高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第13練余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例(原卷版+解析)

第13練余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．如圖，線段AB表示一信號塔，DE表示一斜坡，.且B、C、E三點(diǎn)在同一水平線上，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡DE的坡比為3：7，米.某人站在坡頂D處測得塔頂A點(diǎn)的仰角為37°，站在坡底C處測得塔頂A點(diǎn)的仰角為48°（人的身高忽略不計），則信號塔的高度AB為（）（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．54 B．58 C．76 D．852．如圖，某市人民廣場正中央有一座鐵塔，為了測量塔高AB，某人先在塔的正西方點(diǎn)C處測得塔項(xiàng)的仰角為45°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測得塔項(xiàng)的仰角為，則鐵塔AB的高度是（）A．50 B．30 C．25 D．153．如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度是，則河流的寬度等于（）A． B．C． D．4．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿坡角為的斜坡向上走到達(dá)B處，在B處測得山頂P的仰角為，且A，B，P，C，Q在同一平面，則山的高度為（參考數(shù)據(jù)：?。ǎ〢． B． C． D．5．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，則取到最大值時，的長度為（）A． B． C． D．6．如圖，在河岸一側(cè)取A，B兩點(diǎn)，在河岸另一側(cè)取一點(diǎn)C，若AB=12m，借助測角儀測得∠CAB=45°，∠CBA=60°，則C處河面寬CD為（）A．6（3+）m B．6（3-）mC．6（3+2）m D．6（3-2）m7．在一條東西走向的水平公路的北側(cè)遠(yuǎn)處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平平面上，為測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了A，B兩個觀測點(diǎn)，在A處測得該塔底部C在西偏北的方向上，在B處測得該塔底部C在西偏北的方向上，并測得塔頂D的仰角為.已知AB=a，，則此塔的高CD為（）A． B．C． D．8．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min．若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m．A．50 B．50 C．50 D．509．已知三個觀測點(diǎn)，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點(diǎn)定位測試中，兩個觀測點(diǎn)同時聽到爆炸聲，觀測點(diǎn)晚聽到，已知聲速為，則爆炸點(diǎn)與觀測點(diǎn)的距離是（）A． B． C． D．10．年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為（單位），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有三點(diǎn)，且在同一水平面上的投影，滿足，由點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角為，則兩點(diǎn)到水平面的高度差為（）A． B．C． D．11．如圖所示，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，且，，，則的周長為（）A． B．C． D．12．黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標(biāo)建筑.某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側(cè)找到一座高為的建筑物在它們之間的地面上的點(diǎn)三點(diǎn)共線）處測得樓頂?樓頂?shù)难鼋欠謩e是和在樓頂處測得樓頂?shù)难鼋菫?，則估算黃鶴樓的高度為（）A． B． C． D．13．如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測得小車在處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛分鐘后，到達(dá)處，此時測得俯角為．已知此山的高，小車的速度是，則（）A． B． C． D．14．世界上有很多國家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流兩岸修建了風(fēng)光帶用于改善城市人居環(huán)境.已知小徐步行到岸邊點(diǎn)時，測得河對面的某地標(biāo)建筑物在其北偏東60°的方向上，往正北方向步行到達(dá)點(diǎn)后，測得該地標(biāo)建筑物在其南偏東75°方向上.則此時小徐與該地標(biāo)建筑物的距離（）A． B． C． D．15．大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時刻撬動著人們認(rèn)識商丘?走進(jìn)商丘的欲望.吳斌同學(xué)在今年國慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過“商”字城雕時，他想利用解三角形的知識測量一下該雕塑的高度（即圖中線段的長度）.他在該雕塑塔的正東處沿著南偏西的方向前進(jìn)米后達(dá)到處（，，三點(diǎn)在同一個水平面內(nèi)），測得圖中線段在東北方向，且測得點(diǎn)的仰角為，則該雕塑的高度大約是（參考數(shù)據(jù)：）（）A．米 B．米 C．米 D．