初中數(shù)學(xué)試題大全（六十）三角形難題

60初中數(shù)學(xué)組卷：三角形難題

一.選擇題（共10小題）

1.4ABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD_LAB于點(diǎn)

D,PELAC于點(diǎn)E,則PD+PE的長(zhǎng)是（）

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

2.在如圖所示的5X5方格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，aABC是格

點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是正方形的頂點(diǎn)），則與4ABC有一條公共邊且全等的所

有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）

3.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的

兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重

疊部分四邊形EMCN的面積為（）

3499

4.如圖，在4ABC和ABDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,

AB=ED,BC=BE,則NACB等于（）

E

BCD

A.ZEDBB.ZBEDC.工/AFBD.2ZABF

2

5.如圖，4ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD1AC

6.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,AD〃BC,ZABC=60°,ZBCD=30°,BC=6,

那么4ACD的面積是（）

A.?B.返C.2V3D.當(dāng)歷

24

7.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)是2,3,X,那么第三邊x的取值范圍是（）

A.l<x<V5B.V5<X<V13C.V13<X<5D.V5<X<V15

8.如圖，有一ZXABC,今以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于D點(diǎn)，以C

為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于E點(diǎn).若NB=40。，ZC=36°,則關(guān)于AD、

AE、BE、CD的大小關(guān)系，下列何者正確？（）

A.AD=AEB.AD<AEC.BE=CDD.BE<CD

9.如圖，在鈍角^ABC中，分別以AB和AC為斜邊向^ABC的外側(cè)作等腰直角

三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分NAEB交AB于點(diǎn)M,取BC中點(diǎn)D,

AC中點(diǎn)N,連接DN、DE、DF.下列結(jié)論：①EM=DN；②SMDN=LS四邊形ABDN；③

3

DE=DF；@DE±DF.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

10.如圖，AABC中，NABC、NEAC的角平分線PA、PB交于點(diǎn)P,下列結(jié)論:

①PC平分NACF；

（2）ZABC+ZAPC=180°；

③若點(diǎn)M、N分別為點(diǎn)P在BE、BF上的正投影，則AM+CN=AC；

④NBAC=2NBPC.

其中正確的是（）

A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③

二.填空題（共10小題）

11.如圖，四邊形ABCD中，ZA=90°,AB=3a，AD=3,點(diǎn)M,N分別為線段BC,

AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E,F分別為DM,MN的中

點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為

12.如圖，AABC中，AB=AC,NBAC=54。，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且OD^AB,ZBAC

的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)0,將NC沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）

折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合，則NOEC為度.

13.如圖，ZSABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點(diǎn)為G,若S&ABC=12,則圖中

陰影部分的面積是

14.在^ABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC邊上的高為12cm,則4ABC的面積

為cm2.

15.如圖，^ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60.其三條角平分線交

于點(diǎn)。，則SAABO：SABCO：SACAO=

16.如圖，^ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF_LAE于F,AB=5,AC=2,

則DF的長(zhǎng)為

A

BDEC

17.如圖，NB0C=9。，點(diǎn)A在OB上，且OA=1,按下列要求畫圖：

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交0C于點(diǎn)Ai，得第1條線段AAi；

再以Ai為圓心，1為半徑向右畫弧交0B于點(diǎn)A2,得第2條線段A02；

再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交0C于點(diǎn)A3,得第3條線段A2A3；…

這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則

18.如圖，^EAABC中，AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAOC=60°,

則當(dāng)4PAB為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為.

19.已知AABC中，ZA=a.在圖（1）中NB、NC的角平分線交于點(diǎn)01，則可

計(jì)算得NBO1C=9（T+La；在圖（2）中，設(shè)/B、ZC的兩條三等分角線分別對(duì)

2

應(yīng)交于01、02,則NB02C=；請(qǐng)你猜想，當(dāng)NB、NC同時(shí)n等分時(shí)，（n

-1）條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于01、。2,??.，On1，如圖（3）,則NB0n-1C=（用

含n和a的代數(shù)式表示）.

