重難點專題35 圓錐曲線離心率壓軸題（含二級結(jié)論）十九大題型-2025年高考《數(shù)學》重難點題型突破（解析版）

第第頁重難點專題35圓錐曲線離心率壓軸題（含二級結(jié)論）十九大題型匯總題型1直接型 1題型2二級結(jié)論之通徑型 8題型3雙曲線漸近線相關(guān) 14題型4坐標法 22題型5二級結(jié)論之焦點弦定比分點 30題型6二級結(jié)論之焦點已知底角 35題型7焦點三角形已知頂角型 40題型8焦點三角形雙余弦定理 46題型9利用圖形求離心率 52題型10利用橢圓雙曲線的對稱性求離心率 57題型11點差法 66題型12二級結(jié)論之中點弦問題 73題型13角平分線相關(guān) 78題型14圓錐曲線與圓相關(guān) 83題型15內(nèi)切圓相關(guān) 89題型16與立體幾何相關(guān) 96題型17二級結(jié)論之切線方程 105題型18正切公式的運用 113題型19圓錐曲與內(nèi)心結(jié)合 119題型1直接型橢圓與雙曲線的離心率公式為：e=ca，注意橢圓的離心率范圍（0,1），雙曲線的離心率范圍（1，+【例題1】（2021·江西南昌·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l【答案】37【分析】由題設知AB⊥AF1，令|AF1|=12m，易得|AB|=5m，根據(jù)雙曲線的定義知|AF2【詳解】由AB?AF1=0，知：AB⊥AF1∴Rt△F1AB中，|BF1∴|AF2|=2a?8m=12m?2a，即m=a5故在Rt△F1AF2∴e=c故答案為：37【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題設知AB⊥AF1，令|AF【變式1-1】1.（2021·全國·高三開學考試）設F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點，過點【答案】2【分析】求橢圓的離心率，要列出關(guān)于a,c的等量關(guān)系式，設|F1B|=k(k>0)，根據(jù)橢圓的定義以及|AF1【詳解】

設|F1B|=k(k>0)，則|A∴|AF2|=2a?3k∵cos在△ABF2中，由余弦定理得，∴(4k)化簡可得(a+k)(a?3k)=0，而a+k>0，故a=3k，∴|AF2|=|A∴|BF∴AF∴△AF∴c=2∴橢圓的離心率e=c故答案為：22【點睛】題目考察比較綜合，需要根據(jù)圖形列出各邊之間的關(guān)系式，找到關(guān)于a,c之間的關(guān)系，進而求解離心率，涉及到了以下考點：（1）橢圓的第一定義（2）三角形的余弦定理（3）離心率的計算【變式1-1】2.（2021·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為A．57 B．22 C．53【答案】A【分析】根據(jù)向量運算和橢圓的定義可得關(guān)于a,c的方程，由橢圓的離心率的定義可得選項.【詳解】設F1因為AF所以AF2=因為AF1=43設AF1中點為H，則F2H⊥AB，F(xiàn)2A2等式兩邊同除以a2得：7e2?12e+5=0，解得：故選：A.【點睛】方法點睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出a,b,c的值，再由離心率的定義e2（2）由題意列出含有a,b,c的方程(或不等式)，借助于b2＝a【變式1-1】3.（2023·江西九江·二模）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個橢圓圍成.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設切點為P，盤子的中心為O，筷子與大橢圓的兩交點為A、B，點A關(guān)于O的對稱點為C．給出下列四個命題：①兩橢圓的焦距長相等；②兩橢圓的離心率相等；③PA=④BC與小橢圓相切.其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為λλ>1，設點Px0,y0、Ax【詳解】設大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為λλ>1設點Px0,y0以橢圓的中心為坐標原點，橢圓的長軸、短軸所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設小橢圓的方程為x2則大橢圓的方程為x2對于①，大橢圓的焦距長為2λ對于②，大橢圓的離心率為e=λ對于③，當直線AB與坐標軸垂直時，則點A、B關(guān)于坐標軸對稱，此時點P為線段AB的中點，合乎題意，當直線AB的斜率存在且不為零時，設直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+mb2xΔ=4a4此時，x0聯(lián)立y=kx+mb2x由韋達定理可得x1+x2=?綜上所述，PA=對于④，當點P的坐標為0,b時，將y=b代入x2a2不妨取點Aaλ?1,b、B若λ≠2，則直線BC的方程為x=?aλ?1，此時直線BC故選：B.【點睛】方法點睛：解決中點弦的問題的兩種方法：（1）韋達定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決；（2）點差法：設出交點坐標，利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率關(guān)系求解.【變式1-1】4.（22·23下·恩施·模擬預測）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x24?y2b2=1b>0A．△AF1F2C．AF1?【答案】D【分析】利用已知條件求出b的值，對于A：利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義求出△AF1F2的面積，對于B：利用雙曲線的離心率公式運算求解；對于C：先求【詳解】設雙曲線C的半焦距為c>0，因為雙曲線C的焦點在x軸上，且a=2，則其中一條漸近線方程為y=b2x，即bx?2y=0則F1到漸近線的距離?bc4+b對于選項A：因為AF2?可得AF2?所以△AF1F對于選項B：雙曲線C的離心率為e=c對于選項C：因為AF2?所以AF對于選項D：設BF2=m因為BF12=AB所以1A故選：D.【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．題型2二級結(jié)論之通徑型橢圓與雙曲線的半通徑是b2a【例題2】（2023·重慶·模擬預測）如圖，橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0A．14 B．32 C．22【答案】D【分析】做PM⊥x軸于點M，得到點P的縱坐標，從而得到PM，然后根據(jù)△F【詳解】由題意，做PM⊥x軸于點M，因為四邊形F1APQ是等腰梯形，則F則點P的橫坐標為xP=a?c，代入橢圓方程可得yp=b因為N0,34b，則ON=34b，由△F1NO～△化簡可得，3a4?32ac即2e?18對于f當e=1時，f1=?13<0，當e=2時，在e∈1,2時，方程2e?1且e∈0,1，故應舍，所以e=故選:D【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于得到點P的縱坐標，然后根據(jù)三角形相似列出方程，得到a,b,c的關(guān)系式.【變式2-1】1.（23·24高三上·湖北·階段練習）已知A，B是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點，P是雙曲線x2a2?y2【答案】2【分析】由直線斜率公式結(jié)合點在曲線上可得kMB=?kPB【詳解】由題意可知A?a,0，B設P(x0,y0因為點P在雙曲線上，則x02a2?設點M(x1,y1)，可得直線MA，因為點M(x1,y1所以kMA?k則kMB=?kPB=?kBN又因為橢圓也關(guān)于x軸對稱，且M，N過焦點F，則MN⊥x軸，又F(c,0)，則MF=所以tan∠AMN=整理得3c2+ac?2a2=0，即所以橢圓的離心率為23故答案為：23