米16．唐代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了從0°到80°的晷影長l與太陽天頂距θ的對應(yīng)數(shù)表.已知晷影長l、表高h(yuǎn)與太陽天頂距θ滿足l=htanθ，當(dāng)晷影長為0.7時，天頂距為5°.若天頂距為1°時，則晷影長為（）（參考數(shù)據(jù)：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2417．如圖所示，為測量某不可到達(dá)的豎直建筑物的高度，在此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的，兩個觀測點(diǎn)，并在，兩點(diǎn)處分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為和，且，則此建筑物的高度為（）A．米 B．米C．10米 D．5米18．如圖，要測量某湖泊兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，若給出下列數(shù)據(jù)，則其中不能唯一確定A，B兩點(diǎn)間的距離的是（）A．角A，B和邊bB．角A，B和邊aC．邊a，b和角CD．邊a，b和角A19．“大玉米”是鄭州新地標(biāo)，被稱為“中原第一高樓”，也被稱為是世界上一座獨(dú)一無二的標(biāo)志性建筑.它是圓柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計，外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上點(diǎn)測得塔底在南偏西，樓頂?shù)难鼋菫?，此人沿南偏東方向前進(jìn)到點(diǎn)，測得樓頂?shù)难鼋菫?，按照此人的測量進(jìn)行估算，則“大玉米”的高約為（）（參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．20．如圖，一輪船從A點(diǎn)沿北偏東的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東的方向行駛10海里至海島，若此輪船從A點(diǎn)直接沿直線行駛至海島，則此船沿__________方向行駛__________海里至海島C（）A．北偏東； B．北偏東；C．北偏東； D．北偏東；二、多選題21．如圖，要測量河對岸C，D兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定兩點(diǎn)A，B，測出AB間的距離為20m，∠DAB=75，∠CAB=30，AB⊥BC，∠ABD=60則（）A．BD=10(3+)m B．DC=10mC．DC=10m D．BC=10m22．如圖，在平面四邊形中，已知，，，，，下列四個結(jié)論中正確的是（）A． B．四邊形的面積為C． D．四邊形的周長為三、填空題23．在四邊形中，，D為外一點(diǎn)，則四邊形面積最大時___________.24．某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測量活動，如圖是要測山高，現(xiàn)選擇點(diǎn)和另一座山的山頂（點(diǎn)）作為測量觀測點(diǎn)，從測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_(dá)_____．25．在平面凸四邊形中，且則__________．26．如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座的山頂C為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，則山高M(jìn)N＝__m．27．某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測量活動，如圖是要測山高.現(xiàn)選擇點(diǎn)A和另一座山頂點(diǎn)C作為測量觀測點(diǎn)，從A測得點(diǎn)M的仰角，點(diǎn)C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_(dá)______米.28．某中學(xué)慶祝國慶儀式上舉行升旗禮，在坡度為的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排車的旗桿頂端的仰角分別是，已知旗桿的高度為28.3米，則第一排與最后一排之間的距離約為__________（取，小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）29．若等腰三角形（其中）的周長為則的腰上的中線的長的最小值是___________.30．如圖，一輛汽車在一條筆直的馬路上從東往西以的速度勻速行駛，在處測得馬路右側(cè)的一座高塔的仰角為，行駛5分鐘后，到達(dá)處，測得高塔的仰角為，其中為高塔的底部，且在同一水平面上，則高塔的高度是___________.（塔底大小?汽車的高度及大小忽略不計）31．某人向正東方向走后，他向右轉(zhuǎn)，然后朝新方向走，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么x的值為_____________．32．在氣象臺正西方向km處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為km/h，距臺風(fēng)中心km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，大約________小時后氣象臺所在地開始受到影響（參考數(shù)據(jù)：，）.33．為測量河的寬度，在一岸邊選定兩個觀測點(diǎn)和，觀測對岸標(biāo)記物，測得，，，則河寬為______米．34．如圖，從200m高的電視塔塔頂A測得地面上某兩點(diǎn)B，C的俯角分別為30°和45°，∠BAC＝45°，則B，C兩點(diǎn)間的距離為________m．（俯角：在垂直面內(nèi)視線與水平線的夾角）35．某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處，然后朝南偏西60°方向航行3海里到達(dá)C處，若A處與C處的距離為nmile，則x的值為___________.36．