A

圖（2）圖（3）

20.如圖，在△AIBIJ中,已知AiB]=7,BiCi=4,AiCi=5,依次連接△AiBiJ二

邊中點(diǎn)，得^A2B2c2,再依次連接4A2B2c2的三邊中點(diǎn)得aAsB3c3,…，則aAsBsCs

三.解答題（共10小題）

21.如圖1,在AABC中，NACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD,以

AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

（1）如果AB=AC,NBAC=90°,

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2,線段CF、BD所在直線的位

置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明

理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)NACB滿足什么條件

時(shí)，CF1BC（點(diǎn)C、F不重合），并說(shuō)明理由.

22.已知兩個(gè)等腰Rt^ABC,RtACEF有公共頂點(diǎn)C,ZABC=ZCEF=90°,連接AF,

M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.

(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB〃CF；

(2)如圖1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的長(zhǎng)；

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AF,AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷4CDF

的形狀并證明；

(2)如圖2,E是直線BC上一點(diǎn),且CE=BD,直線AE、CD相交于點(diǎn)P,ZAPD

的匚度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？「若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

F_A

圖1圖2

24.(1)如圖，在四邊形ABCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是邊BC、

CD上的點(diǎn)，且NEAF=LNBAD.

2

求證：EF=BE+FD；

BEC

(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、CD

(1)中的結(jié)論是否仍然成立?

(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分別是邊BC、

CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且NEAF=L/BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)

2

證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

25.如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。,

ZB=ZE=30°.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖2,固定aABC,使ADEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空:

①線段DE與AC的位置關(guān)系是

②設(shè)aBDC的面積為Si，△AEC的面積為S2，則Si與S2的數(shù)量關(guān)系是.

圖1圖2

(2)猜想論證

當(dāng)ADEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中均與S2的數(shù)量關(guān)

系仍然成立，并嘗試分別作出了^BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明

小明的猜想.

(3)拓展探究

已知NABC=60。，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4,DE〃AB交BC于點(diǎn)E(如

圖4).若在射線BA上存在點(diǎn)F,使SADCF=SABDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng).

26.已知：^ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC,點(diǎn)F在CE的

27.已知aABC中，AB=AC.

(1)如圖1,在aADE中，若AD=AE,且NDAE=NBAC,求證：CD=BE；

(2)如圖2,在4ADE中，若NDAE=NBAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,

求BD的長(zhǎng)；

(3)如圖3,在4ADE中，當(dāng)BD垂直平分AE于H,且NBAC=2NADB時(shí)，試探

圖1

28.已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），分別過(guò)

A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是,QE與QF

的數(shù)量關(guān)系式;

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)

系，并給予證明；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是

否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明.

29.已知：在^ABC中，AC=BC,ZACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊

上一點(diǎn).

（1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G（如圖1）,求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖2）,

找出圖中與BE相等的線段，并證明.

30.CD經(jīng)過(guò)NBCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且

ZBEC=ZCFA=Za.

(1)若直線CD經(jīng)過(guò)/BCA的內(nèi)部，且E,F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問

題：

①如圖1,若NBCA=90°,Za=90°,

則BECF；EF|BE-AF|(填"V"或"=")；

②如圖2,若0°<ZBCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于/a與NBCA關(guān)系的條

件,使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.

(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)NBCA的外部，Na=NBCA,請(qǐng)?zhí)岢鯡F,BE,AF

三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想(不要求證明).

60初中數(shù)學(xué)組卷：三角形難題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2015?黑龍江）△ABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作PDLAB于點(diǎn)D,PELAC于點(diǎn)E,則PD+PE的長(zhǎng)是（）

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

【分析】過(guò)A點(diǎn)作AF_LBC于F,連結(jié)AP,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾

股定理可得AF的長(zhǎng)，由圖形得SABC=SABP+SACP，代入數(shù)值，解答出即可.

