全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)選修4-5不等式選講1備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1選修4-5不等式選講練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.〖改編題〗若a,b,c∈R,且滿足|a-c|<b,給出下列結(jié)論:①a+b>c;②b+c>a;③a-c>b;④|a|+|b|>|c|.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.〖2019浙江,16,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,則實(shí)數(shù)a的最大值是3.〖2017浙江,17,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=|x+4x-a|+a在區(qū)間〖1,4〗上的最大值是5,則a的取值范圍是4.〖2020全國(guó)卷Ⅱ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范圍.拓展變式1.〖2020全國(guó)卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)在圖1中畫(huà)出y=f(x)的圖象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.圖12.〖2018全國(guó)卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.3.〖2019全國(guó)卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.證明:(1)1a+1b+1c≤a2(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.4.〖2021湖南模擬〗已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≤7的解集;(2)已知a>-1,且f(x)的最小值等于3,求實(shí)數(shù)a的值.答案選修4-5不等式選講1.A由題意得,a-c又|a-c|=|c-a|≥|c|-|a|,∴|c|-|a|<b=|b|,∴|a|+|b|>|c|.④正確.故選A.2.43f(t+2)-f(t)=〖a(t+2)3-(t+2)〗-(at3-t)=2a(3t2+6t+4)-2,因?yàn)榇嬖趖∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,所以-23≤2a(3t2+6t+4)-2≤23有解.因?yàn)?t2+6t+4≥1,所以23(3t2+6t+4)≤a≤43(3t23.(-∞,92〗∵x∈〖1,4〗,∴x+4x∈〖4,5〗.分類(lèi)討論:①當(dāng)a≥5時(shí),f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函數(shù)f(x)在區(qū)間〖1,4〗上的最大值為2a-4=5,∴a=92,舍去;②當(dāng)a≤4時(shí),f(x)=x+4x-a+a=x+4x≤5,此時(shí)符合題意;③當(dāng)4<a<5時(shí),〖f(x)〗max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},則|4-a|+a≥|5-a|+a4.(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=7-2因此,不等式f(x)≥4的解集為{x|x≤32或x≥112(2)因?yàn)閒(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故當(dāng)(a-1)2≥4,即a≥3或a≤-1時(shí),f(x)≥4.當(dāng)-1<a<3時(shí),f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值范圍是(-∞,-1〗∪〖3,+∞).1.(1)由題設(shè)知f(x)=-y=f(x)的圖象如圖D1所示.圖D1(2)函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=f(x+1)的圖象,如圖D2所示.圖D2由-x-3=5(x+1)-1,解得x=-76,故函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x+1)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-76,-116).由圖D2可知當(dāng)且僅當(dāng)x<-76時(shí),函數(shù)y=f(x故不等式f(x)>f(x+1)的解集為(-∞,-762.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,故不等式f(x)>1的解集為(12,+∞)(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|x+1|-|ax-1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax-1|<1成立.若a≤0,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集為(0,2a),所以2a≥1,故0<a綜上,a的取值范圍為(0,2〗.