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得∠BCD，，米，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，則塔高AB為___________米.37．已知在平面四邊形中，，，，，四個內(nèi)角滿足，則四邊形的面積為___________.38．如圖是2021年9月17日13：34神州十二號返回艙(圖中C)接近地面的場景.傘面是表面積為1200m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于D，D和觀測點(diǎn)A在同一水平線上.在A測得點(diǎn)B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的視角∠BAC滿足sin∠BAC＝，則此時返回艙底端離地面距離CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，計算過程中，球半徑四舍五入保留整數(shù)，長度單位：m).39．如圖，在離地面高100的熱氣球M上，觀測到山頂C處的仰角為?山腳A處的俯角為，已知，則山的高度BC為___________.40．旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃觀景臺等近年來熱搜不斷，因其驚險刺激的體驗(yàn)備受追捧某景區(qū)順應(yīng)趨勢，為擴(kuò)大營收，準(zhǔn)備在如圖所示的M山峰和N山峰間建一座空中玻璃觀景橋.已知兩座山峰的高度都是300m，從B點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角，N點(diǎn)的仰角以及，則兩座山峰之間的距離_________m.41．如圖，一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)號機(jī)器人由點(diǎn)開始作勻速直線運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)此時足球從點(diǎn)處出發(fā)，以機(jī)器人速率的倍向點(diǎn)作勻速直線滾動，已知，，，則該機(jī)器人最快可在線段上距點(diǎn)___________的處截住足球.42．在相距1000米的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若，，則B，C兩點(diǎn)之間的距離為___________米.43．游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達(dá)C處．經(jīng)測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于________．四、解答題44．在①；②,這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)判斷△ABC的形狀；(2)在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.45．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，∠B＝45°．(1)求邊BC的長以及三角形ABC的面積；(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求tan∠DAC的值．46．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，，.(1)求索道AB的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？第13練余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．如圖，線段AB表示一信號塔，DE表示一斜坡，.且B、C、E三點(diǎn)在同一水平線上，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡DE的坡比為3：7，米.某人站在坡頂D處測得塔頂A點(diǎn)的仰角為37°，站在坡底C處測得塔頂A點(diǎn)的仰角為48°（人的身高忽略不計），則信號塔的高度AB為（）（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．54 B．58 C．76 D．85【解析】.在中.在中，，由正弦定理得，所以，在中，.故選：D2．如圖，某市人民廣場正中央有一座鐵塔，為了測量塔高AB，某人先在塔的正西方點(diǎn)C處測得塔項(xiàng)的仰角為45°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測得塔項(xiàng)的仰角為，則鐵塔AB的高度是（）A．50 B．30 C．25 D．15【解析】設(shè)塔高的高度為，在中，因?yàn)椋?；在中，因?yàn)?，所以；在中，，，，根?jù)余弦定理可得，，即，解得或（舍去）.故選：B.3．如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度是，則河流的寬度等于（）A． B．C． D．【解析】從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為75°，30°，氣球的高度是，所以所以，由正弦定理可得，，，所以.故選：C4．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿坡角為的斜坡向上走到達(dá)B處，在B處測得山頂P的仰角為，且A，B，P，C，Q在同一平面，則山的高度為（參考數(shù)據(jù)：?。ǎ〢． B． C． D．【解析】，，．由正弦定理得，即，可得．所以山的高度為故選：A．5．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，則取到最大值時，的長度為（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，等號成立?