自動(dòng)控制原理第四章2015.詳解

2024年8月13日第四章根軌跡法1第四章

(8學(xué)時(shí))信息學(xué)院二○一五年十一月Root-locusanalysis根軌跡法2024年8月13日第四章根軌跡法2根軌跡的基本概念根軌跡的繪制法則用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性主要內(nèi)容2024年8月13日第四章根軌跡法3

了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念；掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地應(yīng)用到根軌跡的繪制過程中；學(xué)習(xí)重點(diǎn)2024年8月13日第四章根軌跡法4閉環(huán)極點(diǎn)分布同單位階躍響應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)現(xiàn)問題：控制系統(tǒng)分析的關(guān)鍵是找到閉環(huán)極點(diǎn)！提出問題：是否存在其他非解析的方法求得閉環(huán)極點(diǎn)？解決問題：通過開環(huán)零極點(diǎn)來求得閉環(huán)極點(diǎn)。2024年8月13日第四章根軌跡法5開環(huán)傳遞函數(shù)(開環(huán)零、極點(diǎn)+開環(huán)增益)一個(gè)美好的愿望：閉環(huán)零極點(diǎn)全部可能的分布圖用時(shí)域分析法分析系統(tǒng)的三性求解難！2024年8月13日第四章根軌跡法6根軌跡法根軌跡法的任務(wù)一種由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的簡(jiǎn)便方法。它是一種用圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系的方法。

1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。

由已知的開環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。2024年8月13日第四章根軌跡法74.1根軌跡法的基本概念例4.1二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程閉環(huán)極點(diǎn)1、什么是根軌跡時(shí)間常數(shù)型根軌跡型2024年8月13日第四章根軌跡法84.1根軌跡法的基本概念例4.1單位反饋二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程閉環(huán)極點(diǎn)1、什么是根軌跡2024年8月13日第四章根軌跡法900-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j當(dāng)取不同值時(shí)，閉環(huán)特征根如下：2024年8月13日第四章根軌跡法10由0→∞變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。1、根軌跡上的點(diǎn)均為閉環(huán)極點(diǎn)。2、直觀地表示了參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)特征根的變化。3、利用根軌跡可使我們?cè)趶V泛的范圍內(nèi)了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)特性。分析系統(tǒng)性能。根軌跡的特點(diǎn)：2024年8月13日第四章根軌跡法11可見：根軌跡是分析系統(tǒng)的有力工具。2024年8月13日第四章根軌跡法122、根軌跡方程（根軌跡滿足的基本條件）式中：——開環(huán)零點(diǎn)；

——開環(huán)極點(diǎn)；

——根軌跡放大系數(shù)?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖開環(huán)傳遞函數(shù):零極點(diǎn)形式根軌跡型2024年8月13日第四章根軌跡法13或可寫作閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為根軌跡方程2024年8月13日第四章根軌跡法14這個(gè)方程式表達(dá)了開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式的關(guān)系，該方程的解即為閉環(huán)特征根，因此該式又稱為根軌跡方程。令s=σ+jω

代入可得復(fù)數(shù)方程：注意：s為閉環(huán)傳函的特征根(極點(diǎn))，-zj和-pi為開環(huán)傳函的零點(diǎn)和極點(diǎn)。

復(fù)數(shù)幅值和相角2024年8月13日第四章根軌跡法15幅值條件：根軌跡方程：2024年8月13日第四章根軌跡法16輻角條件：（充分必要條件）與Kg

無關(guān)式中：—第i個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量輻角；

—第i個(gè)開環(huán)極點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量輻角；注：根軌跡上的點(diǎn)均滿足幅值條件和輻角條件。根軌跡方程：2024年8月13日第四章根軌跡法17s1123S1不滿足幅角條件，因此不是根軌跡上的點(diǎn)。1231、解二階方程求得根軌跡。2、通過檢驗(yàn)是否滿足幅角

條件來求得根軌跡。2024年8月13日第四章根軌跡法18知道了根軌跡上的點(diǎn)滿足的基本條件，實(shí)際上還是不能繪制出根軌跡。要比較快捷的繪制根軌跡，需要找出根軌跡的一些基本規(guī)律。相角條件是確定s平面上根軌跡的充分必要條件。繪制根軌跡時(shí)，只需要使用相角條件。當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才使用幅值條件。

