新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題4.1 同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換【八大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題4.1同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正、余弦齊次式的計算】 2【題型2“和”“積”轉(zhuǎn)換】 4【題型3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——化簡、求值】 5【題型4同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】 7【題型5三角恒等變換的化簡問題】 8【題型6三角恒等變換——給值求值型問題】 9【題型7三角恒等變換——給值求角型問題】 11【題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 131、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察“弦切互化”、三角函數(shù)的化簡求值等內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函數(shù)的解答題中有時也會涉及到三角恒等變換、合并化簡，此時試題難度中等.【知識點1同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用結(jié)論】1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形SKIPIF1<02.同角三角函數(shù)關(guān)系式的注意事項在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.【知識點2誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用】1.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.2.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用

(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.3.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算.4.同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式化簡、求值的解題策略利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程；同時要注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.【知識點3三角恒等變換幾類問題的解題策略】1.給值求值問題的解題思路給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.2.給角求值問題的解題思路給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.3.給值求角問題的解題思路給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.4.三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.【題型1正、余弦齊次式的計算】【例1】（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知1?2sinαcosαcos2α?sin2α=13，則tanα=A．13 B．12 C．13【變式1-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知α∈0,π，且sinα?3cosα=2A．?3 B．?33 C．【變式1-2】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知tanθ=2，則cosθ?2sinA．0 B．?53【變式1-3】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角α的頂點為原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過點P?2,5，則sin2αA．?752 B．?4【題型2“和”“積”轉(zhuǎn)換】【例2】（2023下·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）已知sinα?cosα=13A．?89 B．23 C．【變式2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知sinαcosα=?16A．233 B．?23【變式2-2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知sinα?cosα=15A．?125 B．125 C．【變式2-3】（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）設(shè)sinα+cosα=x，且sin3α+A．－1 B．12 C．1 D．【題型3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——化簡、求值】【例3】（2023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知α∈π2,π，若cosπA．24 B．?24 C．【變式3-1】（2023上·全國·高一期末）已知sinπ6+α=13，且A．?223 B．?1【變式3-2】（2023上·高一課時練習(xí)）已知sin(π?α)=13A．223C．13 D．【變式3-3】（2023上·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若cos(π6+α)=1A．0 B．23 C．1+22【題型4同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】【例4】（2023上·天津·高一?？茧A段練習(xí)）若tan(7π+α)=a，則sinA．a(chǎn)?1a+1 B．a(chǎn)+1【變式4-1】（2023上·江蘇無錫·高一?？茧A段練習(xí)）已知cos?x+sinπ?xA．1625 B．?1625 C．【變式4-2】（2023上·江蘇無錫·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知sinα+cosα=?12A．?34 B．34 C．【變式4-3】（2023上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎?cos3π2+θsinπA．?1?2 B．1+2 C．2【題型5三角恒等變換的化簡問題】【例5】（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）已知cosx+sinx=23A．?716 B．?72【變式5-1】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)0<θ<π2，若sinθ+cosθA．32 B．12 C．2【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：sin2α?2A．2cosα B．22cos【變式5-3】（2023下·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知α,β∈0,π且滿足sinα+A．tanα+β=C．cosα+β=【題型6三角恒等變換——給值求值型問題】【例6】（2023上·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）已知α、β∈0,π4，且sinα=13，A．2327 B．13 C．25【變式6-1】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知tanα+π6=12，A．?913 B．?211【變式6-2】（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一校考期中）已知α∈3π4,3π2A．1665 B．?1665 C．【變式6-3】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知π2<α<3π2，?A．cos(α?β)=?1 B．sinC．cos(α+β)=?1【題型7三角恒等變換——給值求角型問題】【例7】（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若sin2α=55，sinβ?α=1010，且α∈A．7π4 B．9π4 C．【變式7-1】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）若α∈?π2,0，β∈0,π2，且tanA．?3π4 B．?π4【變式7-2】（2023·全國·高三校聯(lián)考期末）已知0<α<β<π2,A．α+β=π6C．β?α=π6【變式7-3】（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知tanβ=cosα1?sinα，tanα+βA．π12 B．π6 C．π【題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【例8】（2023上·湖南長沙·高一長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當(dāng)x∈0,π2【變式8-1】（2023上·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fx(1)求fx在0,(2)若tanα=2，求f(3)若fβ=?1【變式8-2】（2023上·浙江嘉興·高一嘉興一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cosxsin(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；(2)求f(x)在閉區(qū)間?π【變式8-3】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若α∈3π4,π1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)x∈R，則“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知α為銳角，cosα=1+54，則A．3?58 B．?1+583．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)甲：sin2α+sin2β=1A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知sinα?β=13,A．79 B．19 C．?5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α?β)=1 B．C．tan(α?β)=?1 D．6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若tanθ=?2，則sinθ1+A．?65 B．?257．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若θ∈0,π2,8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若fx=(x?