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時.故選：A.6．如圖，在河岸一側(cè)取A，B兩點(diǎn)，在河岸另一側(cè)取一點(diǎn)C，若AB=12m，借助測角儀測得∠CAB=45°，∠CBA=60°，則C處河面寬CD為（）A．6（3+）m B．6（3-）mC．6（3+2）m D．6（3-2）m【解析】在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，∵tan∠CBD＝，∴CD＝BD?tan∠CBD＝BD，在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，則CD＝AD，∵AB＝AD+BD＝12，∴BD+BD＝12，解得BD＝6﹣6，CD＝BD＝18﹣6．故選：B7．在一條東西走向的水平公路的北側(cè)遠(yuǎn)處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平平面上，為測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了A，B兩個觀測點(diǎn)，在A處測得該塔底部C在西偏北的方向上，在B處測得該塔底部C在西偏北的方向上，并測得塔頂D的仰角為.已知AB=a，，則此塔的高CD為（）A． B．C． D．【解析】在中，，，如圖，由正弦定理得：，在中，，，如圖，則有，所以塔高CD為.故選：B8．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min．若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m．A．50 B．50 C．50 D．50【解析】連結(jié)OC，在△OCD中，OD＝=100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，解得OC＝50(m)．故選：C9．已知三個觀測點(diǎn)，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點(diǎn)定位測試中，兩個觀測點(diǎn)同時聽到爆炸聲，觀測點(diǎn)晚聽到，已知聲速為，則爆炸點(diǎn)與觀測點(diǎn)的距離是（）A． B． C． D．【解析】設(shè)爆炸點(diǎn)為，由于兩個觀測點(diǎn)同時聽到爆炸聲，則點(diǎn)位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點(diǎn)晚聽到，則點(diǎn)位于的左側(cè)，，,，設(shè)，則，解得，則爆炸點(diǎn)與觀測點(diǎn)的距離為，故選：D.10．年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為（單位），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有三點(diǎn)，且在同一水平面上的投影，滿足，由點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角為，則兩點(diǎn)到水平面的高度差為（）A． B．C． D．【解析】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以，在中，，由正弦定理得：，所以，所以，所以．故選：B．11．如圖所示，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，且，，，則的周長為（）A． B．C． D．【解析】在中，由余弦定理得：，整理可得：，解得：，即，，又是等邊三角形，，又，由勾股定理可得：，的周長為：.故選：C.12．黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標(biāo)建筑.某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側(cè)找到一座高為的建筑物在它們之間的地面上的點(diǎn)三點(diǎn)共線）處測得樓頂?樓頂?shù)难鼋欠謩e是和在樓頂處測得樓頂?shù)难鼋菫?，則估算黃鶴樓的高度為（）A． B． C． D．【解析】在中，則在中，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，?故選：C.13．如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測得小車在處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛分鐘后，到達(dá)處，此時測得俯角為．已知此山的高，小車的速度是，則（）A． B． C． D．【解析】由題意，得平面，、平面，故，，所以，、均為直角三角形，且，，由，可得，．因?yàn)?，所以．故選：A．14．世界上有很多國家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流兩岸修建了風(fēng)光帶用于改善城市人居環(huán)境.已知小徐步行到岸邊點(diǎn)時，測得河對面的某地標(biāo)建筑物在其北偏東60°的方向上，往正北方向步行到達(dá)點(diǎn)后，測得該地標(biāo)建筑物在其南偏東75°方向上.則此時小徐與該地標(biāo)建筑物的距離（）A． B． C． D．【解析】在中，，，所以，所以由正弦定理可得，解得.故選：D.15．大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時刻撬動著人們認(rèn)識商丘?走進(jìn)商丘的欲望.吳斌同學(xué)在今年國慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過“商”字城雕時，他想利用解三角形的知識測量一下該雕塑的高度（即圖中線段的長度）.他在該雕塑塔的正東處沿著南偏西的方向前進(jìn)米后達(dá)到處（，，三點(diǎn)在同一個水平面內(nèi)），測得圖中線段在東北方向，且測得點(diǎn)的仰角為，則該雕塑的高度大約是（參考數(shù)據(jù)：）（）A．米 B．米 C．米 D．