說明2024年8月13日第四章根軌跡法19結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。1．起點(diǎn)（=0）4.2根軌跡的繪制法則4.2.1繪制根軌跡的一般法則2024年8月13日第四章根軌跡法20開環(huán)有限零點(diǎn)結(jié)論：n

階系統(tǒng)有m條根軌跡終止于開環(huán)有限零點(diǎn)。2.終點(diǎn)根軌跡方程可寫成：

結(jié)論：n-m條根軌跡終止于無限遠(yuǎn)（開環(huán)無限零點(diǎn)）。2024年8月13日第四章根軌跡法21根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)：2024年8月13日第四章根軌跡法223.

根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù)

根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。(實(shí)際系統(tǒng)n>m，根軌跡描述特征根的變化規(guī)律)

根軌跡是連續(xù)的曲線。(Kg是連續(xù)變化的)

根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸。(實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)→特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)→特征根不是實(shí)數(shù)就是共軛復(fù)數(shù))結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。2024年8月13日第四章根軌跡法23-p10數(shù)學(xué)知識(shí)補(bǔ)充：sS是終點(diǎn)-Pj

是起點(diǎn)s-z1-p1s-p4-p5開環(huán)零點(diǎn)用○表示開環(huán)極點(diǎn)用×表示2024年8月13日第四章根軌跡法24

判斷方法：在實(shí)軸上找一試驗(yàn)點(diǎn)S，如果S點(diǎn)的右側(cè)的開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之合為偶數(shù)個(gè)，則該點(diǎn)不在根軌跡上；若為奇數(shù)個(gè)則在根軌跡上。(奇是偶不是)4．實(shí)軸上的根軌跡結(jié)論：在實(shí)軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目的總和為奇數(shù)。根據(jù)輻角條件：2024年8月13日第四章根軌跡法25

共軛復(fù)極點(diǎn)的出現(xiàn)相當(dāng)于增加了對(duì)輻角條件沒有影響，因此實(shí)軸上的根軌跡的判斷方法不變。2024年8月13日第四章根軌跡法26

兩條或兩條以上的根軌跡分支在S

平面上相遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（或匯合點(diǎn)）。此時(shí)特征方程式會(huì)出現(xiàn)重根。5．

根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)swj4p3p1p2pAB0[s]C2024年8月13日第四章根軌跡法27設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為2024年8月13日第四章根軌跡法28

分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo)的計(jì)算公式：如果上式的階次較高，計(jì)算重根就比較麻煩。這時(shí)可采用圖解法（或試探法）來確定重根。2024年8月13日第四章根軌跡法29（1）若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)）或開環(huán)極點(diǎn)（包括無限極點(diǎn)），則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。（2）分離點(diǎn)若在復(fù)平面上，則一定是成對(duì)出現(xiàn)的。（3）只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點(diǎn)。分離點(diǎn)的確定需代入特征方程中驗(yàn)算。注2024年8月13日第四章根軌跡法30解：（2）畫根軌跡。在-1-∞之間存在分離點(diǎn)2024年8月13日第四章根軌跡法31若P1，P2為實(shí)極點(diǎn)，則該系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖所示。1、驗(yàn)證了“若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)（包括無限的），則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。2、實(shí)軸等分圓周，由根軌跡的對(duì)稱性決定。3、可以證明該根軌跡是圓。2024年8月13日第四章根軌跡法32例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為用Matlab化根軌跡。

%8-23b.mnum=[10];den=conv([1-0.5+0.5i],[1-0.5-0.5i]);w=tf(num,den);rlocus(w)則對(duì)應(yīng)根軌跡為：2024年8月13日第四章根軌跡法33設(shè)l為進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡的條數(shù)，則分離角當(dāng)l=2時(shí)，分離角為分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向和離開分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。2024年8月13日第四章根軌跡法34

當(dāng)

n>m

時(shí)，則有（n-m)

