2023·河北·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．例9(2023·河北唐山·高三月考）已知關于x的不等式：．(1)當時，解此不等式；(2)當時，解此不等式．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2.(2023·福建省長汀縣第一中學高三階段練習）解關于的不等式：.【題型五一元二次不等式成立求參】必備技巧一元二次不等式求參(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數．(2)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對第一種情況恒大于0就是相應的二次函數的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖象全部在x軸下方；對第二種情況，要充分結合函數圖象進行分類討論(也可采用分離參數的方法)．例10(2023·全國·高三專題練習）已知，“對恒成立”的一個充要條件是（

）A． B． C． D．例11(2023·寧夏·隆德縣中學高三階段練習）已知命題“，”是真命題，則實數的取值范圍（

）A． B．C．）D．例12(2023·全國·高三專題練習）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例13(2023·全國·高三專題練習）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．【題型精練】1．(2023·江蘇南通·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.(2023·全國·高三專題練習）不等式對一切恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.(2023·全國·高三專題練習）不等式對一切恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．4.(2023·天津·耀華中學高三期中）若命題“，使得不等式”成立，則實數的取值集合是（

）A． B．C． D．【題型六一元二次方程根的分布】必備技巧一元二次方程根的分布情況表一：(兩根與0的大小比較即根的正負情況)分布情況兩個負根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個正根即兩根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一負根即一個根小于0，一個根大于0(x1<0<x2)大致圖象(a>0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,f0>0))f(0)<0大致圖象(a<0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,f0<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,f0<0))f(0)>0綜合結論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,a·f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,a·f0>0))a·f(0)<0表二：(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>k，x2>k一個根小于k，一個根大于k即x1<k<x2大致圖象(a>0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,fk>0))f(k)<0大致圖象(a<0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,fk<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,fk<0))f(k)>0綜合結論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,a·fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,a·fk>0))a·f(k)<0表三：(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在(m，n)內兩根有且僅有一根在(m，n)內(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m，n)內，另一根在(p，q)內，m<n<p<q大致圖象(a>0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm>0，,fn>0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn<0，,fp<0，,fq>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0，,fpfq<0))大致圖象(a<0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm<0，,fn<0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn>0，,fp>0，,fq<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0，,fpfq<0))綜合結論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm·fn>0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0，,fpfq<0))根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(m，n)外，即在區(qū)間兩側x1<m，x2>n，(圖形分別如下)需滿足的條件是(1)a>0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0；))(2)a<0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0.))對以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(m，n)內有以下特殊情況：(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，則此時f(m)·f(n)<0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據另一根在區(qū)間(m，n)內，從而可以求出參數的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在區(qū)間(1,3)上有一根，因為f(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根為eq\f(2,m)，由1<eq\f(2,m)<3得eq\f(2,3)<m<2即為所求；(ⅱ)方程有兩個相等的根，且這個根在區(qū)間(m，n)內，即Δ＝0，此時由Δ＝0可以求出參數的值，然后再將參數的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內，如若不在，舍去相應的參數．例14(2023·全國·專題練習）已知方程有兩個不相等的實數根，且兩個實數根都大于2，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．例15(2023·浙江·高三專題練習）若關于的方程有兩個不同的正根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．例16(2023·全國·高三專題練習）若不等式在上有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型精練】1．（2023·江蘇模擬）設a為實數，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．2.(2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三開學考試）關于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3.(2023·全國·單元測試）為何值時，關于的方程的兩根：為正數根；為異號根且負根絕對值大于正根；都大于1；一根大于2，一根小于2；（5）兩根在0，2之間.1.4不等式的性質及一元二次不等式【題型解讀】【知識儲備】1．不等式的基本性質性質性質內容特別提醒對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N＋，n>1)a，b同為正數可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N＋，n>1)2．兩個實數比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)3．一元二次不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．4．二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??5.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.【題型精講】【題型一不等式性質的應用】必備技巧判斷不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．(2)利用特殊值法排除錯誤答案．(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數函數、對數函數、冪函數等函數的單調性來比較．例1(2023·遼寧·東北育才學校一模）若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a2>b2C．> D．a|c|>b|c|答案：C【解析】當a=1，b=-2時，滿足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性質得，C正確；當c=0時，a|c|>b|c|不成立，排除D，故選：C例2(2023·浙江模擬）已知，是正實數，則下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】對于A，取，該不等式成立，但不滿足；對于C，該不等式等價于，取，，該不等式成立，但不滿足；對于D，該不等式等價于，取，，該不等式成立，但不滿足；下面證明B法一：不等式等價于，而.函數在上單增，故.法二：若，則，故，矛盾.故選：B【題型精練】1.(2023·北京海淀·二模）已知，且，則（

）A． B．C． D．答案：B【解析】對于A，令，顯然，錯誤；對于B，，又不能同時成立，故，正確；對于C，取，則，錯誤；對于D，取，則，錯誤.故選：B.2．（多選題）(2023·福建三明·模擬預測）設，且，則（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】因為，，所以，的符號不能確定，當時，，故A錯誤，因為，，所以，故B正確，因為，所以，故C正確，因為，所以，所以，所以，故D錯誤，故選：BC【題型二比較數（式）的大小】必備技巧比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論．(3)構造函數，利用函數的單調性比較大?。?(2023·江蘇·高三專題復習）設x，y為正數，比較與的大小.【解】因為為整數，則且，由，當且僅當時，等號成立，所以，所以.例4(2023·湖南·高三課時練習）比較與的大?。窘馕觥?<.例5(2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】∵，構造函數，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，同理可得，故，故選：C.【題型精練】1．(2023·重慶·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．答案：A【解析】∵，，∴又，∴∴，又∴綜上：故選：A2.(2023·廣東茂名·高三階段練習）（多選）已知，，（其中為自然對數的底數），則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．答案：AD【解析】令，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，，又，所以，所以；故選：AD3.(2023·重慶市育才中學模擬預測）（多選）若a＞b＞0＞c，則(