米【解析】在中，，，，由正弦定理，所以（米），在中，，所以（米）故選：C.16．唐代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了從0°到80°的晷影長l與太陽天頂距θ的對應(yīng)數(shù)表.已知晷影長l、表高h(yuǎn)與太陽天頂距θ滿足l=htanθ，當(dāng)晷影長為0.7時，天頂距為5°.若天頂距為1°時，則晷影長為（）（參考數(shù)據(jù)：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24【解析】依題意，，則有，，所以晷影長為0.14.故選：A17．如圖所示，為測量某不可到達(dá)的豎直建筑物的高度，在此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的，兩個觀測點(diǎn)，并在，兩點(diǎn)處分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為和，且，則此建筑物的高度為（）A．米 B．米C．10米 D．5米【解析】設(shè)，則，，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍），故選：B.18．如圖，要測量某湖泊兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，若給出下列數(shù)據(jù)，則其中不能唯一確定A，B兩點(diǎn)間的距離的是（）A．角A，B和邊bB．角A，B和邊aC．邊a，b和角CD．邊a，b和角A【解析】AB選項(xiàng)，都是兩角和其中一角的對邊，可求第三角，再結(jié)合正弦定理，可唯一確定三角形，C選項(xiàng)，已知兩邊和夾角，根據(jù)余弦定理，唯一確定第三邊，只有選項(xiàng)D，根據(jù)正弦定理，可知當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對角時，三角形得出的結(jié)果不一定唯一，故選：D.19．“大玉米”是鄭州新地標(biāo)，被稱為“中原第一高樓”，也被稱為是世界上一座獨(dú)一無二的標(biāo)志性建筑.它是圓柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計，外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上點(diǎn)測得塔底在南偏西，樓頂?shù)难鼋菫?，此人沿南偏東方向前進(jìn)到點(diǎn)，測得樓頂?shù)难鼋菫?，按照此人的測量進(jìn)行估算，則“大玉米”的高約為（）（參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【解析】如圖所示，平面，其中設(shè)塔高，在中，由余弦定理得整理得：，由求根公式可得，或（舍去）所以“大玉米”的高約為.故選：A.20．如圖，一輪船從A點(diǎn)沿北偏東的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東的方向行駛10海里至海島，若此輪船從A點(diǎn)直接沿直線行駛至海島，則此船沿__________方向行駛__________海里至海島C（）A．北偏東； B．北偏東；C．北偏東； D．北偏東；【解析】由題意得：，，故，所以從A到C的航向?yàn)楸逼珫|，由余弦定理得：，故.故選：C二、多選題21．如圖，要測量河對岸C，D兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定兩點(diǎn)A，B，測出AB間的距離為20m，∠DAB=75，∠CAB=30，AB⊥BC，∠ABD=60則（）A．BD=10(3+)m B．DC=10mC．DC=10m D．BC=10m【解析】，，在中，，，，，，在中，，，，，根據(jù)正弦定理得：，解得，，，，在中，，根據(jù)余弦定理得：，，在中，，，，且，根據(jù)正弦定理得：，解得．故選：．22．如圖，在平面四邊形中，已知，，，，，下列四個結(jié)論中正確的是（）A． B．四邊形的面積為C． D．四邊形的周長為【解析】在中，可得，在中，可得，可得，即因?yàn)?，可得，可得，又因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，所以，所以A正確；由，所以B不正確；在直角中，可得，所以C正確；四邊形的周長為，所以D正確.故選：ACD三、填空題23．在四邊形中，，D為外一點(diǎn)，則四邊形面積最大時___________.【解析】在中，因?yàn)?，由余弦定理得：，即，又，所以，所以AB=BC.因?yàn)?，所以為等邊三角形，設(shè)其邊長為b.則.在中，，由余弦定理得：，所以所以當(dāng)時，，面積取得最大值.故答案為：.24．某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測量活動，如圖是要測山高，現(xiàn)選擇點(diǎn)和另一座山的山頂（點(diǎn)）作為測量觀測點(diǎn)，從測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_(dá)_____．【解析】在中，，，，所以可得，在中，，，所以，由正弦定理可得：，即，所以可得，在中，，所以（米）；故答案為：米．25．在平面凸四邊形中，且則__________．【解析】在中，由余弦定理得，，則，則在中，由余弦定理得，又，.故答案為：.26．如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座的山頂C為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，則山高M(jìn)N＝__m．【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，從而∠AMC＝45°，由正弦定理得，，因此AM＝1000m．在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，由＝sin30°得MN＝500m；∴山高M(jìn)N＝500．故答案為：500．27．某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測量活動，如圖是要測山高.