條根軌跡分支終止于無限零點(diǎn)。這些根軌跡分支延漸近線方向趨向無窮遠(yuǎn)的，因此漸近線即為無窮遠(yuǎn)處的根軌跡。漸近線由它與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)來確定。6、根軌跡漸近線漸近線的條數(shù)：n-m漸近線包括：與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)。研究根軌跡是按什么走向趨向無窮遠(yuǎn)。2024年8月13日第四章根軌跡法35（1）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)求解原理：對(duì)于無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)來說，所有開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)都聚集在一起，其位置為-σk。當(dāng)時(shí)，，即得由幅值條件2024年8月13日第四章根軌跡法36多項(xiàng)式除法2024年8月13日第四章根軌跡法37令上式中等式兩邊的項(xiàng)系數(shù)相等，得漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：(a1-b1)2024年8月13日第四章根軌跡法38（2）漸近線與實(shí)軸夾角求解原理：對(duì)于無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)來說，與所有開環(huán)有限零點(diǎn)、極點(diǎn)的夾角都相等，為，即獨(dú)立的漸近線只有（n-m）條。代入輻角條件得：即漸近線的傾角為：2024年8月13日第四章根軌跡法39例4.3設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定其根軌跡漸近線。解（1）計(jì)算漸近線傾角。因?yàn)?所以可得漸近線傾角為2024年8月13日第四章根軌跡法40因?yàn)?；所以漸近線交點(diǎn)為（2）計(jì)算漸近線交點(diǎn)。2024年8月13日第四章根軌跡法41出射角：根軌跡離開S平面上開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。

入射角：根軌跡進(jìn)入S平面上開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。7．根軌跡的出射角和入射角wjs3P2-P1-P0[s]1-z2-Z2024年8月13日第四章根軌跡法42例4.4已知開環(huán)傳遞函數(shù)為計(jì)算起點(diǎn)（-1+j1）的出射角。2024年8月13日第四章根軌跡法43由于

點(diǎn)無限靠近（-1+j1）點(diǎn)，可用（-1+j1）代換，則有解、對(duì)于根軌跡上無限靠近（-1+j1）的點(diǎn)應(yīng)滿足輻角條件，即2024年8月13日第四章根軌跡法44把以上諸值代入輻角條件，即得起點(diǎn)（-1+j1）的出射角為而角度替換后得：2024年8月13日第四章根軌跡法45同理可得入射角的計(jì)算公式為通過這個(gè)例子，可以得到計(jì)算出射角的公式為2024年8月13日第四章根軌跡法46

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài).

8．根軌跡與虛軸的交點(diǎn)確定交點(diǎn)的方法有二：（1）把

代入特征方程式；（2）利用勞斯判據(jù)。(勞斯表第一列元素不

變號(hào)，但有為零項(xiàng))2024年8月13日第四章根軌跡法47例4.5設(shè)有開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界放大系數(shù)。

設(shè)

時(shí)根軌跡與虛軸相交，于是令上式中解:方法（1）

根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得閉環(huán)特征方程式為2024年8月13日第四章根軌跡法48

則得

亦即

解得：，對(duì)應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)；

,對(duì)應(yīng)根軌跡與虛軸相交。

交點(diǎn)處的（臨界放大系數(shù)）為:2024年8月13日第四章根軌跡法49

當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。2024年8月13日第四章根軌跡法50方法（2）用勞斯判據(jù)計(jì)算交點(diǎn)和臨界放大系數(shù)勞斯表特征方程=0臨界穩(wěn)定則得臨界放大系數(shù)2024年8月13日第四章根軌跡法51根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可根據(jù)行的輔助方程求得，即令上式中，即得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為2024年8月13日第四章根軌跡法52閉環(huán)特征方程還可寫為：式中：是一個(gè)常數(shù)，它是各特征根之和。9．根軌跡的走向(根之和)

當(dāng)n-m>=2時(shí),一些根軌跡右行,則另一些根軌跡必左行。理由：與Kg無關(guān)，有限值閉環(huán)極點(diǎn)2024年8月13日第四章根軌跡法53當(dāng)一些根隨Kg的增加而增加時(shí)，必有另一些根隨Kg的增加而減小。當(dāng)Kg變化時(shí)，隨Kg變化的n個(gè)閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根軌跡的自平衡性)結(jié)論:(

n-m>=2時(shí))2024年8月13日第四章根軌跡法54（1）起點(diǎn)（）:開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)即根軌跡的起點(diǎn)。（2）終點(diǎn)（）:根軌跡的終點(diǎn)即開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)（包括

個(gè)有限零點(diǎn)