)A． B． C． D．答案：ABD【解析】A：，∵，，，，故A正確；B：，∵，∴，，故B正確；C：時，在單調遞減，∵，故C錯誤；D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等號取不到，故，故D正確.故選：ABD.【題型三不等式性質的應用】必備技巧不等式性質的應用求代數式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范圍．例6（多選）(2023·山東·模擬預測）已知實數x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為答案：ABD【解析】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；因為，所以，則，故D正確.故選：ABD.例7(2023·江西·二模）已知，，則6x＋5y的取值范圍為______．答案：【解析】，即故6x＋5y的取值范圍為．故答案為：【題型精練】1．（2023·東北三省四市聯(lián)考）已知角α，β滿足－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，求3α－β的取值范圍．【解析】結合題意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，由不等式的性質可知3α－β的取值范圍是(－π，2π)2.(2023·全國·高三專題練習（文））已知－3<a<－2，3<b<4，則的取值范圍為（

）A．(1，3)B．C．D．答案：A【解析】因為－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范圍為(1，3)，故選：A．【題型四一元二次不等式的解法】必備技巧含參的不等式解法(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數．(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．例8(2023·河北·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解不等式，，解不等式得，，；故選：B.例9(2023·河北唐山·高三月考）已知關于x的不等式：．(1)當時，解此不等式；(2)當時，解此不等式．答案：(1)或(2)當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為【解析】(1)當a＝－2時，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，當a＝－2時，原不等式解集為{x|x＜－或x＞3}．(2)當a＞0時，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0整理得：(x－3)(x－)＜0，

當a＝時，＝3，此時不等式無解；

當0＜a＜時，＞3，解得3＜x＜；

當a＞時，＜3，解得＜x＜3；

綜上：當a＝時，解集為；當0＜a＜時，解集為{x|3＜x＜}；當a＞時，解集為{x|＜x＜3}.【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】當時，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.故選：D2.(2023·福建省長汀縣第一中學高三階段練習）解關于的不等式：.【解析】當a＋1=0即a＝-1時，原不等式變?yōu)椋瓁＋2<0，即x>2.當a>-1時，原不等式可轉化為，∴方程的根為.若-1<a<，則>2，解得2<x<；若a＝，則＝2，解得x∈?；若a>，則<2，

解得<x<2.綜上，當a>時，原不等式的解集為{x|<x<2}；當a＝時，原不等式的解集為?；當-1<a<時，原不等式的解集為{x|2<x<}.當a＝-1時，原不等式的解集為{x|x>2}.【題型五一元二次不等式成立求參】必備技巧一元二次不等式求參(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數．(2)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對第一種情況恒大于0就是相應的二次函數的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖象全部在x軸下方；對第二種情況，要充分結合函數圖象進行分類討論(也可采用分離參數的方法)．例10(2023·全國·高三專題練習）已知，“對恒成立”的一個充要條件是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】當時，，對恒成立；當時，若，對恒成立，則必須有，解之得，綜上，的取值范圍為.故“對恒成立”的一個充要條件是，故選：B例11(2023·寧夏·隆德縣中學高三階段練習）已知命題“，”是真命題，則實數的取值范圍（

）A． B．C．）D．答案：D【解析】由題意，命題“，”是真命題故，解得或.則實數的取值范圍是故選：D.例12(2023·全國·高三專題練習）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，因為當，，所以，，即m的取值范圍是故選：A例13(2023·全國·高三專題練習）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．答案：C【解析】令，則不等式恒成立轉化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范圍為．故選：C．【題型精練】1．(2023·江蘇南通·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由題意，當時，不等式恒成立，故解得，故實數的取值范圍是故選：A2.(2023·全國·高三專題練習）不等式對一切恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】令，對一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，綜上，實數的取值范圍是，或.故選：A.3.(2023·全國·高三專題練習）不等式對一切恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】令，對一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，綜上，實數的取值范圍是，或.故選：A.4.(2023·天津·耀華中學高三期中）若命題“，使得不等式”成立，則實數的取值集合是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】命題“，使得不等式”成立，當時，不等式為，顯然有解，成立；當時，開口向下，必然，使得不等式成立，；當，即，解得或，所以或．綜上可得或．故選：．【題型六一元二次方程根的分布】必備技巧一元二次方程根的分布情況表一：(兩根與0的大小比較即根的正負情況)分布情況兩個負根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個正根即兩根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一負根即一個根小于0，一個根大于0(x1<0<x2)大致圖象(a>0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,f0>0))f(0)<0大致圖象(a<0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,f0<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,f0<0))f(0)>0綜合結論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,a·f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,a·f0>0))a·f(0)<0表二：(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>k，x2>k一個根小于k，一個根大于k即x1<k<x2大致圖象(a>0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,fk>0))f(k)<0大致圖象(a<0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,fk<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,fk<0))f(k)>0綜合結論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,a·fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,a·fk>0))a·f(k)<0表三：(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在(m，n)內兩根有且僅有一根在(m，n)內(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m，n)內，另一根在(p，q)內，m<n<p<q大致圖象(a>0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm>0，,fn>0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn<0，,fp<0，,fq>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0，,fpfq<0))大致圖象(a<0)得出的結論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm<0，,fn<0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn>0，,fp>0，,fq<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a