現(xiàn)選擇點(diǎn)A和另一座山頂點(diǎn)C作為測量觀測點(diǎn)，從A測得點(diǎn)M的仰角，點(diǎn)C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_(dá)______米.【解析】在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案為：.28．某中學(xué)慶祝國慶儀式上舉行升旗禮，在坡度為的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排車的旗桿頂端的仰角分別是，已知旗桿的高度為28.3米，則第一排與最后一排之間的距離約為__________（取，小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）【解析】設(shè)第一排的觀測點(diǎn)為，最后一排的觀測點(diǎn)為，旗桿的頂端為，依題意，得，，則，可得米，在中，由正弦定理得，所以米.故答案為：23.6米.29．若等腰三角形（其中）的周長為則的腰上的中線的長的最小值是___________.【解析】如圖所示，設(shè)腰長，因?yàn)闀r，則，解得；在中由余弦定理可得在中，由余弦定理可得所以；時，取得最小值為．故答案為：．30．如圖，一輛汽車在一條筆直的馬路上從東往西以的速度勻速行駛，在處測得馬路右側(cè)的一座高塔的仰角為，行駛5分鐘后，到達(dá)處，測得高塔的仰角為，其中為高塔的底部，且在同一水平面上，則高塔的高度是___________.（塔底大小?汽車的高度及大小忽略不計）【解析】如圖，由題意可知，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，即，解得.故答案為：.31．某人向正東方向走后，他向右轉(zhuǎn)，然后朝新方向走，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么x的值為_____________．【解析】根據(jù)題意，作出圖象，如下圖所示由題意得，由余弦定理得，解得或.故答案為：或.32．在氣象臺正西方向km處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為km/h，距臺風(fēng)中心km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，大約________小時后氣象臺所在地開始受到影響（參考數(shù)據(jù)：，）.【解析】設(shè)氣象臺所在地為，臺風(fēng)中心為，約小時后氣象臺所在地將受到影響，小時后中心移動至處，，在△中，，由余弦定理，，整理得，解得，依題意，保留，故約2小時后影響氣象臺所在地.故答案為：2.33．為測量河的寬度，在一岸邊選定兩個觀測點(diǎn)和，觀測對岸標(biāo)記物，測得，，，則河寬為______米．【解析】在中，，，∴∠ACB=，由正弦定理得．∵，∴，作，則CD的長為河寬，在中，，∴，故答案為：.34．如圖，從200m高的電視塔塔頂A測得地面上某兩點(diǎn)B，C的俯角分別為30°和45°，∠BAC＝45°，則B，C兩點(diǎn)間的距離為________m．（俯角：在垂直面內(nèi)視線與水平線的夾角）【解析】圖中平面，則，在三角形中，故答案為：35．某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處，然后朝南偏西60°方向航行3海里到達(dá)C處，若A處與C處的距離為nmile，則x的值為___________.【解析】由題意得，在中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，即x2+9-2·x·3cos30°=，即x2-3x+6=0，得x=2或x=.故答案為：或2.36．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得∠BCD，，米，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，則塔高AB為___________米.【解析】在中，，所以由正弦定理，得，即，在中，，所以.故答案為：.37．已知在平面四邊形中，，，，，四個內(nèi)角滿足，則四邊形的面積為___________.【解析】由題意，，且，則.在中，，在中，，故且，解得，則，故答案為：D.38．如圖是2021年9月17日13：34神州十二號返回艙(圖中C)接近地面的場景.傘面是表面積為1200m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于D，D和觀測點(diǎn)A在同一水平線上.在A測得點(diǎn)B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的視角∠BAC滿足sin∠BAC＝，則此時返回艙底端離地面距離CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，計算過程中，球半徑四舍五入保留整數(shù)，長度單位：m).【解析】設(shè)半球半徑為，則，∴，∴．在中，由正弦定理得，∴，．故答案為：39．如圖，在離地面高100的熱氣球M上，觀測到山頂C處的仰角為?山腳A處的俯角為，已知，則山的高度BC為___________.【解析】依題意可知三角形是等腰直角三角形，所以，，，由正弦定理得，所以.故答案為：40．旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃觀景臺等近年來熱搜不斷，因其驚險刺激的體驗(yàn)備受追捧某景區(qū)順應(yīng)趨勢，為擴(kuò)大營收，準(zhǔn)備在如圖所示的M山峰和N山峰間建一座空中玻璃觀景橋.已知兩座山峰的高度都是300m，從B點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角，N點(diǎn)的仰角以及，則兩座山峰之間的距離_________m.【解析】因?yàn)?，，在中，結(jié)合余弦定理知即，故，所以，故選：B.41．如圖，一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)號機(jī)器