【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AFLBC于F,連結(jié)AP,

?..△ABC中,AB=AC=5,BC=8,

，BF=4,

,△ABF中，AF=^AB2_BF^3,

，LX8X3=LX5XPD+LX5XPE,

222

12=LX5X（PD+PE）

2

PD+PE=4.8.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答時(shí)注意，將一個(gè)三

角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

2.（2016?桐城市模擬）在如圖所示的5X5方格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1

的正方形，AABC是格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是正方形的頂點(diǎn)），則與AABC有

一條公共邊且全等的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）

【分析】根據(jù)全等三角形的判定分別求出以BC為公共邊的三角形，以AB為公

共邊的三角形，以AC為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)，相加即可.

【解答】解：以BC為公共邊的三角形有3個(gè)，以AB為公共邊的三角形有0個(gè),

以AC為公共邊的三角形有1個(gè)，

共3+0+1=4個(gè)，

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，找出符合條件的所有三角形是解

此題的關(guān)鍵.

3.（2014?山西）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE,直角

三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊

長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）

F

A..2a2B.la2C.la2D.Aa2

3499

【分析】過(guò)E作EPLBC于點(diǎn)P,EQ_LCD于點(diǎn)Q,AEPM^AEQN,利用四邊形

EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解.

【解答】解：過(guò)E作EPLBC于點(diǎn)P,EQ_LCD于點(diǎn)Q,

1AG

F

?.?四邊形ABCD是正方形，

；.NBCD=90°,

又?.?NEPM=NEQN=90°,

，NPEQ=90°,

NPEM+NMEQ=90",

?.?三角形FEG是直角三角形，

,NNEF=NNEQ+NMEQ=90",

，NPEM=NNEQ,

VAC是/BCD的角平分線，NEPC=NEQC=90。，

，EP=EQ,四邊形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，

'NPEM=/NEQ

<EP=EQ，

NEPM=/EQN

.,.△EPM四△EQN(ASA)

,,SAEQN=SAEPM，

，四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積,

?.?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,

??AC=^2a,

VEC=2AE,

.?.EC=2憶,

3

，EP=PC=2a,

3

，正方形PCQE的面積=2ax2a=￡2,

339

，四邊形EMCN的面積=曳2,

9

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是作出輔助線，證出△EPM之△EQN.

4.（2014?廈門）如圖，在AABC和4BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE

于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,則NACB等于（）

A.ZEDBB.ZBEDC.1.ZAFBD.2ZABF

2

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得NACB與NDBE的關(guān)系，根據(jù)三角

形外角的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解:在^ABC和ADEB中，

"AC=BD

,AB二ED，

BC=BE

.,.△ABC^ADEB（SSS）,

，ZACB=ZDBE.

VZAFB是aBFC的外角,

，NACB+NDBE=NAFB,

NACB=LNAFB,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì),

三角形外角的性質(zhì).

5.（2014?樂山）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上，BD1AC于點(diǎn)D.則BD的長(zhǎng)為（）

【分析】利用勾股定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后由面積法求得BD的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖，由勾股定理得AC=G示質(zhì).

?.?±BCX2=ly\C?BD,gp±X2X2=J-XJfiBD

2222

/.BD=1叵

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的面積.利用面積法求得線段BD的長(zhǎng)度

是解題的關(guān)鍵.

6.（2014?德陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,AD〃BC,ZABC=60°,ZBCD=30",

BC=6,那么4ACD的面積是（）

_______D

A.愿B.*C.2jjD.￡百

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC于E,過(guò)點(diǎn)D作DFJ_BC于F.構(gòu)建矩形AEFD

和直角三角形，通過(guò)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AE的長(zhǎng)度，然后由三角

形的面積公式進(jìn)行解答即可.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AELBC于E,過(guò)點(diǎn)D作DFLBC于F.設(shè)AB=AD=x.

XVADABC,

...四邊形AEFD是矩形，

，AD=EF=x.

在Rt^ABE中，ZABC=60°,則NBAE=30°,

.".BE=lAB=ix,

22_

DF=AE=7AB2-BE2=^X,

在Rt^CDF中，ZFCD=30°,貝ICF=DF?cot30°=當(dāng).

2

又?:BC=6,

BE+EF+CF=6,即_LX+X+±X=6,

22

解得x=2

.?.△ACD的面積是：L\D?DF=L<X?=Ylx22=y,

2224

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的面積以及含30度角的直角三角形.解

題的難點(diǎn)是作出輔助線，構(gòu)建矩形和直角三角形，目的是求得AADC的底邊AD

以及該邊上的高線DF的長(zhǎng)度.