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過已知條件列出方程組，求得a,c得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程求解；特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．【變式2-1】2.（2023·湖北武漢·三模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，點A，B分別為橢圓C的左右頂點，點F為橢圓C的右焦點，Р為橢圓上一點，且PF垂直于x軸.過原點О作直線PA的垂線，垂足為M，過原點О作直線PB的垂線，垂足為N，記S1【答案】6【分析】設∠PAO=α,∠PBO=β可得sin∠NOM=sin∠APB，再由三角形的面積公式將S2S1=409化簡為PA【詳解】設∠PAO=α,∠PBO=β，故∠AOM=π則∠NOM=α+β，∠APB=π?α+βS2令x2a2+y2故S△PAO=S所以OM=所以代入①可得：PAPB所以PA2則409即409即409即409=a+c即409=1+(1+e)2+故答案為：63

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于由三角形的面積公式將S2S1=40【變式2-1】3.（22·23·贛州·二模）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在E上，滿足△【答案】6【分析】根據(jù)題意分析可得∠PF【詳解】由題意可知：顯然∠PF若∠F1PF2因為O為F1F2的中點，則點M為P所以∠PF2F因為△PF1F2～△O整理得e2?6e+1=0，解得所以E的離心率為6+故答案為：6+【點睛】方法點睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．【變式2-1】4.（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,B為虛軸上端點，M是BF中點，O為坐標原點，A．2 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】作出圖象，根據(jù)幾何性質(zhì)可得點M,N的坐標，結(jié)合OM∥ON可得a=b，進而求出離心率.【詳解】由題意，在雙曲線C:x2a2?y

由題意可知：Fc,0因為M是BF中點，則Mc2,且O,M,N三點共線，則OM∥ON，可得c2×b所以e=c故選：A.題型3雙曲線漸近線相關(guān)雙曲線的漸近線求離心率可以直接使用公式：e=【例題3】（2023·山東濰坊·二模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，OA．2 B．2 C．5 D．3【答案】C【分析】利用點到直線的距離公式求出DF1，利用勾股定理求出OD，由銳角三角函數(shù)得出cos∠DOF1=ac，在△DOF2利用余弦定理可得出【詳解】如下圖所示，雙曲線C的右焦點F1?c,0，漸近線l1由點到直線的距離公式可得DF由勾股定理得OD=在Rt△DOF1中，∠OD在△DOF2中，OD=a，Dcos∠DO由余弦定理得cos∠DO化簡得，c2=5a2，即c=5故選：C．【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出a、c，可計算出離心率；②構(gòu)造a、c的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解．【變式3-1】1.（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，點A是C的左頂點，過點F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，過點A．2 B．2 C．3 D．3【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出P點坐標和直線PA方程，PO平分∠APM，則O到PM的距離等于到AP的距離，列式可求離心率﹒【詳解】如圖，雙曲線的漸近線取y=bax由y=?a∴P(a2c,abc∴PA：y=ba+c∵PO平分∠APM，∴O到PM的距離等于O到AP的距離|OM|，即abb2+(a+c故選：A﹒【變式3-1】2.（多選）（2023·山東濰坊·三模）函數(shù)y=ax+bx(ab>0)的圖象是雙曲線，且直線x=0和y=axA．x≠0，y≥24C．實軸長為23 D．離心率為【答案】ABD【分析】由基本不等式可判斷A，由雙曲線的性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】x>0時，y=33x+1xx<0時，y=3當且僅當?33x=?依題意，此雙曲線兩條漸近線為x=0和，y=3由雙曲線的對稱性，雙曲線的漸近線關(guān)于雙曲線的對稱軸對稱，故得雙曲線的兩條對稱軸方程為y=3由雙曲線的性質(zhì)，雙曲線實軸的兩個頂點為對稱軸y=3x與雙曲線y=3A(232故此雙曲線的實軸長即為2a=AA依題意，此雙曲線兩條漸近線x=0和y=33x則漸近線x=0與對稱軸y=3x的夾角為π6所以b2a2故選：ABD【變式3-1】3.（2020上·廣西桂林·高三廣西師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知雙曲線C：x2a2【答案】5【解析】由題意，得到雙曲線的其中一條漸近線的方程為y=?bax，進而得到過點F)與y=?bax垂直的直線方程為y=ab(x?c)【詳解】如圖所示，雙曲線C:x2a其中一條漸近線的方程為y=?b則過點F(c,0)與y=?bax聯(lián)立方程組y=abx?cy=?在△AMN中，因為tan∠MAF=12，可得MN即a+c=2b，所以a+c2=4b即3e2?2e?5=0，解得e=故雙曲線的離心率為53【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得【變式3-1】4.（2022·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的左焦點為F，過F且與雙曲線C的一條漸近線垂直的直線l與另一條漸近線交于點P，交y軸于點A，若A為PF的中點，則雙曲線C的離心率為.【答案】3【分析】先假設與直線l垂直的一條漸近線的斜率為?ba，進而求出FP的直線斜率，進而由F點求出FP的直線方程為y=ab(x+c)，聯(lián)立另一條漸近線和直線FP【詳解】設與直線l垂直的漸近線的方程為：y=?b因為直線l與該漸近線垂直，所以kFP所以FP的直線方程為y=a令x=0，得y=ac所以點A坐標為(0,ac聯(lián)立y=ab(x+c)所以點P坐標為(a又因為A為FP中點，所以yp即0+abcb2化簡得，2a所以雙曲線離心率為：e=c故答案為：3.【變式3-1】5.（多選）（2023·河北唐山·模擬預測）已知雙曲線C：x2a2?y24=1(a>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)A．C的離心率為213 B．C的離心率為C．△OPQ的面積為23 D．△OPQ的面積為【答案】AC【分析】設∠POF2=α，由題意可求得|PF2|=2，|OP|=a，【詳解】直線y=2ax和直線y=?