和

個(gè)無限零點(diǎn)）。（3）根軌跡條數(shù)及對(duì)稱性:根軌跡條數(shù)為，

根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。（4）實(shí)軸上的根軌跡:實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn),極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和應(yīng)是奇數(shù)。根軌跡的九條繪制法則：2024年8月13日第四章根軌跡法55（5）分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)滿足方程（6）根軌跡的漸近線。

漸近線的傾角

漸近線交點(diǎn)2024年8月13日第四章根軌跡法56（9）根軌跡走向。如果特征方程的階次，則一些根軌跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行。入射角出射角（7）根軌跡的出射角與入射角。（8）與虛軸交點(diǎn)。將代入閉環(huán)特征方程，令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等，求出

和臨界。2024年8月13日第四章根軌跡法57⑵根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值Kg的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。⑴根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)-pi)用符號(hào)“×”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開環(huán)零點(diǎn)-zj)用符號(hào)“o”標(biāo)示。手工繪圖時(shí)還需注意：2024年8月13日第四章根軌跡法58

設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為4.2.2自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡1.二階系統(tǒng)的根軌跡2024年8月13日第四章根軌跡法592024年8月13日第四章根軌跡法60二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為

則從原點(diǎn)作阻尼線0R,

交根軌跡于R（見右圖）。開環(huán)放大系數(shù)

應(yīng)為

上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳參數(shù)相同

求最佳阻尼時(shí)候的Kk?2024年8月13日第四章根軌跡法61

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，開環(huán)傳遞函數(shù)為2．開環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)2024年8月13日第四章根軌跡法62復(fù)平面上的根軌跡是一個(gè)圓（證明詳見教材）2024年8月13日第四章根軌跡法63(0,a)

與前例對(duì)比可知：在S左半面適當(dāng)位置引入開環(huán)零點(diǎn)，將使根軌跡向左偏移，特征根距虛軸距離增大，可以顯著改善系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。零點(diǎn)對(duì)根軌跡有吸引作用！S1S22024年8月13日第四章根軌跡法64零點(diǎn)對(duì)根軌跡有吸引作用2024年8月13日第四章根軌跡法65二階系統(tǒng)附加一個(gè)極點(diǎn)的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖如下圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為3.三階系統(tǒng)的根軌跡2024年8月13日第四章根軌跡法662024年8月13日第四章根軌跡法672024年8月13日第四章根軌跡法68本例說明：二階系統(tǒng)中附加一個(gè)極點(diǎn)，隨著增大，根軌跡會(huì)向右變化，并穿過虛軸，使系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。極點(diǎn)對(duì)根軌跡有排斥的作用！

2024年8月13日第四章根軌跡法69極點(diǎn)對(duì)根軌跡有排斥的作用2024年8月13日第四章根軌跡法70已知系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

⑵共有4個(gè)根軌跡分支，連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。

⑶實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由0到-4的線段。解、⑴根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)-p1=0、-p2=-4、-p3=-2+4j、-p4=-2-4j；

終止于4個(gè)無限零點(diǎn)（沒有有限零點(diǎn))。

例題2024年8月13日第四章根軌跡法71漸近線與橫軸的夾角為取μ=0、l、2、3時(shí)，分別為45°、135°、225°、315°。(4)漸近線:漸近線在橫軸上的公共交點(diǎn)為2024年8月13日第四章根軌跡法72求解上式可得三個(gè)分離點(diǎn)為分離角l=2時(shí)，(5)分離點(diǎn)和分離角2024年8月13日第四章根軌跡法73復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3和p4的出射角(6)出射角(7)與虛軸的交點(diǎn)0-4----2024年8月13日第四章根軌跡法740-2-42024年8月13日第四章根軌跡法75一些常見的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及其相應(yīng)的根軌跡2024年8月13日第四章根軌跡法764.2.3零度根軌跡定義：如果負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母中S最高次冪系數(shù)不同號(hào)，或者正反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函的分子、分母中s最高次冪同號(hào)，系統(tǒng)根軌跡為零度根軌跡。最高次冪系數(shù)不同號(hào)：2024年8月13日第四章根軌跡法77由根軌跡方程1-Wk(s)=0推得相角條件為所以，零度根軌跡和常規(guī)（180o）根軌跡相比凡是和相角有關(guān)系的繪制法則都要發(fā)生變化。正反饋時(shí)：0度2024年8月13日第四章根軌跡法78入射角出射角變化的繪制法則：實(shí)軸上的根軌跡：若實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上。漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角為：根軌跡的起始角和終止角