7.（2015?黃岡中學(xué)自主招生）已知銳角三角形的邊長(zhǎng)是2,3,X,那么第三邊x

的取值范圍是（）

A.l<x<VsB.V5<x<V13C.V13<x<5D.V5<X<V15

【分析】根據(jù)勾股定理可知x的平方取值范圍在2與3的平方和與平方差之間.

【解答】解：因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以2?+32>X2；22+X2>32,所以5<X2

<13,即遙<x<舊.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角形的三邊關(guān)系定理，有一定的難度.

8.（2014?臺(tái)灣）如圖，有一△ABC,今以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC

于D點(diǎn)，以C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于E點(diǎn).若NB=40。，ZC=36°,

則關(guān)于AD、AE、BE、CD的大小關(guān)系，下列何者正確？（）

A.AD=AEB.AD<AEC.BE=CDD.BE<CD

【分析】由NCVNB利用大角對(duì)大邊得到ABVAC,進(jìn)一步得到BE+EDVED+CD,

從而得到BE<CD.

【解答】W：VZC<ZB,

，AB<AC,

VAB=BDAC=EC

.?.BE+EDVED+CD,

/.BE<CD.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意，了解大邊對(duì)

大角.

9.（2015?齊齊哈爾）如圖，在鈍角AABC中，分別以AB和AC為斜邊向AABC

的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分NAEB交AB于點(diǎn)

M,取BC中點(diǎn)D,AC中點(diǎn)N,連接DN、DE、DF.下列結(jié)論：①EM=DN；②S△

CDN=&四.ABDN;③DE=DF；?DE±DF.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】①首先根據(jù)D是BC中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)N,可得DN是aABC的中位線,

判斷出DN=^?歷然后判斷出EM」杷，即可判斷出EM=DN；

②首先根據(jù)DN//AB,可得aCDNsABC；然后根據(jù)口桂點(diǎn)形，可得SACDN=15AABC，

所以SACDN=-^-S叫邊脛ABDN，據(jù)此判斷即可.

3

③首先連接MD、FN,判斷出DM=FN,ZEMD=ZDNF,然后根據(jù)全等三角形判

定的方法，判斷出AEMD之△DNF,即可判斷出DE=DF.

④首先判斷出嗎sin45°q②DM=0A,NEMD=NEAF,根據(jù)相似計(jì)三角形

判定的方法，判斷出△EMDsZXNEAF,即可判斷出NMED=NAEF,然后根據(jù)N

MED+NAED=45°,判斷出NDEF=45°,再根據(jù)DE=DF,判斷出NDFE=45°,ZEDF=90°,

即可判斷出DE1DF.

【解答】解：：口是BC中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)，

ADN是4ABC的中位線，

；.DN〃AB,且DN=^■期；

???三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分NAEB交AB于點(diǎn)M,

，M是AB的中點(diǎn)，

*e,EM=g皿，

^-，/DN=yAB>

；.EM=DN,

二結(jié)論①正確；

：DN〃AB,

.,.△CDNSABC,

DN9AB，

△ABC，

13S四邊形ABDN，

...結(jié)論②正確；

BDC

如圖1,連接MD、FN,圖1

?.?D是BC中點(diǎn)，M是AB中點(diǎn)，

ADM是AABC的中位線，

，DM〃AC,且DM=/AC；

?.?三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點(diǎn)，

FN=yAO

XVDM=1AC,

，DM=FN,

VDM/7AC,DN〃AB,

???四邊形AMDN是平行四邊形，

，NAMD=NAND,

又,.?NEMA=NFNA=90°,

；.NEMD=NDNF,

在AEMD和Z\DNF中，

，EM=DN

-NEMD=NDNF，

MD=NF

/.△EMD^ADNF,

，DE=DF,

...結(jié)論③正確；

如圖2,連接MD,EF,NF,圖2

?.?三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分NAEB,

.?.M是AB的中點(diǎn)，EM_LAB,

，EM=MA,ZEMA=90°,ZAEM=ZEAM=45°,

?EM.gV2

?,^rsin45可，

OD是BC中點(diǎn)，M是AB中點(diǎn),

ADM是AABC的中位線，

，DM〃AC,且DM蔣AC；

???三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點(diǎn),

AFN=1.AC，ZFNA=90°,NFAN=NAFN=45。，

XVDM=1AC,

，DM=FN=^FA,

2

VZEMD=ZEMA+ZAMD=90°+ZAMD,

ZEAF=360°-ZEAM-/FAN-ZBAC

=360°-45°-45°-(180°-ZAMD)