設∠POF2=α又F2P垂直于漸近線y=2ax，漸近線方程為2x?ay=0∴|PF2|=|2c|a∴sinα=在△OF1P中，∠∴a2c?32?ac?1∴e=c雙曲線C的方程為：x23?過P點的切線PQ與雙曲線切于點M(x0,又P，Q均在雙曲線的漸近線上，故設Px又tanα=23，∴∴S△POQ當點M(x0,設切線方程為y=kx?得4?3令Δ=0，得x02過M點的切線方程為y=4切線方程代入y=23x切線方程代入y=?23x∴x1∴S△POQ故選：AC【點睛】方法點睛：1.求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．2.解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．題型4坐標法相對運算較麻煩的一種方法，可以通過聯(lián)立方程，求出點的坐標，構(gòu)造等式求出離心率【例題4】（2023·河南·模擬預測）已知雙曲線C：x2【答案】10【分析】寫出直線AP的方程為y=x+a，將其分別與雙曲線漸近線聯(lián)立解出P,Q的縱坐標，根據(jù)A為PQ的三等分點，得到關(guān)于a,b的方程，最后化為關(guān)于a,c的齊次方程，即可得到離心率.【詳解】不妨設點P在第二象限，直線AP的方程為y=x+a，聯(lián)立y=x+a,y=?bax，得點聯(lián)立y=x+ay=bax，得點由A為PQ的三等分點,可知yQ=?2yP，則有則a2=9c2?a2故答案為：103【變式4-1】1.（2023·山東濰坊·模擬預測）已知雙曲線E:x2aA．2 B．52 C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得P為線段FM的中點，N為線段PN的中點，設Mm,?bam，從而可得出P,N的坐標，再根據(jù)點N在漸近線y=bax上，求出m【詳解】由題意，點M在漸近線y=?bax上，點N設Mm,?b因為P，M恰為線段FN的三等分點，所以P為線段FM的中點，N為線段PN的中點，則Pm?c2,?bm2a又點N在漸近線y=b所以3m+c2?b故P?因為點P在雙曲線E:x所以49c2144所以e=c故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：設Mm,?bam，由P為線段FM的中點，N為線段PN的中點，得出P,N的坐標，再根據(jù)點N在漸近線【變式4-1】2.（24·25高三上·浙江·開學考試）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，過點F作傾斜角為π4的直線交橢圓C于A、B兩點，弦【答案】12【分析】設直線l的方程,代入橢圓方程,由韋達定理,弦長公式及中點坐標公式,求得中點坐標Q坐標,求得AB垂直平分線方程,當y=0時,即可求得P點坐標,代入即可求得|PF|,即可求得|PF||AB|,即可求得a和c【詳解】因為傾斜角為π4的直線過點F設直線l的方程為:y=x?c,Ax線段AB的中點Qx聯(lián)立y=x?cx2a∴x∴AB=∴∴AB的垂直平分線為:y+b令y=0,解得xP=c∴|PF|=c?x∴|PF||AB|=∴橢圓C的離心率為12故答案為:12【點睛】關(guān)鍵點睛：運算能力是關(guān)鍵；本題考查簡橢圓的簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,直線的垂直平分線的求法,屬于較難題.【變式4-1】3.（2023·湖北襄陽·模擬預測）如圖，已知有公共焦點P1(?c,0)、P2(c,0)的橢圓C1和雙曲線C2相交于A、B、C、D四個點，且滿足OA=OB=OC=【答案】63/【分析】設橢圓C1的方程為x2a2+y2b2=1a>b>0【詳解】設橢圓C1的方程為x雙曲線C2的方程為x因為橢圓C1和雙曲線C2有公共焦點P1所以a2因為OA=聯(lián)立x2a2所以x=±as所以點A,B,C,D的坐標分別為asc,btc，asc所以直線AC的斜率k1=btas，直線所以點P的坐標為asc所以直線CP的斜率為?bt所以直線CP的方程為y=bt聯(lián)立y=bt2asx?4a設點Q的坐標為x0則?as所以x0=as所以直線AQ的斜率k2=?btb2所以s2=t所以s2因為點Aasc,所以asc故a2+所以e=c故答案為：63【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式4-1】4.（22·23高三上·河南洛陽·階段練習）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1?c,0，F(xiàn)2①BF②若AB=2F1A，則雙曲線③BF④c?a<AA．①② B．①③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】對于①：根據(jù)F1F2=2OB【詳解】對于①：因為F1F2=2OB，且O所以BF對于②：由題意可知：直線OB:y=b設Bx0,ba即Ba,b設Ax1,y1因為AB=2F1A，則即Aa?2c3,整理得4e2?4e?9=0，解得e=對于③：設直線l與雙曲線的右支交于點M，由雙曲線的定義可得：MF在△MBF2中可得MB>所以MF即BF對于④：設Ax1,y1則AF因為0<y1<b，則a所以c?a<cax故選：C.【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．【變式4-1】5.（22·23高三上·河北石家莊·期中）橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為【答案】3【分析】由3OF1=OA+2OB得F1為線段AB的一個三等分點，由【詳解】如圖，因為3OF1=OA所以F1為線段AB又因為AB=BF2，所以所以AF1=因為A(0,b)，F(xiàn)1(?c,0)，且AF代入橢圓方程，得94e2+1故答案為：33【點睛】將兩個向量條件分別轉(zhuǎn)化，3OF1=OA+2OB題型5二級結(jié)論之焦點弦定比分點1.點F是橢圓的焦點，過F的弦AB與橢圓焦點所在軸的夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB的斜率，且當曲線焦點在y軸上時，e=1+注：λ=AFBF或者λ=BFAF,而不是2.過F弦AB與雙曲線焦點所在軸夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB斜率，且當曲線焦點在y軸上時，e=1+【例題5】（23·24高三上·云南·階段練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2且傾斜角為【答案】2【分析】由△AF1F2的面積是△BF1F2面積的2倍，得到AF2=2【詳解】如圖，由△AF1F2的面積是不妨設AF2=2x，BF2=x，在△AF1F2中，得4x2+4在△BF1F2中，得x2+4c①+②×2得x=3整理得c2?a故C的離心率為23故答案為：2【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于找到a,c之間的關(guān)系，解答時要注意利用△AF1F2的面積是△BF1F2面積的2倍，得到【變式5-1】1.（2022上·遼寧鞍山·高三鞍山一中?？计谥校┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1的左焦點為F，過F斜率為3的直線l與橢圓C相交于【答案】25【分析】設Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】因為直線AB過F(?c,0)且斜率為3，所以直線AB為：y=3與橢圓C：x2a2+y設Ax1因為AFBF=32消去y2并化簡整理得：24將b2=a2?因此，該雙曲線的離心率e=c故答案為：25【變式5-1】2.（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F，過F且斜率為3A．58 B．65 C．75【答案】B【分析】設雙曲線C:x2a2?y2b2=1的右準線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，根據(jù)直線AB的斜率為【詳解】設雙曲線C:x2a過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，如圖所示：因為直線AB的斜率為3，所以直線AB的傾斜角為60°，∴∠BAD=60°，AD=由雙曲線的第二定義得：AM?又∵AF=4∴3e∴e=故選：B【點睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.【變式5-1】3.（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）已知橢圓x2a2+y2b2=1A．12 B．22 C．23【答案】C【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理與GF2=2F2H構(gòu)建出關(guān)于【詳解】設F2c,0，Gx1,y1，H直線方程為y=3x?c，聯(lián)立方程可得a2根據(jù)韋達定理：y1+y因為GF2=2F2所以y1即4c23a2可得4a2=9故選：C.【變式5-1】4.（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點為A,F是A．12 B．35 C．22【答案】A【分析】根據(jù)向量關(guān)系得到A,B,F三點共線，表達出B點坐標，代入橢圓方程，求出離心率.【詳解】因為3AF+5BF=0，所以不妨設Fc,0，B則AF=由3AF+5BF=0故B8c將其代入C:x2a2+故離心率為12故選：A題型6二級結(jié)論之焦點已知底角1.已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形，則橢圓的離心率e=ca=2.已知雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)兩焦點分別為【例題6】（2008·全國·高考真題）設△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，則以A，B為焦點，且過點C的雙曲線的離心率為（

