高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.3等和線和極化恒等式(精練)(原卷版+解析)

5.3等和線和極化恒等式【題型解讀】【題型一根據(jù)等和線求基底系數(shù)和的值】1.(2023·河南高三月考）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，eq\o(AN,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．12.(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,4)3.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，且eq\o(AF,\s\up7(→))＝λa＋μb，則λ＋μ等于()A．1B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)4.(2023·云南玉溪·高三月考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq\o(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，則λ＋μ的值為_______．【題型二根據(jù)等和線求基底的系數(shù)和的最值(范圍)】1.(2023·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為3的平面向量和，它們的夾角為120°，如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，則的最大值是_____；的最大值是______.2.(2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up7(→))＝αeq\o(AB,\s\up7(→))＋βeq\o(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________．3.(2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，P是以AB為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則2x+y的最小值為()A．－1B．1C．2D．34.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))(x，y∈R)，則x＋y的取值范圍是________．5.如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)D在OA的延長(zhǎng)線上，且OD＝2，點(diǎn)P是△BCD內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，設(shè)eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OC,\s\up7(→))＋μeq\o(OD,\s\up7(→))，則λ＋μ的取值范圍為________．【題型三極化恒等式處理數(shù)量積的定值問題】1.(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，已知，點(diǎn)分別在邊上，且，若為的中點(diǎn)，則的值為________.2.(2023·山東日照市·高三二模）如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝()A．13B．7C．5D．33.(2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝()A．1B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)4.(2023·全國(guó)福建省漳州市高三期末)如圖，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D為邊BC的中點(diǎn)，若CD⊥AD，垂足為E，則eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝________．【題型四極化恒等式處理數(shù)量積中的最值范圍問題】1.在?ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=1，則DE?2.(2023·海南海口·二模）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________．3.(2023?南通期末）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB為鈍角，M，N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝1，若的最小值為，則cos∠ACB＝________．4.如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的弧APB上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范圍為______．5.在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分別在x，y軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值為______．5.3等和線和極化恒等式【題型解讀】【題型一根據(jù)等和線求基底系數(shù)和的值】1.(2023·河南高三月考）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，eq\o(AN,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．1答案：A【解析】如圖，BC為值是1的等和線，過N作BC的平行線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq\f(|AN|,|AM|)．由圖易知，eq\f(|AN|,|AM|)＝eq\f(1,2)，故選A．2.(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,4)答案：C【解析】如圖，連接MN并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則MT為值是1的等和線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq\f(|AB|,|AT|)．由圖易知，eq\f(|AB|,|AT|)＝eq\f(4,5)，故選C．3.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，且eq\o(AF,\s\up7(→))＝λa＋μb，則λ＋μ等于()A．1B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)答案：A【解析】如圖，作eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))，延長(zhǎng)CD與AG相交于G，因?yàn)镃，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，所以λ＋μ＝1．故選A．4.(2023·云南玉溪·高三月考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq\o(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，則λ＋μ的值為_______．答案：eq\f(2,3)【解析】圖，BC為值是1的等和線，過O作BC的平行線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq\f(|AO|,|AM|)．由圖易知，eq\f(|AO|,|AM|)＝eq\f(2,3)．【題型二根據(jù)等和線求基底的系數(shù)和的最值(范圍)】1.(2023·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為3的平面向量和，它們的夾角為120°，如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，則的最大值是_____；的最大值是______.