=90°+ZAMD

/.ZEMD=ZEAF,

在AEMD和A/EAF中，

,EMDMM

<EA=FA=2

ZEMD=ZEAF

.'.△EMD^AZEAF,

/.ZMED=ZAEF,

VZMED+ZAED=45",

，NAED+NAEF=45°,

即NDEF=45°,

XVDE=DF,

/.ZDFE=45°,

二NEDF=180°-45°-45°=90°,

；.DE_LDF,

...結(jié)論④正確.

，正確的結(jié)論有4個(gè)：①②③④.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形

的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.

（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)

鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還

具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45。，斜邊上中線、

角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑

R,而高又為內(nèi)切圓的直徑.

（3）此題還考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是

要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

10.（2010?武漢模擬）如圖，ZXABC中，NABC、NEAC的角平分線PA、PB交于

點(diǎn)P,下列結(jié)論：

①PC平分NACF；

②NABC+NAPC=180°；

③若點(diǎn)M、N分別為點(diǎn)P在BE、BF上的正投影，則AM+CN=AC；

④NBAC=2NBPC.

其中正確的是（）

A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③

【分析】過(guò)點(diǎn)P分別作AB、BC、AC的垂線段，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊

的距離相等可以證明點(diǎn)P到AC、BC的垂線段相等，再根據(jù)到角的兩邊距離相等

的點(diǎn)在角的平分線上即可證明①正確；

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360?？梢宰C明②錯(cuò)誤；

根據(jù)①的結(jié)論先證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明③正

確；

利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和利用AABC與APBC寫出

關(guān)系式整理即可得到④正確.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM_LAB,PN±BC,PD±AC,垂足分別為M、N、

D,

①YPB平分NABC,PA平分NEAC,

，PM=PN,PM=PD,

，PM=PN=PD,

...點(diǎn)P在NACF的角平分線上(到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)，

故本小題正確；

②PN1BC,

/.ZABC+90°+ZMPN+90°=360°,

.,.ZABC+ZMPN=180°,

很明顯NMPNWNAPC,

,NABC+NAPC=180°錯(cuò)誤，

故本小題錯(cuò)誤；

③在RSAPM與RQAPD中，［虹=AP,

lPM=PD

ARtAAPM^RtAAPD(HL),

；.AD=AM,

同理可得RtACPD^RtACPN,

；.CD=CN,

，AM+CN=AD+CD=AC,

故本小題正確；

④「PB平分/ABC,PC平分NACF,

NACF=NABC+NBAC,NPCN」NACF=NBPC+LNABC,

22

/.ZBAC=2ZBPC,

故本小題正確.

綜上所述，①③④正確.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到角的兩

邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一

個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，有一定綜合性，但難度不大，只

要仔細(xì)分析便不難求解.

二.填空題（共10小題）

11.（2015?廣州）如圖，四邊形ABCD中，ZA=90°,AB=3仃，AD=3,點(diǎn)M,N

分別為線段BC,AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E,F分別為

DM,MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為3.

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=4N,從而可知DN最大時(shí)，EF最大,

2

因?yàn)镹與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6,從而求得EF的

最大值為3.

【解答】解：YED=EM,MF=FN,

，EF=LDN,

2

，DN最大時(shí)，EF最大，

YN與B重合時(shí)DN最大，

止匕時(shí)

DN=DB=AyA[)2+AB2=6,

，EF的最大值為3.

故答案為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題

的關(guān)鍵.