）A．1+22 B．1+32 C．【答案】B【解析】根據(jù)題設條件可知2c=AB=BC，由正弦定理可得AC【詳解】雙曲線的焦點為A，B，則AB=2c∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，∴BC=2c，∠ACB=30°由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin雙曲線過點C，由雙曲線的定義可得|AC|?|BC|=23解得離心率e=c故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問題，屬于中檔題.求雙曲線離心率，一般可由下面兩個方面著手：（1）根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求ca（2）已知條件構(gòu)造出a，b，c的等式或不等式，結(jié)合c2=a2+b2化出關(guān)于a，c【變式6-1】1.（2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學校考期中）橢圓C:x2a2+y2b2A．3?1 B．2?1 C．32【答案】A【分析】先根據(jù)y=3(x+c)的斜率得到∠MF1F2=60°，∠M【詳解】【解法一】因為y=3(x+c)經(jīng)過左焦點，且斜率為3，故所以∠MF1F2=60°設MF1=x由橢圓的定義可知：MF2+解得：x=3所以MF1=由勾股定理得：MF故3?1解得：c2a2故選：A【解法二】===-1。【變式6-1】2.（2020秋·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為A．3?5 B．5?3 C．3【答案】D【解析】由直線斜率得直線傾斜角，從而ΔF1MF2的三個內(nèi)角都能求出，可確定ΔOMF2【詳解】如圖，由題意得∠MF1O=π6，又∠MF于是ΔOMF2是正三角形，∴點M在橢圓上，∴c24a2+e2=4?23（e故選：D.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是列出關(guān)于a,b,c的一個等式，本題關(guān)鍵是由直線MF1的傾斜角求出ΔF1MF2【變式6-1】3.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓E的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點Р為橢圓上一點，且tan∠PF1【答案】13【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理得到可得e=c【詳解】因為tan∠PF1F2=2則sin∠PF1F2=2由正弦定理得：F1可得e=c又由sin∠P所以e=c故答案為：13?

【變式6-1】4.（2023秋·江西吉安·高三吉安一中?？奸_學考試）點P是雙曲線C1：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）和圓C2：x2+【答案】3+1/【分析】利用圓與雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】

由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則∠F∴∠PF1F2=e=2c故答案為：3【變式6-1】5.（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？茧A段練習）已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點，點【答案】3【分析】作出輔助線，得到PM=3c,【詳解】由題知F1F2=PF2=2c，過∴PMPMAM=3∴e=故答案為：3題型7焦點三角形已知頂角型可以通過焦點三角形的特征進行解決【例題7】（20·21高二上·吉林白城·階段練習）已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1P【答案】4【分析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率e1和雙曲線的離心率e2的關(guān)系式，即可求得【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2則根據(jù)橢圓、雙曲線定義得：PF1可得：PF1=設F1F2在△PF1F可得4整理得4c2=a故答案為：4【變式7-1】1.（2021·重慶·校聯(lián)考三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右焦點分別為FA．102 B．3 C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件求得PF2=3a，∴PF1【詳解】由雙曲線定義知PF則PF1=PF∴△PQF2的周長為∴PF2+由PF所以∠F2PQ=90°，故P∴PF2=3a，Q在Rt△PF1F2故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是：由PF2→【變式7-1】2.（2021·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在C的右支上，AA．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【分析】由題設知△ABF2為等腰直角三角形，即∠BAF2=π4、|AB|=【詳解】由F2A?F2B=0且|F2∵{|∴|AB|=4a，故|F2A|=|而在△AF1F∴4c2=8a2故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由已知條件判斷△ABF【變式7-1】3.（2021·浙江·模擬預測）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，直線y=kx與E交于A，BA．62 B．52 C．32【答案】A【分析】不妨設AF1=m，AF2=nm>n【詳解】不妨設AF1=m由雙曲線的定義可知，m?n=2a，即m2又∠F1A由①②可得mn=4c2?4a2又四邊形F1AF2B面積S=2×1因為163S=C2，故故雙曲線E的離心率為ca故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的對稱性得到四邊形F1AF【變式7-1】4.（2023·上海崇明·一模）已知橢圓Γ1與雙曲線Γ2的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點F1、F2，P是Γ1與?！敬鸢浮?+3/【分析】根據(jù)P點是橢圓和雙曲線的交點，結(jié)合橢圓雙曲線的定義表示出PF1，PF【詳解】設橢圓Γ1標準方程為x2a設雙曲線Γ2標準方程為x2a由題可知：e1設PF1=m則m+n=2a由①②得，m=a1+代入③整理得，4c兩邊同時除以c2得，4=即4=2?即2?3解得e22=(2+3故答案為：2+【點睛】本題綜合考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練應用橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合焦點三角形中的余弦定理，列出方程組即可求解.【變式7-1】5.（2022上·江蘇南京·高三南京師大附中?？计谥校┮阎狥1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點，過點F【答案】?【分析】由題意可得直線l為y=x?c，設Px1,y1，Qx2,y2，代入雙曲線并結(jié)合P，Q在右支可得【詳解】由雙曲線C:x2a2?y2代入雙曲線可得x2a2設直線l與雙曲線C的右支交于Px1,故x1?x2=?a結(jié)合e>1可得1<e<2不妨設Q在x軸的下方，P在x軸的上方，設PF2=m，QF2①PF1=PQ時，故QF因為直線斜率為1，所以傾斜角為π4，即∠Q在△QF2F即16a2=4所以e2?2②QF1=PQ時，故PF因為直線斜率為1，所以傾斜角為π4，即∠P在△PF2F即16a2=4所以e2+2因為?2+14所以1<?③QF1=PF綜上所述，雙曲線C的離心率為?2故答案為：?【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題的關(guān)鍵點是得到直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點時，離心率的范圍，后面討論三種情況并結(jié)合所求的范圍進行取舍題型8焦點三角形雙余弦定理【例題8】（22·23高二下·河南安陽·開學考試）已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2A．25 B．105 C．155【答案】B【分析】由已知條件和橢圓定義，將|MN|,|MF2|,|MF1|,|NF2|用a【詳解】由橢圓的定義可得MF結(jié)合MF2由MF1+由橢圓的定義可得NF2在△MNF2中，在△MF1F4c∴c故選：B【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2【變式8-1】1.（22·23上·河南·模擬預測）雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為A．73 B．2 C．53 【答案】A【分析】先設BF2=t，再利用雙曲線的定義與向量數(shù)乘的性質(zhì)得到AF2，BF1，AF1【詳解】根據(jù)題意，設BF因為AF2=2由BF1?由AF1?又F1F2所以在△BF1A中，cos∠ABF在△BF1F2中，則103a2+2a×10所以e=ca=故選：A..【變式8-1】2.（2023·浙江·一模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，A，B為C上位于x軸上方的兩點，且AF1//BF2，∠AF1【答案】2【分析】作出圖像，由余弦定理及雙曲線的定義表示出AF1和BF2，再根據(jù)AF1∥PQ∥B【詳解】做出圖像，如圖所示，則F1在△AF1F2中，由設AF1=m所以m2+(2c)2?在△BF1F2中，由設BF2=n所以n2+(2c)2?因為AF所以PQA則PQAF1所以1AF1所以OQ=2由PQ∥AF1可得，△PQF所以b22a2b2故答案為：2．【變式8-1】3.（23·24高三上·江蘇淮安·開學考試）橢圓C:x2a2+y2【答案】13【分析】設BF1=m，再在△ABF2中根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得m=67【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得AF1=AF2=a，設即a2整理可得7am=6a2，即m=6又∠AF1F2+∠B故ca=?2c2+故a2=13c