答案：【解析】（1）AB交CO于D，設(shè),，易證，當(dāng)時(shí)，取最大值，；（2）取OA中點(diǎn)E，則OC交BE于F，設(shè),，易證，當(dāng)時(shí)，取最大值，.2.(2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up7(→))＝αeq\o(AB,\s\up7(→))＋βeq\o(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________．答案：[3，4]【解析】直線BF為k＝1的等和線，當(dāng)P在△CDE內(nèi)時(shí)，直線EC是最近的等和線，過D點(diǎn)的等和線是最遠(yuǎn)的，所以α＋β∈[eq\f(AN,AM)，eq\f(AD,AM)]＝[3，4]．3.(2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，P是以AB為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則2x+y的最小值為()A．－1B．1C．2D．3答案：【解析】取AD中點(diǎn)F，則直線FP交AE于G，設(shè)∵FPG三點(diǎn)共線∴當(dāng)P在EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)中點(diǎn)時(shí)，G與E重合，此時(shí)t取到最小值，4.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))(x，y∈R)，則x＋y的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))【解析】如圖，作CE⊥BD于E，由△CDE∽△DBA知eq\f(CE,DA)＝eq\f(CD,BD)，即eq\f(CE,1)＝eq\f(1,\r(10))，所以CE＝eq\f(\r(10),10)，設(shè)與BD平行且與圓C相切的直線交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作DH垂直該線于點(diǎn)H，顯然DH＝2CE＝eq\f(\r(10),5)，由△DFH∽△BDA得eq\f(DF,BD)＝eq\f(DH,BA)，即eq\f(DF,\r(10))＝eq\f(\f(\r(10),5),3)，所以DF＝eq\f(2,3)，過點(diǎn)P作直線l∥BD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，設(shè)t＝eq\f(AM,AD)，則x＋y＝t，由圖形知“等值線”l可從直線BD的位置平移至直線FH的位置(不包括BD和FH)，由平面幾何知識(shí)可得1＝eq\f(AD,AD)<eq\f(AM,AD)<eq\f(AF,AD)＝eq\f(5,3)，即1<t<eq\f(5,3)，故x＋y的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).5.如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)D在OA的延長(zhǎng)線上，且OD＝2，點(diǎn)P是△BCD內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，設(shè)eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OC,\s\up7(→))＋μeq\o(OD,\s\up7(→))，則λ＋μ的取值范圍為________．答案：[1，eq\f(3,2)]【解析】如圖，(λ＋μ)min＝1，(λ＋μ)max＝eq\f(3,2)．【題型三極化恒等式處理數(shù)量積的定值問題】1.(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，已知，點(diǎn)分別在邊上，且，若為的中點(diǎn)，則的值為________.答案：【解析】取BD的中點(diǎn)N，連接NF，EB，則，在中，，2.(2023·山東日照市·高三二模）如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝()A．13B．7C．5D．3答案：C【解析】連接AP，BP，則eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(PN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→)))·(eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→)))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝1×6－1＝5．3.(2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝()A．1B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)答案：B【解析】取AO中點(diǎn)Q，連接PQ，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PO,\s\up7(→))＝PQ2－AQ2＝eq\f(5,16)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)．4.(2023·全國(guó)福建省漳州市高三期末)如圖，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D為邊BC的中點(diǎn)，若CD⊥AD，垂足為E，則eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝________．答案：－eq\f(27,7)【解析】由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝19，即BC＝eq\r(19)，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))=AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cos120°＝－3，所以|AD|＝eq\f(\r(7),2)，因?yàn)镾△ABC＝2S△ADC，則eq\f(1,2)|AB|·|AC|·sin120°＝2·eq\f(1,2)|AD||CE|，解得|CE|＝eq\f(3\r(21),7)，在Rt△DEC中，|DE|＝eq\r(CD2－CE2)＝eq\f(5\r(7),14)，所以eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝|ED|2－|CD|2＝－eq\f(27,7)．【題型四極化恒等式處理數(shù)量積中的最值范圍問題】1.在?ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=1，則DE?答案：15【解析】取EF的中點(diǎn)H，連接DH、CH，由DE?根據(jù)三角形三邊性質(zhì)可得：CH+DH≥CD，所以DH=CD?CH=5所以DE?DF=DH2?2.(2023·海南?？凇ざ＃┮阎切蜛BC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________．答案：[－2，6]【解析】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3)．又由極化恒等式得：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|PD|2－eq\f(1,4)|AB|2＝|PD|2－3，因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，|PD|max＝3，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，|PD|min＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]．3.(2023?南通期末）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB為鈍角，M，N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝1，若的最小值為，則cos∠ACB＝________．答案：【解析】取MN的中點(diǎn)P，則由極化恒等式得，∵的最小值為，∴，由平幾知識(shí)知：當(dāng)CP⊥A