山東省濟(jì)南市2025屆高三數(shù)學(xué)二模試題含解析

PAGE22-山東省濟(jì)南市2025屆高三數(shù)學(xué)二模試題（含解析）參考公式：錐體的體積公式：（其中為錐體的底面積為錐體的高）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知為第四象限角，則，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】干脆利用同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算得到答案.【詳解】為第四象限角，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于簡潔題.2.已知，集合，，，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】依據(jù)交集結(jié)果得到，，得到答案.【詳解】，故，，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)交集結(jié)果求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且橫坐標(biāo)為4，則（）A.2 B.3 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】干脆依據(jù)拋物線焦半徑公式計(jì)算得到答案.【詳解】將代入拋物線得到，依據(jù)拋物線定義得到.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦半徑，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.4.十項(xiàng)全能是由跑、跳、投等10個(gè)田徑項(xiàng)目組成的綜合性男子競賽項(xiàng)目，依據(jù)國際田徑聯(lián)合會(huì)制定的田徑運(yùn)動(dòng)全能評(píng)分表計(jì)分，然后將各個(gè)單項(xiàng)的得分相加，總分多者為優(yōu)勝．下面是某次全能競賽中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的各個(gè)單項(xiàng)得分的雷達(dá)圖．下列說法錯(cuò)誤的是（）A.在100米B.在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙的得分基本相同C.甲的各項(xiàng)得分比乙更均衡D.甲的總分高于乙的總分【答案】C【解析】【分析】依據(jù)雷達(dá)圖依次推斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.在100米B.在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙的得分基本相同，B正確；C.乙的各項(xiàng)得分比甲更均衡，C錯(cuò)誤；D.甲的總分約為，乙的總分約為，D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雷達(dá)圖，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力，理解實(shí)力.5.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，依據(jù)圖像得到函數(shù)單調(diào)遞增，故，解得答案.【詳解】，如圖所示：畫出函數(shù)圖像，依據(jù)圖像知函數(shù)單調(diào)遞增，，即，解得或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，畫出函數(shù)圖像確定單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.6.任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中，為虛數(shù)單位）都可以表示成（其中，）的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)覺：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“為偶數(shù)”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得到且，故，，得到答案【詳解】為純虛數(shù)，故且，故，，故為偶數(shù)是，的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和推斷實(shí)力.7.已知點(diǎn)，，均在半徑為的圓上，若，則的最大值為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，故，計(jì)算得到答案.【詳解】依據(jù)圓半徑為，得到，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)有最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的最值，建立直角坐標(biāo)系可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.8.在三棱錐中，，，若該三棱錐的體積為，則其外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)均值不等式得到，故，當(dāng)離平面最遠(yuǎn)時(shí)，外接球表面積最小，此時(shí)在平面的投影為中點(diǎn)，故，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，，故底面三角形外接圓半徑為，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故，當(dāng)離平面最遠(yuǎn)時(shí)，外接球表面積最小，此時(shí)，在平面的投影為中點(diǎn)，設(shè)球心為，則在上，故，化簡得到，雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知在某市的一次學(xué)情檢測中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線．下列說法正確的是（）．附：隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，，A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成果的期望為100B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成果的標(biāo)準(zhǔn)差為100C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成果及格率超過0.8D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成果不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布定義得到A正確B錯(cuò)誤，及格率為，C正確，不及格概率為，優(yōu)秀概率，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成果的期望為100，數(shù)學(xué)成果的標(biāo)準(zhǔn)差為10，故A正確B錯(cuò)誤；及格率為，C正確；不及格概率為，優(yōu)秀概率，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線長為2，底面半徑為，，為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.圓錐的高為1B.三角形為等腰三角形C.三角形面積的最大值為D.直線與圓錐底面所成角的大小為【答案】ABD【解析】【分析】計(jì)算得到，A正確，，B正確，直線與圓錐底面所成角的為，D正確，，面積有最大值為，C錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】如圖所示：，A正確；，B正確；易知直線與圓錐底面所成角的為，D正確；取中點(diǎn)為，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，面積有最大值為，C錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐中相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.11.已知實(shí)數(shù)，，滿意，則下列關(guān)系式中可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)，，則，，，畫出函數(shù)圖像，依據(jù)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則，，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的大小關(guān)系，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.12.已知函數(shù)（其中，，），，恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，則下列說法正確的是（）A.存在，使得是偶函數(shù) B.C.是奇數(shù) D.的最大值為3【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)得到，依據(jù)單調(diào)區(qū)間得到，得到或，故CD正確，代入驗(yàn)證知不行能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤，計(jì)算得到B正確，得到答案.