〖易錯(cuò)警示〗本題的易錯(cuò)點(diǎn)有三個(gè):一是零點(diǎn)分區(qū)間時(shí),不注意端點(diǎn)值能否取到,導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò);二是不會(huì)轉(zhuǎn)化,如本題,不懂得利用x∈(0,1),把含雙絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含單絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題;三是混淆不等式恒成立問(wèn)題與不等式有解問(wèn)題,導(dǎo)致所求的結(jié)果出錯(cuò).3.(1)因?yàn)閍2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,且abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2,當(dāng)且僅當(dāng)(2)因?yàn)閍,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)兩等號(hào)同時(shí)成立,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.〖方法技巧〗本題考查利用基本不等式證明不等式,對(duì)于本題第(1)問(wèn),證明的關(guān)鍵是利用“1”的代換.在利用基本不等式時(shí)需注意取等號(hào)的條件能否成立.4.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+2|x-1|.當(dāng)x<-1時(shí),f(x)≤7即-3x+1≤7,解得x≥-2,故-2≤x<-1.當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)≤7即-x+3≤7,解得x≥-4,故-1≤x≤1.當(dāng)x>1時(shí),f(x)≤7即3x-1≤7,解得x≤83,故1<x≤8綜上,f(x)≤7的解集為〖-2,83〗(2)因?yàn)閍>-1,所以f(x)=-3作出y=f(x)的大致圖象,如圖D3所示.由y=f(x)的圖象知,f(x)min=f(a)=a+1=3,解得a=2,所以實(shí)數(shù)a的值為2.圖D3選修4-5不等式選講練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.〖改編題〗若a,b,c∈R,且滿足|a-c|<b,給出下列結(jié)論:①a+b>c;②b+c>a;③a-c>b;④|a|+|b|>|c|.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.〖2019浙江,16,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,則實(shí)數(shù)a的最大值是3.〖2017浙江,17,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=|x+4x-a|+a在區(qū)間〖1,4〗上的最大值是5,則a的取值范圍是4.〖2020全國(guó)卷Ⅱ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范圍.拓展變式1.〖2020全國(guó)卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)在圖1中畫(huà)出y=f(x)的圖象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.圖12.〖2018全國(guó)卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.3.〖2019全國(guó)卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.證明:(1)1a+1b+1c≤a2(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.4.〖2021湖南模擬〗已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≤7的解集;(2)已知a>-1,且f(x)的最小值等于3,求實(shí)數(shù)a的值.答案選修4-5不等式選講1.A由題意得,a-c又|a-c|=|c-a|≥|c|-|a|,∴|c|-|a|<b=|b|,∴|a|+|b|>|c|.④正確.故選A.2.43f(t+2)-f(t)=〖a(t+2)3-(t+2)〗-(at3-t)=2a(3t2+6t+4)-2,因?yàn)榇嬖趖∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,所以-23≤2a(3t2+6t+4)-2≤23有解.因?yàn)?t2+6t+4≥1,所以23(3t2+6t+4)≤a≤43(3t23.(-∞,92〗∵x∈〖1,4〗,∴x+4x∈〖4,5〗.分類(lèi)討論:①當(dāng)a≥5時(shí),f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函數(shù)f(x)在區(qū)間〖1,4〗上的最大值為2a-4=5,∴a=92,舍去;②當(dāng)a≤4時(shí),f(x)=x+4x-a+a=x+4x≤5,此時(shí)符合題意;③當(dāng)4<a<5時(shí),〖f(x)〗max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},則|4-a|+a≥|5-a|+a4.(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=7-2因此,不等式f(x)≥4的解集為{x|x≤32或x≥112(2)因?yàn)閒(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故當(dāng)(a-1)2≥4,即a≥3或a≤-1時(shí),f(x)≥4.當(dāng)-1<a<3時(shí),f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值范圍是(-∞,-1〗∪〖3,+∞).1.(1)由題設(shè)知f(x)=-y=f(x)的圖象如圖D1所示.圖D1(2)函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=f(x+1)的圖象,如圖D2所示.圖D2由-x-3=5(x+1)-1,解得x=-76,故函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x+1)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-76,-116).由圖D2可知當(dāng)且僅當(dāng)x<-76時(shí),函數(shù)y=f(x故不等式f(x)>f(x+1)的解集為(-∞,-762.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,故不等式f(x)>1的解集為(12,+∞)(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|x+1|-|ax-1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax-1|<1成立.若a≤0,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集為(0,2a),所以2a≥1,故0<a綜上,a的取值范圍為(0,2〗.

〖易錯(cuò)警示〗本題的易錯(cuò)點(diǎn)有三個(gè):一是零點(diǎn)分區(qū)間時(shí),不注意端點(diǎn)值能否取到,導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò);二是不會(huì)轉(zhuǎn)化,如本題,不懂得利用x∈(0,1),把含雙絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含單絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題;三是混淆不等式恒成立問(wèn)題與不等式有解問(wèn)題,導(dǎo)致所求的結(jié)果出錯(cuò).3.(1)因?yàn)閍2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,且abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2,當(dāng)且僅當(dāng)(2)因?yàn)閍,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)兩等號(hào)同時(shí)成立,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.〖方法技巧〗本題考查利用基本不等式證明不等式,對(duì)于本題第(1)問(wèn),證明的關(guān)鍵是利用“1”的代換.在利用基本不等式時(shí)需注意取等號(hào)的條件能否成立.4.(1)當(dāng)a=1時(shí),f