故答案為：13【變式8-1】4.（22·23高三下·山東菏澤·開學考試）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1【答案】355【分析】利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到AF2,BF2,【詳解】依題意，設AF2=2m在Rt△ABF1中，9故a=m或a=?3m（舍去），所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c故答案為：35【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于a,b,c的齊次方程，從而得解.【變式8-1】5.（2023·湖南株洲·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0【答案】5【分析】根據(jù)橢圓的定義，線段比例關(guān)系和余弦定理即可求解.【詳解】因為PF所以PF又PF所以F1所以QF在三角形F1PF在三角形Q1PF以上兩式相等整理得(5a?7c)(a?c)=0，故5a=7c或a=c（舍去），故ca故答案為：57題型9利用圖形求離心率【例題9】（2023·安徽安慶·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C的右支相交于點P，過點O,A．2 B．5+12 C．3+1【答案】D【分析】由條件證明N為線段F1M的中點，由此可得PF1=3b,MP=b【詳解】因為F1，F(xiàn)2為雙曲線所以F1因為ON⊥P所以ON//F2M，又所以N為線段F1M的中點，且又M為線段PN的中點，所以F1在Rt△OF1N中，所以F1所以PF因為點P在雙曲線的右支上，所以PF故PF在Rt△MF2P中，MF由勾股定理可得：2a2所以8b2=12ab所以4b2=9故4c所以e=c故選：D.【點睛】方法點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．【變式9-1】1.（22·23·包頭·二模）雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點為F1?c,0【答案】2【分析】根據(jù)相切關(guān)系可得直線F1H的斜率，進而得方程為y=b【詳解】設直線F1H與圓相切于M,由題意可知OM=b,OF1所以直線F1H方程為聯(lián)立y=bax+c和y=?ba因此S△F1HO=故e=c故答案為：2【變式9-1】2.（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學?？茧A段練習）雙曲線C:x2a2?y2【答案】10【分析】作出輔助線，得到F1D⊥FD，設出DF1=2m【詳解】由題意得F?c,0，取AB中點M，連接OM，設雙曲線C的右焦點為F1，連接因為OA=OB=又A，B為線段FD的兩個三等分點，所以FM=DM，即M為FD的中點，又O為FF1的中點，所以DF設DF1=2m，則OM由勾股定理得AM=BM=12a由雙曲線定義得DF?DF在Rt△DFF1中，由勾股定理得即61由①得312a解得m=a2或?qū)=a2代入②得5a

故答案為：10【變式9-1】3.（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，A是CA．1010 B．714 C．39【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：A0,b，F(xiàn)1?c,0，F(xiàn)2c,0由∠PF1F2=120°代入直線AP方程中得?3c=23則a=b2+故選：B.【變式9-1】4.（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預測）已知橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為【答案】55/【分析】（1）由△ABO～△F1PF2可得PF2【詳解】設c為半焦距，因為△ABO～△F1PF2因為△ABO～△F1PF2，所以BO所以b2=4c2=a2故答案為：5

題型10利用橢圓雙曲線的對稱性求離心率【例題10】（22·23高二下·湖南·期末）如圖，已知F1,F2是雙曲線C:x2a2?y

A．105 B．52 C．153【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得t=a，進而可得∠F【詳解】延長QF2與雙曲線交于點因為F1P∥F設F2P'可得F2P?所以P'Q=4t=4a，則Q即P'Q2在△P'F即a2+3a故選：D.

【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e=c2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．【變式10-1】1.（2023·河南商丘·模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1,F2，點M,N是C的一條漸近線上的兩點，且A．3 B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)MN=2MO，可得M,N關(guān)于原點對稱，從而可得四邊形MF1NF2為平行四邊形，再根據(jù)MN【詳解】設雙曲線的焦距為2c(c>0)，因為MN=2MO，所以所以M,N關(guān)于原點對稱，所以四邊形MF又MN=F1因為以F1F2不妨設M,N所在的漸近線方程為y=b則N?由y=bax,x2不妨設Ma,b因為P為雙曲線的左頂點，所以P?a,0所以PM=又MN=2c,∠MPN=135°由余弦定理得|MN|即4c2=所以離心率e=c故選：C.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得a、c的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.【變式10-1】2.（2023·福建寧德·模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點是F【答案】53/【分析】設橢圓的左焦點為E，利用已知條件結(jié)合橢圓的對稱性可得四邊形AEBF為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【詳解】設橢圓的左焦點為E，連接AE，BE，BF，CE，