【詳解】，，則，，故，，，，則，故，，，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)，故，故，即，，故，故，綜上所述：或，故CD正確；或，故或，，不行能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故；當(dāng)時(shí)，，，故，綜上所述：，B正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)的計(jì)算，難度較大，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.5G指的是第五代移動(dòng)通信技術(shù)，比第四代移動(dòng)通信技術(shù)的數(shù)據(jù)傳輸速率快數(shù)百倍，某公司在研發(fā)5G項(xiàng)目時(shí)遇到一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個(gè)部門分別獨(dú)立攻關(guān)，已知甲部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.6，乙部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.5．則該公司攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為【答案】【解析】【分析】計(jì)算不能攻克的概率，得到答案.【詳解】依據(jù)題意：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.14.能夠說明“若，則”是假命題的一組整數(shù)，的值依次為________．【答案】，，答案不唯一，，分別取大于0，小于0的整數(shù)即可【解析】【分析】，分別取大于0，小于0的整數(shù)即可得到答案.【詳解】取，，滿意，但，得到命題為假命題.故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查了舉例推斷假命題，意在考查學(xué)生的推斷實(shí)力.15.已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】取得到，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，依據(jù)圖像得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，不成立，故，設(shè)，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，依據(jù)圖像知：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，參數(shù)分別畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.16.已知，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)向一條漸近線作垂線，交雙曲線右支于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)（，在軸同側(cè)），連接，若的內(nèi)切圓圓心恰好落在以為直徑的圓上，則的大小為________；雙曲線的離心率為________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】如圖所示：不妨取漸近線，易知，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，依據(jù)對(duì)稱性知在軸上，得到，依據(jù)距離相等得到直線：，聯(lián)立方程得到，代入雙曲線方程，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：不妨取漸近線，易知，（否則不能與右支相交）.則直線為：，即，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，依據(jù)對(duì)稱性知在軸上，的內(nèi)切圓圓心恰好落在以為直徑的圓上，故，故，到直線的距離為：，設(shè)直線：，即到直線的距離為：，化簡整理得到，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不滿意題意，舍去.故直線：，故，，聯(lián)立方程得到，解得，代入雙曲線方程得到：，化簡整理得到：，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線中直線的位置關(guān)系，離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．17.2020年4月21日（1）已知樣本中每周體育熬煉時(shí)長不足4小時(shí)的體育熬煉的中學(xué)生有100人，求直方圖中，的值；（2）為了更詳細(xì)地了解全市中學(xué)生疫情期間的體育熬煉狀況，利用分層抽樣的方法從和兩組中共抽取了6名中學(xué)生參與線上座談會(huì)，現(xiàn)從上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名在會(huì)上進(jìn)行體育熬煉視頻展示，求這2名學(xué)生來自不同組的概率．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率直方圖得到，，解得答案.（2）6名學(xué)生中有4名來自于組，有2名來自于組，故，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題知，，所以，．（2）因?yàn)?，所?名學(xué)生中有4名來自于組，有2名來自于組，記事務(wù)為：“這2名學(xué)生來自不同組”，則.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)全頻率分布直方圖，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.18.已知中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，．（1）證明：；（2）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答若，，________，求的周長．【答案】（1）詳見解析；（2）選①，選②，選③，的周長皆為20【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理，計(jì)算得到證明.（2）分別選擇①②③，利用（1）中結(jié)論得到，再依據(jù)余弦定理得到，得到周長.【詳解】（1）依據(jù)余弦定理：，所以.（2）選①：因?yàn)?，所以，所以由?）中所證結(jié)論可知，，即，因?yàn)?，所以；選②：因?yàn)椋?，由?）中證明過程同理可得，，所以，即，因?yàn)?，所以；選③：因，所以，由（1）中的證明過程同理可得，，所以，即，因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理知，，即，解得或（舍），所以，即的周長為20．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.19.如圖，三棱維中，平面平面，，，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上點(diǎn)是的重心．（1）若是的中點(diǎn)，證明面；（2）是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時(shí).【解析】【分析】（1）延長交于點(diǎn)，連接，證明平面平面，得到證明.（2）證明平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，平面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，故為的中點(diǎn)，因?yàn)椋謩e是棱，的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，所以平面平面，又平面，所以平面．?）連接，因?yàn)?，所以，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，如圖，以為原點(diǎn)，垂直于的直線為軸，，所在直線分別為軸，軸建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以，，，，，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，又平面，平面的法向量，而二面角的大小為，所以，即，解得，所以存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，依據(jù)二面角角求線段長度關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.20.如圖1，楊輝三角是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》中列出的一張圖表，如圖2，把楊輝三角左對(duì)齊排列，將同一條斜線上的數(shù)字求和，會(huì)得到一個(gè)數(shù)列，其中，，…設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求的值，并寫，，出滿意的遞推關(guān)系式（不用證明）；（2）記，用表示．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)表格干脆計(jì)算得到答案.（2）利用累加法得到，化簡得到答案.【詳解】（1）；．（2）因?yàn)椋?，…，，相加得，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的遞推公式，累加法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.21.已知橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，，，過橢圓焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦的長為2．（1）求橢圓的方程；（2）已知為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，證明：為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得到，解得答