2022年安順市重點中學高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則A．PQ B．QPC．Q D．Q2．已知整數(shù)滿足，記點的坐標為，則點滿足的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，設為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為A． B．C． D．4．正項等比數(shù)列中，，且與的等差中項為4，則的公比是()A．1 B．2 C． D．5．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．6．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．18．已知拋物線經(jīng)過點，焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．9．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x10．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．11．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為()A． B． C． D．12．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設計和建筑領域有著廣泛的應用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則__________．14．已知圓柱的上下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為____15．函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.16．若函數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點（不在棱的端點處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點，當四邊形為菱形時，求長.18．（12分）在開展學習強國的活動中，某校高三數(shù)學教師成立了黨員和非黨員兩個學習組，其中黨員學習組有4名男教師、1名女教師，非黨員學習組有2名男教師、2名女教師，高三數(shù)學組計劃從兩個學習組中隨機各選2名教師參加學校的挑戰(zhàn)答題比賽.（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學期望.19．（12分）設都是正數(shù)，且，．求證：．20．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.21．（12分）已知動圓經(jīng)過點，且動圓被軸截得的弦長為，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的標準方程；（2）設點的橫坐標為，，為圓與曲線的公共點，若直線的斜率，且，求的值．22．（10分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量（單位：個）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個2530385066120218對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）請繪出關于的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表格數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程（結果精確到0.1）；（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為，，參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

解：因為P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此選C2．D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù)，所以所有滿足條件的點是位于圓（含邊界）內(nèi)的整數(shù)點，滿足條件的整數(shù)點有共37個，滿足的整數(shù)點有7個，則所求概率為.故選：.【點睛】本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的應用能力.3．A【解析】

作交于點，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結果.【詳解】如圖，作交于點，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結合，三角形面積公式，屬基礎題，作出合適的輔助線是本題的關鍵.4．D【解析】

設等比數(shù)列的公比為q，，運用等比數(shù)列的性質和通項公式，以及等差數(shù)列的中項性質，解方程可得公比q．【詳解】由題意，正項等比數(shù)列中，，可得，即，與的等差中項為4，即，設公比為q，則，則負的舍去，故選D．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式，合理利用等比數(shù)列的性質是解答的關鍵，著重考查了方程思想和運算能力，屬于基礎題．5．C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點距離相等可得，，故是直角三角形，設，則有，又，所以，當且僅當時，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時，故選：C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎題6．D【解析】

求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.7．A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.8．A【解析】

先求出，再求焦點坐標，最后求的斜率【詳解】解：拋物線經(jīng)過點，，，，故選：A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式，基礎題.9．A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a210．D【解析】

根據(jù)對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點；利用導數(shù)研究的單調性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數(shù)形結合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當時，在上單調遞減；在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當時，與有且僅有四個不同的交點設，，則，解得：設，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數(shù)形結合的方式來進行求解.11．B【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標準方程為.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.12．B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關系，結合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】解：由題意可知：.14．【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.【詳解】解：因為軸截面是正方形，且面積是36，所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為：【點睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎題.15．【解析】

設，，設，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設，，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調遞增，，，.當時，易知不成立；當時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學生的轉化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關鍵.16．【解析】

若函數(shù)恒成立，即，求導得，在三種情況下，分別討論函數(shù)單調性，求出每種情況時的，解關于的不等式，再取并集，即得?！驹斀狻坑深}意得,只要即可，，當時，令解得，令，解得，單調遞減，令，解得，單調遞增，故在時，有最小值，，若恒成立，則，解得；當時，恒成立;當時，，單調遞增，,不合題意,舍去.綜上,實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍，是常考題型。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】

（1）由平面與平面沒有交點，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（2）由四邊形是平行四邊形，且，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）先證，可得為的中點，從而得出是的中點，可得.【詳解】（1）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個平面沒有交點，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（2）因為，兩點不在棱的端點處，所以，又四邊形是平行四邊形，，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）如圖，延長交的延長線于點，若四邊形為菱形，則，易證，所以，即為的中點，因此，且，所以是的中位線，則是的中點，所以.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和線段長的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，屬中檔題.18．（1）28種；（2）分布見解析，.【解析】

（1）分這名女教師分別來自黨員學習組與非黨員學習組，可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）X的可能取值為，再求出X的每個取值的概率，可得X的概率分布和數(shù)學期望.【詳解】解：（1）選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.（2）X的可能取值為0，1，2，3.，，，.故X的概率分布為：X0123P所以.【點睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機變量的期望和方差，相對不難，注意運算的準確性.19．證明見解析【解析】

利用比較法進行證明：把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關鍵;屬于中檔題。20．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設點，，，由，，結合斜率公式化簡得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個定點.【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設點，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過一個定點.【點睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過定點問題，屬于中檔題.21．見解析【解析】

（1）設，則點到軸的距離為，因為圓被軸截得的弦長為，所以，又，所以，化簡可得，所以曲線的標準方程為．（2）設，，因為直線的斜率，所以可設直線的方程為，由及，消去可得，所以，，所以．設線段的中點為，點的縱坐標為，則，，所以直線的斜率為，所以，所以，所以．易得圓心到直線的距離，由