12.(2013?煙臺(tái))如圖，ZXABC中，AB=AC,ZBAC=54°,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且

OD±AB,ZBAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)。，將NC沿EF(E在BC

上上，F(xiàn)在AC上)折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合，則NOEC為108度.

【分析】連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出NBAO,根據(jù)等腰三角形兩底

角相等求出NABC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得

0A=OB,根據(jù)等邊對(duì)等角可得NABO=NBAO,再求出/OBC,然后判斷出點(diǎn)。是

△ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC,再根據(jù)等邊對(duì)等角求出N

OCB=ZOBC,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出NCOE,再

利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，連接OB、OC,

VZBAC=54°,AO為NBAC的平分線，

，ZBAO=1ZBAC」X54°=27°,

22

XVAB=AC,

，/ABC=L(180°-ZBAC)=2(180°-54°)=63°,

22

...DO是AB的垂直平分線，

AOA=OB,

.,.ZABO=ZBAO=27°,

/.ZOBC=ZABC-ZABO=63°-27°=36°,

VAO為NBAC的平分線，AB=AC,

.,.△AOB^AAOC(SAS),

.,.OB=OC,

.?.點(diǎn)。在BC的垂直平分線上，

又YD。是AB的垂直平分線，

.?.點(diǎn)O是Z\ABC的夕卜心,

.,.ZOCB=ZOBC=36°,

?.?將NC沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合,

，OE=CE,

/.ZCOE=ZOCB=36°,

在△OCE中，ZOEC=1800-ZCOE-ZOCB=180°-36°-36°=108°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等

腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較

強(qiáng)，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2015?廣東）如圖,AABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點(diǎn)為G,若SAABC=12,

則圖中陰影部分的面積是4.

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知4ABC的面積

即為陰影部分的面積的3倍.

【解答】方法1

解：:△ABC的三條中線AD、BE,CF交于點(diǎn)G,

?e?SACGE=SAAGE=-^SAACF，SABGF=SABGD=-^-SABCF，

33

**SAACF=SABCF=-^-SAABC=—12=6，

22

?e?SACGE=-^-SAACF=1X6=2,SABGF=4BCF=LX6=2,

3333

?"S陰影=SACGE+SABGF=4.

故答案為4.方法2

設(shè)^AFG,ABFG,ABDG,ACDG,ACEG,aAEG的面積分別為SI，S2,S3,S4,

S5,S6，根據(jù)中線平分三角形面積可得：S1=S2,S3=S4,S5=S6,S1+S2+S3=S4+S5+S6

①，S2+S3+S4=S1+S5+S6(2)

由①-②可得S1=S4,所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=2,故陰影部分的面積為4.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，4BGF

的面積=4BGD的面積=4CGD的面積，4AGF的面積=Z^AGE的面積=Z\CGE的面

積.

14.（2015?黃岡）在AABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC邊上的高為12cm,則

△ABC的面積為126或66cn?.

【分析】此題分兩種情況：NB為銳角或NB為鈍角已知AB、AC的值，利用勾

股定理即可求出BC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式得結(jié)果.

【解答】解：當(dāng)NB為銳角時(shí)（如圖1）,

在RtAABD中，

BD=VAB2-AD132-12，

在RtAADC中,

CD=VAC2-AD202-122=160,71，

.*.BC=21,

=x2

SAABc=y?BC*AD7r21X12=126cm；

當(dāng)NB為鈍角時(shí)（如圖2）,

在RtAABD中，

BD=VAB2-AD132-12，

在RtAADC中，

CD=7AC2-AD202-122=160,71，

ABC=CD-BD=16-5=llcm,

SAABc=y?BC?AD=7rx11X12=66cm2,

故答案為：126或66.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是

解答此題的關(guān)鍵.

15.（2012?通遼）如圖，^ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60.其三

條角平分線父于點(diǎn)。，則SAABO：SABCO：SACAC=4：5：6.

