新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)01 利用基本不等式求最值【八大題型】（舉一反三）（原卷版）

重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直接法求最值】 2【題型2配湊法求最值】 2【題型3常數(shù)代換法求最值】 2【題型4消元法求最值】 3【題型5構(gòu)造不等式法求最值】 3【題型6多次使用基本不等式求最值】 4【題型7實(shí)際應(yīng)用中的最值問題】 4【題型8與其他知識(shí)交匯的最值問題】 6基本不等式是高考熱點(diǎn)問題，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn).題型通常為選擇題或填空題，但它的應(yīng)用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)?？疾爝\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn).在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時(shí)一定要緊扣“一正二定三相等”這三個(gè)條件靈活運(yùn)用.【知識(shí)點(diǎn)1利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求SKIPIF1<0的最值”的問題，先將SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.【知識(shí)點(diǎn)2基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】1．基本不等式的實(shí)際應(yīng)用的解題策略(1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【題型1直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考階段練習(xí)）已知a>0，則a+1a+1的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知x>0，則x?4+4x的最小值為（A．－2 B．0 C．1 D．2【變式1-2】（2023上·山東·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)y=x2?x+9x（A．1 B．3 C．5 D．9【變式1-3】（2023下·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）3+1x2A．93 B．7+42 C．8【題型2配湊法求最值】【例2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知a>1，則a+16a?1的最小值為（A．8 B．9 C．10 D．11【變式2-1】（2023上·吉林·高一?？茧A段練習(xí)）已知x>3，則y=2x?3+2xA．6 B．8 C．10 D．12【變式2-2】（2023上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)x>2，則函數(shù)y=4x?1+4x?2，的最小值為（A．7 B．8 C．14 D．15【變式2-3】（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）若x>0，y>0且滿足x+y=xy，則2xx?1+4yA．6+26 B．4+62 C．2+4【題型3常數(shù)代換法求最值】【例3】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）已知a>0，b>0，若2a+3b=1，則2a+bA．8 B．9 C．10 D．11【變式3-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b，點(diǎn)M1,4在直線xa+ybA．4 B．6 C．9 D．12【變式3-2】（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+8y?xy=0，則2x+y的最大值為（

A．25 B．16 C．3【變式3-3】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，且2a+b=1，則2a2a+1A．1 B．2 C．3 D．4【題型4消元法求最值】【例4】（2023上·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足3x?4=9y，則【變式4-1】（2023上·安徽池州·高一統(tǒng)考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，則.【變式4-2】（2023上·山東淄博·高一校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a,b，且2a+b+6=ab，則a+2b的最小值為.【變式4-3】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知正實(shí)數(shù)a,?b,?c,?d滿足a2?【題型5構(gòu)造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)b的最大值為8B．1a?1C．a(chǎn)+b有最小值3+D．a(chǎn)2【變式5-1】（2022上·山東青島·高一青島二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy?3=0；則下列結(jié)論正確的是（