由直線y=kx交橢圓于A,B兩點﹐及OAOF結(jié)合橢圓的對稱性可得OA=所以△AEF，△AFB，△BEF均為直角三角形，所以四邊形AEBF為矩形，設AF=2t，則CF=t，AE=2a?2t所以在直角△AEF中AE2+AF在直角△ACE中AE2+AC由②解得t=a將t=a3代入①得209所以e=c故答案為：5【變式10-1】3.（23·24高三上·山西大同·階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，過點【答案】53/【分析】由題意可得F2N//F1M，且F2N=12F1M，延長MF1【詳解】因為PM=2MN，所以F2N//F延長MF1并延長交橢圓于點則由對稱性可設F1Q=F2N=t因為F1M+則QM=a，F(xiàn)2M得QM所以∠QMF在△F1M2a32+4a3所以離心率e=c故答案為：5【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查橢圓的離心率的求法，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的對稱性和橢圓的定義表示出各線段的長.【變式10-1】4.（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2A．33 B．C．102 D．【答案】C【分析】首先根據(jù)焦三角形△AF2P的面積為b2，得到∠F1PF2=π2，過點A作x軸的平行線交PQ于點B，可知四邊形F1F2BA是平行四邊形，根據(jù)F1【詳解】如圖所示：因為F1A+因為PFPF4PF所以S=可得∠F過點A作x軸的平行線交PQ于點B，可知四邊形F1因為F1F2又AB=AF設PF2=m，則PF1F1Q=3m+2a在Rt△PF1Q中，由P在Rt△PF1F2中，由所以離心率e=c故選：C【變式10-1】5.（2021下·山西·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，O是坐標原點，P是雙曲線E:x2aA．174 B．173 C．214【答案】B【分析】令雙曲線E的左焦點為F'，連線即得?PFQF'，設FR=m，借助雙曲線定義及直角△【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為F'，連接P由對稱性可知，點O是線段PQ中點，則四邊形PFQF'是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有設FR=m，則|PF'∣=|FQ|=2m，在Rt△F'PR中，(2m)從而有PF'=8a3,|PF|=2a3，所以雙曲線E的離心率為173故選：B題型11點差法1.根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓（或雙曲線）方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決；2.點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓（或雙曲線）方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個不同的點M(x0，y0)是線段AB的中點，x12a2+y12b2=1,=1\?GB3\?MERGEFORMAT①x22a2+y22b2=1,=2\?GB3\?MERGEFORMAT②由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，(x1?x2≠0，x1+x2≠0)【例題11】（22·23·吉安·一模）橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,BDA．14 B．32 C．12【答案】B【分析】設出點Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】設點Ax1,y1可得1?x1,1?y1由A,C兩點在橢圓E上，有x11?2×4即2b同理可得2b因此，直線AB的方程為2b從而直線AB的斜率為?b由e2=1?故選：B【變式11-1】1．（2023·湖北·模擬預測）設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e≠2【答案】3【分析】根據(jù)題意，作圖，計算得AF2=a?ex0，AF1=a+ex0，再設角平分線交x軸于T(m,0)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到【詳解】由點A在橢圓C上，且∠F1AF2=π則A=c同理AF設角平分線交x軸于T(m,0)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知S△AS△A∴AF2AF可得直線AB:y=y01?由AB=2BD，可得設AB中點為M，則xM=2點差法的結(jié)論，證明如下：設A(x1,y1)，B(x故x12a又由x1+x2=2最后化簡得，y0進而得到，kOM得2?3e因為∠F1A聯(lián)立x02+所以y02x02故答案為：32【變式11-1】2.（2022下·云南昭通·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)斜率為?18的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，P點的坐標為(?1,2)，直線AP交E于另一點C，直線BPA．2 B．72 C．62 【答案】D【分析】設A(x1,y1),B(x2,y2),，線段AB的中點M(xM,yM)，代入雙曲線的方程中可得x1【詳解】設A(x1,則x12a所以yM=?設C(x3,y3),D(因為kAB=kCD，所以所以yM?2xM+1=y所以a2=4b所以e=c故選：D.【變式11-1】3.（22·23·河北·模擬預測）已知斜率為?2的直線l1與雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右兩支分別交于點A，B，l2//l1，直線l2與E【答案】7【分析】設出各點的坐標及中點坐標，代入雙曲線作差得yM=?b22a【詳解】設Ax1,y1，Bx2AB的中點MxM,yM則x12a2?所以b2a2?x因為AB//CD，所以P，M，N三點共線，所以將①②代入得?b22因為xM≠xN，所以又點P恒在直線l:y=?3x上，所以?b22所以雙曲線E的離心率為e=c故答案為：7