B

AC

【分析】首先過(guò)點(diǎn)0作OD±AB于點(diǎn)D,作OE±AC于點(diǎn)E,作OFLBC于點(diǎn)F,

由OA,OB,OC是4ABC的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得OD=OE=OF,

又由的三邊、、長(zhǎng)分別為、、即可求得S^ABO：

AABCABBCCA405060,SABco：S

ACAO的值.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作ODLAB于點(diǎn)D,作OE_LAC于點(diǎn)E,作OFLBC于點(diǎn)F,

VOA,OB,OC是AABC的三條角平分線，

，OD=OE=OF,

,.'△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60,

ASAABO：SABCO：SACAO=(XAB?OD)：(J-BC*OF)：(LC?OE)=AB：BC：AC=40：

222

50：60=4：5：6.

故答案為：4：5：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線的作法,

注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.(2013?烏魯木齊)如圖，ZiABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF1AE

于F,AB=5,AC=2,則DF的長(zhǎng)為—旦

【分析】延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,證明4AFG0△AFC,從而可得aACG是等腰三

角形，GF=FC,點(diǎn)F是CG中點(diǎn)，判斷出DF是4CBG的中位線，繼而可得出答案.

【解答】解：延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,

VAE平分NBAC,

/.ZGAF=ZCAF,

VAF垂直CG,

，ZAFG=ZAFC,

在4AFG和4AFC中，

，ZGAF=ZCAF

'?'*AF=AF，

,ZAFG=ZAFC

.,.△AFG^AAFC(ASA),

；.AC=AG,GF=CF,

又?.?點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，

ADF是Z\CBG的中位線，

.?.DF=1BG=L(AB-AG)=L(AB-AC)=W.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，同學(xué)

們要注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現(xiàn)即是角平分線又是高的情況，我們就需要

尋找等腰三角形.

17.（2015?河北）如圖，ZBOC=9",點(diǎn)A在OB上，且OA=1,按下列要求畫圖:

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交0C于點(diǎn)Ai，得第1條線段AAi；

再以Ai為圓心，1為半徑向右畫弧交0B于點(diǎn)A2,得第2條線段A1A2；

再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交0C于點(diǎn)A3,得第3條線段A2A3；…

這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得NAiAB的度數(shù)，

NA2Ale的度數(shù)，NA3A2B的度數(shù)，NA4A3c的度數(shù)，…，依此得到規(guī)律，再根據(jù)

三角形外角小于90。即可求解.

【解答】解：由題意可知：AO=AiA,A】A=A2AI，…，

則NA0Ai=N0AiA,ZAIAA2=ZAIA2A,...?

VZBOC=9°,

/.ZAiAB=18",NA2Ale=27°,NA3A2B=36°的度數(shù)，NA4A3c=45°,

.,.9°n<90°,

解得n<10.

由于n為整數(shù)，故n=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；三角形外角的

性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

18.（2015?南昌）如圖，在^ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，ZAOC=60°,則當(dāng)4PAB為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為2立或2區(qū)或2.

【分析】利用分類討論，當(dāng)NABP=90。時(shí)，如圖2,由對(duì)頂角的性質(zhì)可得NAOC=

ZBOP=60°,易得NBPO=30。，易得BP的長(zhǎng)，利用勾股定理可得AP的長(zhǎng)；當(dāng)N

APB=90。時(shí)，分兩種情況討論，情況一：如圖1,利用直角三角形斜邊的中線等

于斜邊的一半得出PO=BO,易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得

AP的長(zhǎng)；易得BP,利用勾股定理可得AP的長(zhǎng)；情況二：如圖3,利用直角三角

形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論.

【解答】解:當(dāng)NAPB=90。時(shí)（如圖1）,

VAO=BO,

/.PO=BO,

VZAOC=60°,

.,.ZBOP=60°,

.?.△BOP為等邊三角形，

VAB=BC=4,

.*.AP=AB?sin60°=4X醇2行；

當(dāng)NABP=90。時(shí)（如圖2）,

VZAOC=ZBOP=60°,

AZBPO=30°,

?*-BP=_0^_=方2代,

tan30°V3

3

在直角三角形ABP中，

AP1（距）2+產(chǎn)而,

情況二：如圖3,..10=80,NAPB=90°,

.?.P0=A0,

*/ZA0C=60o,

...△A0P為等邊三角形,

,-.AP=A0=2,

故答案為：2dm或2行或2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，含30。直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊

的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.

