2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊綜合測評B課后鞏固提升含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE2模塊綜合測評(B)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.不等式≥0的解集是()A.{x|0<x<2} B.{x|0<x≤2}C.{x|x<0或x≥2} D.{x|x<0或x>2}解析原不等式可化為解得0<x≤2,故不等式的解集為{x|0<x≤2}.答案B2.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,則k的值為()A.8 B.7 C.6 D.5解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1=1,a3=5,∴d==2,∴an=1+2(n-1)=2n-1.∵Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,∴k=8,故選A.答案A3.在△ABC中,a=b,A=120°,則角B的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°解析由正弦定理,得sinB=.因?yàn)锳>B,所以B=30°,故選A.答案A4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n(n∈N*),若p-q=5,則ap-aq等于()A.10 B.15 C.-5 D.20解析因?yàn)镾n=2n2-3n(n∈N*),所以an=Sn-Sn-1=4n-5(n≥2).又a1=S1=-1,適合上式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-5(n∈N*).于是ap-aq=4(p-q)=20.故選D.答案D5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,sinC=2sinB,則tanA等于()A. B.1 C. D.-解析由sinC=2sinB,得=2,利用正弦定理化簡得=2,即c=2b.由,整理得a2-b2=bc,所以cosA=.由A∈(0,π),知A=,則tanA=tan.故選C.答案C6.在等差數(shù)列{an}中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的兩個(gè)根,則{an}的前14項(xiàng)和為()A.55 B.60 C.65 D.70解析∵在等差數(shù)列{an}中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的兩個(gè)根,∴a5+a10=10,∴{an}的前14項(xiàng)和S14=(a1+a14)=7(a5+a10)=7×10=70.故選D.答案D7.已知M(-4,0),N(0,-3),P(x,y)中的x,y滿意則△PMN面積的取值范圍是()A.[12,24] B.[12,25]C.[6,12] D.解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.因?yàn)檫^點(diǎn)M(-4,0),N(0,-3)的直線的方程為3x+4y+12=0,而它與直線3x+4y=12平行,且兩條直線間的距離d=,所以當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O處時(shí),△PMN的面積最小,其面積為△OMN的面積,此時(shí)S△OMN=×3×4=6;當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),△PMN的面積最大,且為=12,故選C.答案C8.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=b,且B=2A,則cos2A等于()A. B.- C. D.-解析因?yàn)閍=b,所以sinA=sinB,即sinA=sin2A=sinAcosA,于是cosA=,故cos2A=2cos2A-1=.答案A9.已知不等式組則z=的最大值與最小值的比值為()A.-2 B.- C.- D.-解析如圖,不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分,易知z=表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(-1,0)的連線的斜率.由可得即A(2,2).由可得即B(3,-1).由圖知直線AP的斜率最大,此時(shí)z=最大,故zmax=;直線BP的斜率最小,zmin=-.故z=的最大值與最小值的比值為-,故選C.答案C10.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+n+1,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn<m對一切正整數(shù)n恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(3,+∞) B.[3,+∞)C.(2,+∞) D.[2,+∞)解析由題可得a1=1,an+1-an=n+1,則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1+1)+(n-2+1)+…+(1+1)+1=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=,當(dāng)n=1時(shí),也滿意上式,∴an=(n∈N*),∴=2,∴Sn=21-+…+=21-.∵Sn<m對一切正整數(shù)n恒成立,∴m≥2,故選D.答案D11.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=bcosC+csinB,且△ABC的面積為1+,則b的最小值為()A.2 B.3 C. D.解析由a=bcosC+csinB及正弦定理,得sinA=sinBcosC+sinCsinB,即sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,得sinCcosB=sinCsinB.因?yàn)閟inC≠0,所以tanB=1.因?yàn)锽∈(0,π),所以B=.由S△ABC=acsinB=1+,得ac=2+4.又b2=a2+c2-2accosB≥2ac-ac=(2-)(4+2)=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號成立,所以b≥2,b的最小值為2,故選A.答案A12.已知正實(shí)數(shù)x,y滿意x>,y>1,不等式≥m恒成立,則m的最大值為()A.2 B.4C.8 D.16解析依題意得,2x-1>0,y-1>0,≥4×2=8,即≥8,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號,因此的最小值是8,即m≤8.故m的最大值是8,故選C.答案C二、填空題(每小題5分,共20分)13.已知在△ABC中,AB=,BC=1,sinB+cosB=0,則△ABC的面積為.