【點睛】思路點睛：一般涉及中點弦問題時，采用設而不求點差法求解，本題通過點坐標之間的關(guān)系建立a，b關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率.【變式11-1】4.（2023·云南·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2【答案】55/【分析】先由FB+FP+FQ=【詳解】設F(c,0),B(0,b),Px1,由FB+FP+FQ=即(c,?b)=2x0?c,又M為線段PQ的中點，則x1又P、Q為橢圓C上兩點，則x1兩式相減得x1所以kPQ化簡得2a2解得b=2c或c=2b（∵b>c故舍去）則a2=b故答案為：5【變式11-1】5.（2020上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）如圖，過原點O的直線AB交橢圓C：x2a2【答案】3【解析】設A(x1,y1)，Q(x2,y2)，根據(jù)已知條件得B、P、M的坐標，AB⊥AQ、B，M，Q三點共線，【詳解】設A(x1,y1)，Q(x由AB⊥AQ，則y1x由B，M，Q三點共線，則kBQ=kBM，即y又因為x12a2+y12將①②代入③得b2【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知點的坐標表示兩線垂直以及三點共線，再結(jié)合點在橢圓上得到相關(guān)參數(shù)的方程，聯(lián)立方程求橢圓離心率.題型12二級結(jié)論之中點弦問題橢圓或者雙曲線，已知中點時，當橢圓或雙曲線的焦點在x軸，K2.P為橢圓上一點，e為離心率，①A1，A②A1，A以上結(jié)論也適用于雙曲線.【例題12】（22·23上·徐州·期末）已知橢圓C：x2a2+y2b【答案】5【分析】設點的坐標，求斜率，由題知x02a∠BDO=∠BOD，知kAP?k【詳解】設Px0,y0則直線AP的斜率為y0?nx由題知x02a即x0+my0+n又∠BDO=∠BOD，則kAB=?k即b2a2=4即c2a2故答案為：5【變式12-1】1.（22·23下·安徽·一模）已知直線l與橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,N兩點，線段MN中點P在直線【答案】3【分析】利用點差法證明二級結(jié)論kMN?kOP=?b2a2【詳解】設Mx1,y1記坐標原點為O，直線l,OP,PQ的斜率分別為kMN又x12a即kMN?kOP=?即y0x0y0所以離心率e=c故答案為：32【變式12-1】2.（2023·貴州·模擬預測）設О為坐標原點，A為橢圓C：x2a2【答案】3【分析】設Ax1,y1，Bx2,y【詳解】設Ax1,y1，Bx2將A，B代入C，得x12a所以y1?y由E：x2?2mx+y由題意可知DE⊥AB，不妨設OD的斜率為k>0，且kDE∵OE=DE,△ODE是等腰三角形，∴∠DEx=2∠DOE，∴tan∠DEx=tan由OD的斜率與DE的斜率之積為2，可得2k21?所以kDE=22，所以k所以?24×所以C的離心率為e=1?故答案為：32【變式12-1】3.（2021·全國·模擬預測）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為4，上頂點為B，O為坐標原點，點D為OB的中點，雙曲線E：x2m2?y2n2=1(m>0，n>0)的左?右焦點分別與橢圓C的左?右頂點A1，AA．355 B．32 C．8【答案】D【分析】由橢圓C的短軸長為4得B的坐標，D的坐標∴設A1P的中點為M連接得kPA直線A1P的方程得M的坐標，P的坐標，求出雙曲線解得雙曲線E的離心率e=6【詳解】因為橢圓C：x2a2+y2b設A1P的中點為M，連接OM，則kPA1所以1a×?43=?4與直線OM的方程y=?43x聯(lián)立，得所以M的坐標為?35,45又雙曲線E：x2m2?y2n所以根據(jù)雙曲線的定義，得雙曲線的實軸長2m=9所以雙曲線E的離心率e=6故選：D【點睛】充分利用橢圓和雙曲線的幾何特征，特別是雙曲線的左右焦點與橢圓的左右頂點重合.結(jié)論拓展已知直線l：y=kx+mk≠0,m≠0與橢圓x2a2+y2b2=1相交于A，【變式12-1】4.（22·23下·南通·階段練習）已知兩點A，M在雙曲C:x2a2?y2A．5 B．6 C．7 D．2【答案】D【分析】設O為AB的中點，設Bx1,y1x1<0,y1<0，Mx2【詳解】如圖，不妨設A在第一象限，取BM的中點Q，連接OQ，因為O為AB的中點，故OQ//Bx1,y1x1B，M在雙曲線上，則x12a即y1+y2x故kBM?k又因為AB⊥AM，則OB⊥OQ，即所以y1x1?y又ON2+8OA即|ON|=?8|OA所以kBN=8y1故b2a2=7，則雙曲線根據(jù)雙曲線的對稱性可知，當A在第四象限時，同理可求得e=22當A在雙曲線的頂點時，由于AB⊥AM，此時AM與雙曲線相切，不合題意，故雙曲線C的離心率為e=22故選：D.題型13角平分線相關(guān)1.角平分線“拆”面積：S△ABC2.角平分線定理性質(zhì)：ABBD=【例題13】（22·23下·山西·模擬預測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．2 B．2 C．52 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得F1QF【詳解】∵PF2⊥F1分別在△PQF1∵PQ平分∠F1PF2且sin∠PQ故sin∠PQF1所以PF又∵PF2=所以b2a+2a故c2?a2=3所以e=c故選：B.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).方法定睛：1.雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e=c2.焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將雙曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．【變式13-1】1.（22·23下·湖北·模擬預測）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線Γ:x2a2?y2bA．7 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)CB=3F2A可知CB//【詳解】因為CB=3F2A，所以設F1F2=2c，則F2C=4c因為BF2平分∠F所以BC=2BF由雙曲線定義知AF2?AF又由BF1?所以BF2=所以∠F在△F1B即12=4把①代入上式得e=ca=故選：A．【變式13-1】2.（22·23高三·云南·階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，P為橢圓上一點，直線AP與直線x=a交于點M，∠PFB的角平分線與直線x=a【答案】1【分析】利用垂直關(guān)系而得出MB=2b2【詳解】由題意知，A?a,0，Ba,0，F(xiàn)c,0，當PF⊥AB由PFAF=MBAB，得又∠PFB的角平分線與直線x=a交于點N，可知NB=BF=a?c，所以MBNBS△MABS△NFB=12×AB×MB故答案為：13【變式13-1】3.（2023·山東煙臺·?？寄M預測）設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點為A．33 B．2?1 C．22【答案】D【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系以及橢圓的定義求解.【詳解】依題意作上圖，因為F1Q是∠PF1F又P點在圓x2+y2=根據(jù)橢圓的定義有PF由勾股定理得：F1F2即e2+2e?2=0解得e=3故選：D.【變式13-1】4.（2023春·江西贛州·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．橢圓C在第一象限存在點M，使得MA．6?12 B．5?12 C．【答案】B【分析】根據(jù)題意和橢圓定義可得到MF2，AM和a，c的關(guān)系式，再根據(jù)△MF1F2∽△MF【詳解】由題意得F1又由橢圓定義得MF記∠MF則∠AF2F則AF所以AM=4c?2a故△MF則MF則a?cc=2c?a故選：B．題型14圓錐曲線與圓相關(guān)【例題14】（2023·福建漳州·模擬預測）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1、F2，以F2為圓心的圓與x軸交于F1，B兩點，與y軸正半軸交于點A，線段A．3?12 B．12 C．3【答案】D【分析】先求出以F2為圓心的圓的方程，求出A0,3c，B3c,0【詳解】

設橢圓的半焦距為c，因為以F2為圓心的圓過F1，故該圓的半徑為故其方程為：x?c2令x=0，則y=±3c，結(jié)合A在y軸正半軸上，故令y=0，則x=?c或x=3c，故B3c,0故kF1A設Mm,因為A在y軸的正半軸上，F(xiàn)1在x軸的負半軸上，故m<0而BM=故3c?m2+3故m=?23c所以49c2整理得到：4e4?16故選：D.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過點在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.【變式14-1】1.（23·24高三上·福建福州·開學考試）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1、FA．3+12 C．5+12 【答案】D【分析】先求出以F2為圓心的圓的方程，求出A0,3c，B3c,0【詳解】設雙曲線的半焦距為c，因為以F2為圓心的圓過F1，故該圓的半徑為故其方程為：x?c2令x=0，則y=±3c，結(jié)合A在y軸正半軸上，故令y=0，則x=?c或x=3c，故B3c,0故kF1A設Mm,因為A在y軸的正半軸上，F(xiàn)1在x軸的負半軸上，故m<0而BM=故3c?m2+3故m=?23c所以49c2解得e2=4+72或4?則e2=4+故選：D.

