一輪復習-三角形“四心”的向量表示

三角形“四心”的向量表示一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心。證明外心定理證明:設AB、BC的中垂線交于點O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因為O到三頂點的距離相等，故點O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心．OO點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質等相關知識巧妙結合。到的三頂點距離相等。故是解析：由向量模的定義知的外心

，選B。O是的外心若為內一點，則是的（

）A．內心

B．外心

C．垂心

D．重心B二、垂心ABCABCABC三角形三邊上的高交于一點，這一點叫三角形的垂心。DEF證明:AD、BE、CF為ΔABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成ΔA′B′C′，AD為B′C′的中垂線；同理BE、CF也分別為A′C′、A′B′的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證．證明垂心定理A′B′C′例1．如圖，AD、BE、CF是△ABC的三條高，求證：AD、BE、CF相交于一點。ABCDEFH又∵點D在AH的延長線上，∴AD、BE、CF相交于一點．證：設BE、CF交于一點H，垂心ABCO證：設例2．已知O為⊿ABC所在平面內一點，且滿足:求證：化簡：同理：從而垂心1.O是的垂心是△ABC的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心.例3．

O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，

動點P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的

_______∵∴∴在△ABC的邊BC的高AD上.P的軌跡一定通過△ABC的垂心.所以，時，解:解:例4.（2005全國Ⅰ）點O是ΔABC所在平面上一點，若，則點O是ΔABC的（）（A）三個內角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點（D）三條高線的交點則O在CA邊的高線上,同理可得O在CB邊的高線上.D垂心5.(2005湖南)P是△ABC所在平面上一點，若 則P是△ABC的（）

A．外心B．內心C．重心D．垂心D三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心。證明重心定理

E

F

D

G3.O是的重心為的重心.是BC邊上的中線AD上的任意向量，過重心.2.在中，給出等于已知AD是中BC邊的中線;例1．P是△ABC所在平面內任一點.G是△ABC的重心證明:∵G是△ABC的重心即由此可得（反之亦然（證略））思考：若O為△ABC外心，G是△ABC的重心，則O為△ABC的內心、垂心呢？例2．證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．

A

B

C

E

F

D

G證：設∵A,G,D共線，B,G,E共線．∴可設即：AG=2GD

同理可得：AG=2GD,CG=2GF

．重心例2．證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．另證:

A

B

C

E

F

D

G重心想想看？四、內心ABCABCABCABCABC三角形三內角平分線交于一點，這一點為三角形內切圓的圓心，稱內心。證明內心定理證明:設∠A、∠C的平分線相交于I,過I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三內角平分線交于一點．II

E

F

D1.設a,b,c是三角形的三條邊長，O是三角形ABC內心的充要條件是ACBOabc2.O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，

動點P滿足

則P的軌跡一定通過△ABC的（

）

A．外心

B．內心

C．重心

D．垂心B內心是∠BAC的角平分線上的任意向量，過內心；

3.（2006陜西）已知非零向量與滿足

則△ABC為（）

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形解法一：根據(jù)四個選擇項的特點，本題可采用驗證法來處理.不妨先驗證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時排除其他三個選擇項，故答案必選D.D解法二：由于所在直線穿過△ABC的內心，則由(等腰三角形的三線合一定理)；又，所以,即△ABC為等邊三角形，故答案選D.注:

等邊三角形(即正三角形)的“外心、垂心、重心、內心、中心”五心合一！

法一抓住了該題選擇項的特點而采用了驗證法,是處理本題的巧妙方法；法二要求學生能領會一些向量表達式與三角形某個“心”的關系，如

所在直線一定通過△ABC的內心;

所在直線過BC邊的中點，從而一定通過△ABC的重心；

所在直線一定通過△ABC的垂心等.【總結】(1).是用數(shù)量積給出的三角形面積公式;(2).則是用向量坐標給出的三角形面積公式.4.在△ABC中:

(1)若CA＝a，CB＝b，求證△ABC的面積

(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求證：△ABC的面積

解:ABCP思考:

如圖，設點O在內部，且有則

的面積與的面積的比為___________．

(2004年全國奧賽題)

3作AC、BC邊上的中點E、D，解1:DEABCO作AC邊上的中點E，解2:思考:

如