19.(2012?拱墅區(qū)二模)已知^ABC中，ZA=a.在圖(1)中/B、/C的角平

分線交于點(diǎn)01，則可計(jì)算得NBOiC=9(T+La；在圖(2)中，設(shè)/B、NC的兩

2

條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于01、02,則NB0Q60。+行；請(qǐng)你猜想，當(dāng)NB、

3_―

ZC同時(shí)n等分時(shí)，(n-1)條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于01、5,…，0nl,如圖

(3),則NB0rl姆-1)a逑。-(用含n和a的代數(shù)式表示).

nn

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。用a表示出(NABC+NACB),再根據(jù)三

等分的定義求出(NO2BC+NO2CB),在AOzBC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式

整理即可得解；

根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。用a表示出(NABC+NACB),再根據(jù)n等分的定

義求出(NOn-iBC+NOniCB),在△OtviBC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理

即可得解.

【解答】解：在ZXABC中，?.?NA=a,

.,.ZABC+ZACB=180°-a,

?.?O2B和02c分別是NB、NC的三等分線，

.,.ZO2BC+ZO2CB=-2(ZABC+ZACB)=2(180°-a)=120°-In；

333

，NB。2c=180。-(ZO2BC+ZO2CB)=180°-(120°-In)=60°+2a；

33

在△ABC中，VZA=a,

.,.ZABC+ZACB=180°-a,

VOn.iB和OnrC分別是NB、NC的n等分線，

/.Z0n-1BC+ZOn-ICB=2T±(ZABC+ZACB)=2T±(180°-a)=180°(n-1)-

nnn

(nT)。

n

/.ZBOn-iC=180°-(ZOn-iBC+ZOn-iCB)=180°-(180°(n-1)-(nT)a)

nn

=(n-l)a+180°

nn

故答案為：60°+2a；(n-1)a+180’.

3nn

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，n

等分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

20.(2015?珠海)如圖，在△A1B11中，已知AiBi=7,BiJ=4,AQ=5,依次連

接△A1B1C1三邊中點(diǎn)，得4A2B2c2,再依次連接4A2B2c2的三邊中點(diǎn)得4A3B3c3,…,

則aAsB5c5的周長(zhǎng)為1.

【分析】由三角形的中位線定理得：A2B2>B2c2、C2A2分別等于A$1、BICI、C1A1

的一半，所以4A2B2c2的周長(zhǎng)等于△A1B1C1的周長(zhǎng)的一半，以此類推可求出4

A5B5C5的周長(zhǎng)為△A1B1C1的周長(zhǎng)的」尸

24

【解答】解：?.?A2B2、B2c2、C2A2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，

以此類推：AASB5c5的周長(zhǎng)為△A1B1C1的周長(zhǎng)的」「，

24

.?.則^AsB5c5的周長(zhǎng)為(7+4+5)4-16=1.

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理

得：A2B2>B2c2、C2A2分別等于A1B1、B1C1、QA］的一半,所以aAzB2c2的周長(zhǎng)等

于△AiBiJ的周長(zhǎng)的一半.

三.解答題(共10小題)

21.(2015?于洪區(qū)一模)如圖1,在aABC中，ZACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC

上一點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2,線段CF、BD所在直線的位

置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明

理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)NACB滿足什么條件

時(shí)，CF±BC（點(diǎn)C、F不重合），并說(shuō)明理由.

【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF的性

質(zhì)可推出4DAB絲△FAC,所以CF=BD,ZACF=ZABD.結(jié)合NBAC=90°,AB=AC,

得至【J/BCF=NACB+/ACF=90°.即CF1BD.

（2）當(dāng)NACB=45。時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AGLAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則NGAC=90。，

可推出NACB=NAGC,所以AC=AG,由（1）①可知CFLBD.

【解答】證明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90",

/.ZBAD=ZCAF,

又?；AB=AC,

.'.△DAB^AFAC,

，CF=BD,ZB=ZACF,

.,.ZACB+ZACF=90°,即CF_LBD.

②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.

由正方形ADEF得AD=AF,