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過點在圓錐曲線上等合理構(gòu)建.【變式14-1】2.（2023·全國·二模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右頂點分別是A1，A2，圓x2+y2=A．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】利用M在漸近線和圓x2+y2=a2【詳解】設Mx1,y1，因M在漸近線上，則y1=b又由題可得A1?a,0，則直線A1將其與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得：b2由題，其判別式大于0，設Px2,則x2=a又A2I⊥x，則kM則kMA2即ba?c故選：B【變式14-1】3.（22·23·馬鞍山·三模）已知F1?，?F2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1?(a>0?，?b>0)的左，右焦點，點M在雙曲線上，A．62 B．324 C．3【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得MF1?MF【詳解】由題意可得：MF可得4a2+2過點O分別作AB,PQ的垂線，垂足分別為C,D，則C為AB,MF1的中點，D為PQ,MF所以OC?由題意可得：OC2因為圓O:x2+可得AB=2所以四邊形APBQ的面積1=29可得3c4+b4所以C的離心率e=c故選：A.【點睛】方法點睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．【變式14-1】4.（22·23上·全國·階段練習）已知圓C1:x2+y?2332=163過雙曲線CA．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意可求得雙曲線的焦點坐標，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)推出∠F1MF2【詳解】由C1:x2+y?2故F1(?2,0)，F(xiàn)2圓心為C1(0,2由于|C1F因為M為雙曲線右支上一點，MF設MF1=m,故m2在△F1M即42=m故4a故雙曲線離心率為e=c故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題設條件可求得雙故曲線的焦半距，因此要求離心率，就要求出a的值，因此關(guān)鍵點就在于要利用圓的幾何性質(zhì)推得∠F1MF2=π題型15內(nèi)切圓相關(guān)【例題15】（22·23高三下·江西·階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2.點P在C上且位于第一象限，圓O1與線段F1P的延長線，線段PA．12 B．35 C．22【答案】A【分析】設圓O1、O2與x軸的切點分別為A，B，圓心O1、O2在∠PF1F2的角平分線上，從而切點D也在∠PF1F【詳解】由已知及平面幾何知識可得圓心O1、O2在設圓O1、O2與x軸的切點分別為A，B，由平面幾何知識可得，直線切點D也在∠PF1F由橢圓的定義知PF1+所以F2所以F2所以F1F1又圓O1與圓O所以圓O1與圓O因為O2B?即3c?aa+c=13，整理得4a=8c，故橢圓故選：A.【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式15-1】1.（2023·山東濰坊·模擬預測）已知雙曲線C1:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點F2與拋物線A．94 B．54 C．95【答案】B【分析】令F1(?c,0),F2(c,0)，由題設知c=p2>0且【詳解】由題設F1(?c,0),F2(c,0)由?c2a2?y2b如下圖示，內(nèi)切圓與△PF1F所以PD=PE,則(PD所以K為雙曲線右頂點，又△PF1F故b2=9，則c=5，所以離心率為故選：B【變式15-1】2.（22·23下·寧波·階段練習）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1,FA．13 B．12 C．33【答案】B【分析】設Px0,y0,Ix1,y1，設圓與P【詳解】設Px0,y0則PM=又PM+PN+所以PM+所以F1即F1過點P作直線x=a2c則PHP所以PHP所以PF2=e∴F1∴x1由三角形面積相等，得12∴y∵k∴y所以ca∴a=2c，即得e=1故選：B..【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式15-1】3.（23·24高三上·云南昆明·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點為F1【答案】2【分析】先根據(jù)傾斜角求出AB弦長，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式求出a,c的關(guān)系.【詳解】因為直線AB過左焦點F1且∠AF1聯(lián)立x2a2+y所以x1+x又因為∠AF1F2=所以S△AB根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可得r=2Sl，其中l(wèi)為△ABF所以r=2×22a【變式15-1】4.（2023·山西·二模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點Mx0,y0x0【答案】2【分析】設內(nèi)切圓與AM切于Q，與AF1切于P，由切線性質(zhì)知NF1=【詳解】設內(nèi)切圓與AM切于Q，與AF1切于P，由切線性質(zhì)知MN＝MQ=由對稱性知AF所以PF1=所以2a=M所以e=c故答案為：2【變式15-1】5.（22·23·紅河·一模）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1【答案】1+3/【分析】由OP=12F1F2可得PF1⊥PF2，【詳解】因為OP=12F1又因為P在雙曲線上，所以PF1|?|PPF1+因為△PF所以S△P即PF1?所以b2?ac=ab即c2?2ac?2a2=0，兩邊同時除以a因為e>1，所以e=1+3故答案為：1+3【點睛】思路點睛：雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF題型16與立體幾何相關(guān)【例題16】（2023·安徽安慶·一模）.如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設圖中球O1，球O2的半徑分別為4和1，球心距O1O2=6，截面分別與球O1，球O2切于點A．339 B．63 C．22【答案】A【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答.【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球O1，球O點A,B分別為圓O1,O橢圓長軸長2a=MN過O2作O2D⊥O1又|O則2a=|AB|=|O過O2作O2C⊥O1橢圓焦距2c=|EF|=|O所以橢圓的離心率e=2c故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.【變式16-1】1.（22·23高三下·河北衡水·階段練習）已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，過點F2作直線AB⊥F1F2交C

A．3 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知銳角二面角α=∠A【詳解】設雙曲線的半焦距為c>0，由題意可得：AF則A'且A'F1在△A'F在△A'F因為1?cosα1?可得a2+c故選：C.【點睛】方法點睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值【變式16-1】2.（2023·云南大理·模擬預測）某同學所在的課外興趣小組計劃用紙板制作一個簡易潛望鏡模型（圖甲），該模型由兩個相同的部件拼接粘連制成，每個部件由長方形紙板NCEM（圖乙）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長方形OCEF卷后為圓柱O1O2的側(cè)面．為準確畫出裁剪曲線，建立如圖所示的以O為坐標原點的平面直角坐標系，設Px,y為裁剪曲線上的點，作PH⊥x軸，垂足為H．圖乙中線段OH卷后形成的圓弧OH（圖甲），通過同學們的計算發(fā)現(xiàn)y與x之間滿足關(guān)系式

A．255 C．12 D．【答案】B【分析】結(jié)合題意，利用函數(shù)y=1?cos【詳解】函數(shù)y=1?cosx2所以相應圓柱的底面圓的周長為4π故根據(jù)題意可知該橢圓的短軸長為2b=4，即b=2；又y=1?cos故橢圓的長軸長為2a=42+故橢圓的離心率為e=c故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題關(guān)鍵的關(guān)鍵在于根據(jù)題中所述，明確橢圓的長軸長和短軸長與已知函數(shù)之間的關(guān)系，進而求得長軸長和短軸長，從而求得答案.【變式16-1】3.（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為.

【答案】3【分析】由題意如圖所示，由球的半徑可求得BF,BO的值，進而可得∠BOF=∠ODM的正弦值，所以可求出OD的值，即可以求出a的值，由圓柱的底面半徑可以求出【詳解】如圖所示：

由題意可得BF=1,BO=2又因為sin∠ODM=OMODsin∠ODM=所以OD=a=2，而2b=2，即b=1所以c=a2?故答案為：32【變式16-1】4.（22·23下·遼寧·階段練習）如圖所示圓錐，C為母線SB的中點，點O為底面圓心，AB為底面圓的直徑，且SC，OB，SB的長度成等比數(shù)列，一個平面過A，C，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