云南省云南師大附中2025屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性月考卷一理含解析

PAGE24-云南省云南師大附中2025屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性月考卷（一）理（含解析）留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清晰.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合中元素的特征，干脆得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧蠟閿?shù)集，為點(diǎn)集，所以?xún)杉蠜](méi)有共同元素，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求集合的交集，屬于基礎(chǔ)題型.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(為復(fù)數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限. D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)出，即可得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)象限.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.若隨機(jī)變量，則（）A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.8【答案】A【解析】【分析】由隨機(jī)變量，得到正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.【詳解】由題意，隨機(jī)變量，可得正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸，所以.故選:A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布的概率的計(jì)算，其中解答中熟記正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將所求式子化為，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式即可，涉及二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題型.5.電影《達(dá).芬奇密碼》中，有這樣一個(gè)情節(jié):故事女主子公的祖父雅克.索尼埃為了告知孫女一個(gè)驚天的隱私又不被他人所知，就留下了一串奇異的數(shù)字13-3-2-21-1-1-8-5，將這串?dāng)?shù)字從小到大排列，就成為1-1-2-3-5-8-13-21，其特點(diǎn)是從第3個(gè)數(shù)字起，任何一個(gè)數(shù)字都是前面兩個(gè)數(shù)字的和，它來(lái)自斐波那契數(shù)列，斐波那契數(shù)列與黃金分割有緊密的聯(lián)系，蘋(píng)果公司的logo(如圖乙和丙)就是利用半徑成斐波那契數(shù)列(1，1，2，3，5，8，13)的圓切割而成，在圖甲的矩形ABCD中，任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖甲，分別求出陰影部分的面積，以及整個(gè)長(zhǎng)方形的面積，面積比即為所求概率.【詳解】由題意，陰影部分包括半徑為和半徑為的兩個(gè)圓，面積分別為和，而整個(gè)長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為，所以該點(diǎn)落在陰影部分的概率是.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查與面積有關(guān)的幾何概型，屬于基礎(chǔ)題型.6.雙曲線的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由題意，得到，漸近線方程為，依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，求出，得出，即可求出離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，即，雙曲線的漸近線方程為；又點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，所以，即，所以，則，因此.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.7.如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將用，表示出來(lái)，然后平方，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求出.【詳解】由題意，.所以，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.8.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)的和為7，若存在使得，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出數(shù)列的公比，再由可得，再利用基本不等式可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，前三項(xiàng)和為7，則，即，解得或(舍去)，又由，得，即，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，但是m，，故，時(shí)，最小值為.故選:D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，某幾何體的三視圖均為邊長(zhǎng)為2的正方形，則該幾何體的體積是（）

A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先由三視圖還原幾何體，得到該幾何體的體積為正方體的體積減去2個(gè)三棱錐的體積，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體如圖所示，所以該幾何體的體積為正方體的體積減去2個(gè)三棱錐的體積，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求幾何體的體積，熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知函數(shù)，則（）A.2024 B.2020 C.4038 D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，得到，令，得到其為奇函數(shù)，推出關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】，令，則，所以為奇函數(shù)，所以關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，則有，所以.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查通過(guò)構(gòu)造奇函數(shù)求函數(shù)值，熟記奇函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.11.設(shè)動(dòng)直線x=t與曲線以及曲線分別交于P，Q兩點(diǎn)，表示的最小值，則下列描述正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)條件將表示為函數(shù)的形式，然后利用導(dǎo)數(shù)探討對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性并分析的取值范圍.【詳解】依據(jù)條件可知，所以，不妨令，則，又因?yàn)?，所以存在，使得，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得最小值，且，依據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，所以，所以有，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸實(shí)力要求較高，其中對(duì)于極值點(diǎn)范圍的分析是一個(gè)重點(diǎn)，難度較難.12.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦與拋物線交于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線、相交于點(diǎn).又常被稱(chēng)作阿基米德三角形.下面關(guān)于的描述：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③設(shè)、，則的面積的最小值為；④；⑤平行于軸.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可推斷①的正誤；利用直線、斜率的關(guān)系可推斷②的正誤；計(jì)算出的面積的表達(dá)式，可推斷③的正誤；利用直線、的斜率關(guān)系可推斷④的正誤；求出直線的斜率，可推斷⑤的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】先證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.證明如下：由于點(diǎn)在拋物線上，則，聯(lián)立，可得，即，，所以，拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.如下圖所示：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，，對(duì)于命題①，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理可知，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，①正確；對(duì)于命題②，直線斜率為，直線的斜率為，，所以，，②正確；對(duì)于命題④，當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)不與軸垂直時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，，則.綜上，，④正確；對(duì)于命題③，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于命題⑤，當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，此時(shí)直線與軸重合，⑤錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查了拋物線的焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及韋達(dá)定理法的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)意，則的最小值為_(kāi)________【答案】【解析】【分析】畫(huà)出不等式所表示的平面區(qū)域，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)果.【詳解】畫(huà)出所表示的平面區(qū)域如下，由得，則表示直線在軸上的截距；由圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最?。挥傻?，因此.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求線性規(guī)劃的最值，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.14.在的綻開(kāi)式中，則的系數(shù)為_(kāi)____________【答案】10206【解析】【分析】先求出的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為，即可求出系數(shù).【詳解】的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，解得，所以的系數(shù)為10206．故答案為：10206.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式綻開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.已知P是直線l:上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C:的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】【分析】由圓的方程為求得圓心、半徑r為，由“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)，最小”，最終將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形面積求解．【詳解】由題意得：圓的方程為：∴圓心為，半徑為2，又∵四邊形PACB的面積，所以當(dāng)PC最小時(shí)，四邊形PACB面積最小．將代入點(diǎn)到直線的距離公式，，故四邊形PACB面積的最小值為2．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，同時(shí)，還考查了轉(zhuǎn)化思想．此題屬中檔題．16.已知有兩個(gè)半徑為的球記為、，兩個(gè)半徑為的球記為、這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球與這四個(gè)球、、、都相內(nèi)切，則球的半徑為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，推導(dǎo)出球心在上，設(shè)球的半徑為，依據(jù)勾股定理列方程解出即可.【詳解】由題意可得，，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，則，，又，平面，同理可證平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，球心在線段上，設(shè)球的半徑為，則，，，，，，，，，即，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球半徑的求解，確定球心的位置是解題的關(guān)鍵，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知（1）求角C；（2）若，且，求△ABC的面積.【答案】（1）；（2）或.【解析】分析】（1）由正弦定理將角化為邊，再依據(jù)余弦定理可求出，繼而得出角C；（2）依據(jù)條件可得，分和兩種狀況探討可求出面積.【詳解】（1）已知，由正弦定理，，整理得，由余弦定理：，又，所以．（2）已知，整理得，，即．①當(dāng)時(shí)，為直角三角形，,；②當(dāng)時(shí)，，所以，為等邊三角形，,的面積為或．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理的應(yīng)用以及三角恒等變換解三角形，考查三角形面積的求解，屬于中檔題.18.某市數(shù)學(xué)教研員為了解本市高二學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況，從全市高二學(xué)生中隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，對(duì)他們的某次市統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖

（1）求x的值和數(shù)學(xué)成果在90分以上的人數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，從該市全部的中學(xué)生(人數(shù)許多)中隨機(jī)選取4人，用ξ表示所選4人中成果在110以上的人數(shù)，試寫(xiě)出ξ的分布列，并求出ξ的數(shù)學(xué)期望【答案】（1）0.02；12；（2）分布列見(jiàn)解析，0.8.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率之和為1，由頻率分布直方圖列出方程，即可求出，進(jìn)而可求出數(shù)學(xué)成果在90分以上的人數(shù)；（2）先得出從該市全部的中學(xué)生中任取一人，成果在110以上的概率，由題意，可得，進(jìn)而可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，x的值為，數(shù)學(xué)成果在90分以上的人數(shù)：．（2）把頻率作為概率，從該市全部的中學(xué)生中任取一人，成果在110以上的概率，所以從該市全部的中學(xué)生（人數(shù)許多）中隨機(jī)選取4人，所選4人中成果在110以上的人數(shù)，隨機(jī)變量的取值可能為0，1，2，3，4，，，，，，隨機(jī)變量的分布列01234P0.40960.40960.15360.02560.0016隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)睛】本題主要考查由頻率分布直方圖求參數(shù)，考查求二項(xiàng)分布的分布列和期望，屬于?？碱}型.19.如圖，在三棱柱中，，平面，，證明:平面平面；求二面角的正弦值.【答案】證明見(jiàn)解析；.【解析】【分析】利用面面垂直的判定定理證明即可；建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的正弦值的求法及向量積的學(xué)問(wèn)點(diǎn)得出結(jié)果.【詳解】解：證明：如圖，平面，平面，．又，，平面．又平面，平面平面．過(guò)點(diǎn)作平面的垂線作為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則有，即，令，，設(shè)平面的法向量，則有，即，令，，向量，所成角的余弦值：．，二面角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定，考查二面角正弦值的求法，考查分析問(wèn)題實(shí)力，空間想象實(shí)力，屬于中檔題.20.已知點(diǎn)P是橢圓C:上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn).若直線PA與直線PB的斜率之和為1，問(wèn):直線l是否過(guò)定點(diǎn)?證明你的結(jié)論【答案】（1）；（2）直線l過(guò)定點(diǎn)．證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由橢圓定義可知，再代入P即可求出，寫(xiě)出橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，求出和之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).【詳解】（1）由，得，又在橢圓上，代入橢圓方程有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，，解得，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程，，，由，整理得，，，．由，整理得，即．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線l過(guò)P點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有解，此時(shí)直線l：過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.21.已知函數(shù)且.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明:.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別探討和兩種狀況，進(jìn)而可得出函數(shù)單調(diào)性；（2）先由（1）得到，，對(duì)其求導(dǎo)，判定時(shí)，單調(diào)遞增；將轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，且，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明；依據(jù)題意，得到，證明，令，，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定其單調(diào)性，即可得出，進(jìn)而可得結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，解?舍去)，．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，在上，函數(shù)單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，，，令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增；又，故要證，即證；設(shè)，，且，由題設(shè)條件知，，因此只需證；由題意，，兩式作差可得，，即，即，下面先證明，即證，令，，則明顯成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以，因此，即，，即因此，所以原命題得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查判定函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式，屬于?？碱}型.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答