解析由sinB+cosB=0可得tanB=-,所以B=120°,于是△ABC的面積為S=·AB·BC·sinB=×1×sin120°=.答案14.若關(guān)于x的不等式x2-ax+1≤0和ax2+x-1>0對隨意的x∈R均不成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析依題意知x2-ax+1>0和ax2+x-1≤0對隨意x∈R恒成立,故a≠0,且解得即-2<a≤-.答案15.已知在△ABC中,角A,B,C的大小依次成等差數(shù)列,最長邊和最短邊的長是方程x2-9x+20=0的兩實(shí)根,則AC=.

解析因?yàn)榻茿,B,C成等差數(shù)列,所以2B=A+C,又因?yàn)锳+B+C=π,所以B=.設(shè)方程x2-9x+20=0的兩根分別為a,c,則由余弦定理可知:AC2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=92-2×20-2×20×=21,所以AC=.答案16.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=t·3n-1-,則函數(shù)y=(x>0)的最小值為.

解析由題意知,公比q≠1.因?yàn)镾n=qn,而題中Sn=t·3n-1-·3n-,易知-=-,故t=1,所以y==x+1++10.因?yàn)閤>0,所以x+1>1,所以y≥2+10=16,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=2時(shí),等號成立.所以函數(shù)y=(x>0)的最小值為16.答案16三、解答題(共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知關(guān)于x的一元二次不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值;(2)若不等式的解集是R,求k的取值范圍.解(1)∵不等式的解集為{x|x<-3或x>-2},∴-3,-2是一元二次方程kx2-2x+6k=0的兩根,且k<0.∴∴k=-.(2)∵不等式的解集為R,∴即∴k<-.故k的取值范圍是.18.(本小題滿分12分)(2024·山東高考)在①ac=,②csinA=3,③c=b這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=sinB,C=,?

解方案一:選條件①.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.由①ac=,解得a=,b=c=1.因此,選條件①時(shí),問題中的三角形存在,此時(shí)c=1.方案二:選條件②.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.所以B=C=.由A+B+C=π,得A=π-.由②csinA=3,即csin=3,所以c=b=2,a=6.因此,選條件②時(shí),問題中的三角形存在,此時(shí)c=2.方案三:選條件③.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.由③c=b,與b=c沖突.因此,選條件③時(shí),問題中的三角形不存在.19.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=-n2+2kn(k∈N*),且Sn的最大值為4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;(2)令bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.解(1)由題意知當(dāng)n=-=k時(shí),Sn取得最大值4,所以-k2+2k·k=k2=4,解得k=2或k=-2(舍去),所以Sn=-n2+4n.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=5-2n.閱歷證n=1時(shí)也符合該式.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5-2n(n∈N*).(2)由(1)知bn=.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=+…+,Tn=+…+,兩式相減得Tn=+…+=2,所以Tn=4-=4-.20.(本小題滿分12分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)P在BC邊上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.(1)求∠ACP的度數(shù);(2)若△APB的面積是,求sin∠BAP的值.解(1)在△APC中,因?yàn)椤螾AC=60°,PC=2,AP+AC=4,PC2=AP2+AC2-2·AP·AC·cos∠PAC,所以22=AP2+(4-AP)2-2·AP·(4-AP)·cos60°,整理得AP2-4AP+4=0,解得AP=2.所以AC=2.所以△APC是等邊三角形,所以∠ACP=60°.(2)因?yàn)椤螦PB是△APC的外角,所以∠APB=120°.因?yàn)椤鰽PB的面積是,所以·AP·PB·sin∠APB=,解得PB=3.在△APB中,AB2=AP2+PB2-2·AP·PB·cos∠APB=22+32-2×2×3×cos120°=19,所以AB=.在△APB中,由正弦定理得,所以sin∠BAP=.21.(本小題滿分12分)某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,每件銷售收入分別為3千元、2千元.甲、乙兩種產(chǎn)品都須要在A,B兩臺機(jī)床上加工,A,B兩臺機(jī)床每加工一件甲種產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1工時(shí)、2工時(shí);加工一件乙種產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2工時(shí)和1工時(shí).若A,B兩種機(jī)床每月有效運(yùn)用時(shí)數(shù)分別為400工時(shí)、500工時(shí),如何支配生產(chǎn),才能使銷售收入最大?最大銷售收入是多少?解設(shè)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x件,乙種產(chǎn)品y件,銷售收入為z,則z=3x+2y,作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示.作直線l0:3x+2y=0,平移直線l0至經(jīng)過點(diǎn)P時(shí),可使銷售收入z取最大值.解所以zmax=3×200+2×100=800.故生產(chǎn)甲種產(chǎn)品200件,乙種產(chǎn)品100件,才能使銷售收入最大,且最大銷售收入是800千元.22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-2,且滿意Sn=an+1+n+1(n∈N*).(1)求數(shù)列{