2022年廣西柳州鐵路第一中學(xué)高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．2．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，（為實(shí)數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．3．已知滿足，則（）A． B． C． D．4．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯@三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強(qiáng)”、“興國之路”，為了弄清“國富民強(qiáng)”這一作品是誰制作的，村支書對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明5．已知，，，則()A． B． C． D．6．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．7．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，銳角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，使得成立的概率為等差數(shù)列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．1110．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．11．一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價元，乙每件進(jìn)價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件12．設(shè)是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_________.14．函數(shù)在處的切線方程是____________.15．在中，角的對邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．16．圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:（是參數(shù)）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且,試求實(shí)數(shù)m值.（2）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為，，求的最小值.19．（12分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.20．（12分）已知中，，，是上一點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）若，，求的值．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，直線的參數(shù)方程(為參數(shù))，若直線的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時，點(diǎn)的軌跡是曲線（1）求曲線的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，設(shè)射線的極坐標(biāo)方程為，，點(diǎn)為射線與曲線的交點(diǎn)，求點(diǎn)的極徑.22．（10分）設(shè)函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對的邊分別是，若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當(dāng)時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3．A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.6．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.7．A【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8．A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點(diǎn)在于公式的計(jì)算，識記公式，簡單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數(shù)列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間長度為6，使得成立的的范圍為，區(qū)間長度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題目.10．C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項(xiàng)和中，前項(xiàng)的和最小，且.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當(dāng)經(jīng)過時，最大.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.12．A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．360【解析】

先計(jì)算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

求出和的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，則，，.因此，函數(shù)在處的切線方程是，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16．【解析】

求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即可得解.【詳解】的圓心為，關(guān)于對稱點(diǎn)設(shè)為，則有:，解得，所以對稱后的圓心為，故所求圓的方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求圓關(guān)于直線的對稱圓方程，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）或；（2）.【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，在直角坐標(biāo)條件下求出曲線的圓心坐標(biāo)和半徑，將直線的參數(shù)方程化為普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）將圓化為參數(shù)方程形式，代入由三角公式化簡可求其取值范圍．【詳解】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為：直線的直角坐標(biāo)方程為：圓心到直線l的距離（弦心距）圓心到直線的距離為：或（2）曲線的方程可化為，其參數(shù)方程為：為曲線上任意一點(diǎn)，的取值范圍是18．（1）（2）【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到，再求得，再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解：（1）由函數(shù)有意義，則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上恒成立，上恒成立（2）由知，令，即由有兩個極值點(diǎn)故為方程的兩根，，，則由由，則上單調(diào)遞減，即由知綜上所述，的最小值為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點(diǎn)有兩個，其一是求出,其二是構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.19．（1），；（2）．【解析】

（1）設(shè)的公差為，的公比為，由基本量法列式求出后可得通項(xiàng)公式；（2）奇數(shù)項(xiàng)分一組用裂項(xiàng)相消法求和，偶數(shù)項(xiàng)分一組用等比數(shù)列求和公式求和．【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，由，.得：，解得，∴，；（2）由，得，為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組求和法及裂項(xiàng)相消法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求通項(xiàng)公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通項(xiàng)公式前項(xiàng)和公式得出相應(yīng)結(jié)論．?dāng)?shù)列求和問題，對不是等差數(shù)列或等比數(shù)列的數(shù)列求和，需掌握一些特殊方法：錯位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組（并項(xiàng)）求和法，倒序相加法等等．20．（1）（2）【解析】

（1）運(yùn)用三角形面積公式求出的長度，然后再運(yùn)用余弦定理求出的長.（2）運(yùn)用正弦定理分別表示出和，結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.【詳解】（1）由在中，由余弦定理可得（2）由已知得在中，由正弦定理可知在中，由正弦定理可知故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟練運(yùn)用各公式是解題關(guān)鍵，此類題目是?？碱}型，能夠運(yùn)用公式進(jìn)行邊角互化，需要掌握解題方法.21．（1）；（2）【解析】

（1）將兩直線化為普通方程，消去參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,求出，代入曲線C可求解.【詳解】（1）直線的普通方程為,直線的普通方程為聯(lián)立直線,方程消去參數(shù)k,得曲線C的普通方程為整理得.（2）設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,由可得代入曲線C的方程可得，解得