）A．xy的最小值是1 B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8 D．x+2y的最大值是4【變式5-2】（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若x>2，則函數(shù)y=x+1B．若x>0，y>0，3x+1C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，則xy的最小值為1D．若x>1，y>0，x+y=2，則1x?1+【變式5-3】（2023上·廣東中山·高三校考階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=3，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．yx+3yC．x+2y的最大值為2 D．x【題型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52【變式6-1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=1，y>0，x≠0，則1x+2A．22?1 B．22+1【變式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x,y,z>0，滿足xy+zx=2，則當(dāng)4y+A．1 B．32 C．2 D．【變式6-3】（2023上·遼寧大連·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，則a2+3aba+2bA．2 B．2?2 C．3?2【題型7實(shí)際應(yīng)用中的最值問題】【例7】（2023上·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）如圖，高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為400m2的十字形地域.計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為8400元/m2；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為420元/m2；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為160元/m2.設(shè)總造價(jià)為y（單位：元），AD長(zhǎng)為x（單位：m）.(1)用x表示AM的長(zhǎng)度，并求x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y最??？并求出這個(gè)最小值.【變式7-1】（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）某校地勢(shì)較低，一遇到雨水天氣校園內(nèi)會(huì)有大量積水，不但不方便師生出行，還存在嚴(yán)重安全問題.為此學(xué)校決定利用原水池改建一個(gè)深3米，底面面積16平方米的長(zhǎng)方體蓄水池.不但能解決積水問題，同時(shí)還可以利用蓄水灌溉學(xué)校植被.改建及蓄水池蓋兒固定費(fèi)用800元，由招標(biāo)公司承擔(dān).現(xiàn)對(duì)水池內(nèi)部地面及四周墻面鋪設(shè)公開招標(biāo).甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：四周墻面每平方米150元，地面每平方米400元.設(shè)泳池寬為x米.2≤x≤6(1)當(dāng)寬為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低，并求出最低報(bào)價(jià).(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為900ax+2x元(a>0)（整體報(bào)價(jià)中含固定費(fèi)用）.若無(wú)論寬為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求【變式7-2】（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）因新冠疫情零星散發(fā)，某實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了保障師生安全，同時(shí)考慮到節(jié)省費(fèi)用，擬借助校門口一側(cè)原有墻體建造一間高為4米、底面積為24平方米、背面靠墻體的長(zhǎng)方體形狀的隔離室．隔離室的正面需開一扇安全門，此門高為2米，且此門高為此門底的13．因此室的后背面靠墻，故無(wú)需建墻費(fèi)用，但需粉飾．現(xiàn)學(xué)校面向社會(huì)公開招標(biāo)，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)：正面為每平方米360元，左右兩側(cè)面為每平方米300元，已有墻體粉飾為每平方米100元，屋頂和地面以及安全門報(bào)價(jià)共計(jì)12000元．設(shè)隔離室的左右兩側(cè)面的底邊長(zhǎng)度均為x米(1≤x≤5)(1)記y為甲工程隊(duì)整體報(bào)價(jià)，求y關(guān)于x的關(guān)系式；(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此隔離室建造的競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為4800t(x+1)x元，問是否存在實(shí)數(shù)t，使得無(wú)論左右兩側(cè)底邊長(zhǎng)為多少，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功（注：整體報(bào)價(jià)小者競(jìng)標(biāo)成功），若存在，求出t【變式7-3】（2023上·重慶·高一校考階段練習(xí)）為宜傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張面積為36000cm2的矩形海報(bào)紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形），為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設(shè)DC=x(1)將四個(gè)宣傳欄的總面積y表示為x的表達(dá)式，并寫出x的范圍；(2)為充分利用海報(bào)紙空間，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸（AD和CD分別為多少時(shí)），可使用宣傳欄總面積最大？并求出此時(shí)宣傳欄的最大面積．【題型8與其他知識(shí)交匯的最值問題】【例8】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足c+bcos(1)求A；(2)若角A的平分線交BC于D點(diǎn)，且AD=1，求△ABC面積的最小值.【變式8-1】（2023上·安徽銅陵·高二校聯(lián)考期中）已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為9π(1)求圓C的方程；(2)若直線l，l′都經(jīng)過點(diǎn)(0,2)，且l⊥l′，直線l交圓C于M，N兩點(diǎn)，直線l′交圓C于P，【變式8-2】（2023上·江蘇鹽城·高一校考階段練習(xí)）已知在定義域內(nèi)單調(diào)的函數(shù)fx滿足f(1)設(shè)fx+1(2)解不等式f7+2x(3)設(shè)gx=fx?lnx，若【變式8-3】（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)(1)證明：點(diǎn)P在A1(2)若AB=BC，求直線PA與平面PCD所成角的正弦的最大值.1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥?2C．x2+2．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A．a(chǎn)2+C．log2a+3．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2A．4 B．8 C