2024年8月13日第四章根軌跡法79

例4.7試?yán)L制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。解（1）

二個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：，；一個(gè)有限零點(diǎn)：和一個(gè)無限零點(diǎn)。

2024年8月13日第四章根軌跡法80（2）實(shí)軸上根軌跡：

在實(shí)軸的和區(qū)間存在根軌跡。（3）分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)：

分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)分別為2024年8月13日第四章根軌跡法81

根軌跡如下圖所示。

不難證明，復(fù)平面上的軌跡是一個(gè)圓，圓心為有限零點(diǎn)，半徑為。

2024年8月13日第四章根軌跡法82定義：以非根軌跡增益(比如比例微分環(huán)節(jié)或慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù))為可變參數(shù)繪制的根軌跡。閉環(huán)特征方程等效開環(huán)系統(tǒng)與常規(guī)（常義）根軌跡的開環(huán)傳函具有相同形式變形繪制思路：4.2.4參數(shù)根軌跡2024年8月13日第四章根軌跡法83假設(shè)系統(tǒng)的可變參數(shù)是某一時(shí)間常數(shù)T，原特征方程式變?yōu)槭街?，、分別為等效的開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式，T的位置與原根軌跡放大系數(shù)完全相同。2024年8月13日第四章根軌跡法84該系統(tǒng)在繪制以為參變量的根軌跡時(shí)，應(yīng)遵循零度根軌跡的繪制規(guī)則。例4.9給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試作出以α為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析α取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解:閉環(huán)特征方程

改寫為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

用所有不含α的項(xiàng)做分母2024年8月13日第四章根軌跡法85相應(yīng)的根軌跡繪于右圖。由圖可知，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍：例4.9系統(tǒng)的根軌跡本例說明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系統(tǒng)、處理非最小相位系統(tǒng)時(shí)，都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。2024年8月13日第四章根軌跡法86

4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性根軌跡繪出以后，對(duì)于一定的

值，即可利用幅值條件，確定相應(yīng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）。如果閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置以及已知的輸入信號(hào)，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。用根軌跡法分析控制系統(tǒng)的步驟:1.

畫出系統(tǒng)的根軌跡圖2.

在根軌跡上確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置3.

根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)的分布分析系統(tǒng)性能2024年8月13日第四章根軌跡法87

4.3.1在根軌跡上確定特征根

根據(jù)已知的值，在根軌跡上確定特征根的位置時(shí)，可以采用試探法。

1.取試驗(yàn)點(diǎn)

2.連接與開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)于n>=m的系統(tǒng)，可先在實(shí)軸上選實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，找出閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)后再確定閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)。3.量得模值，帶入幅值條件，求得Kg值。2024年8月13日第四章根軌跡法88

由圖可知：在有一實(shí)根，設(shè)其為:實(shí)根求法：1.試探法

2.作圖法由特征方程求得時(shí)的一個(gè)特征根：例4.11系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，確定的閉環(huán)極點(diǎn)。解閉環(huán)特征方程為2024年8月13日第四章根軌跡法89設(shè)另外兩個(gè)復(fù)根為：由特征方程得:根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：可求得二共軛復(fù)根:2024年8月13日第四章根軌跡法90例4.11已知系統(tǒng)如圖，繪制根軌跡，并確定ξ=0.5時(shí)的Kg值及對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。解：2024年8月13日第四章根軌跡法91由特征方程根與系數(shù)的關(guān)系求得另一實(shí)根為：由幅值條件求得：2024年8月13日第四章根軌跡法92

4.3.2用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能控制系統(tǒng)分析：

定性分析－－穩(wěn)定性分析。定量分析－－暫態(tài)響應(yīng)分析，定量計(jì)算性能指標(biāo)。控制系統(tǒng)的性能由閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置決定的。根軌跡是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，根軌跡法分析系統(tǒng)性能的最大優(yōu)點(diǎn)就是可以直觀地看出系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化---參數(shù)的可視化，這也正是時(shí)域法的不足。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點(diǎn)位于恰當(dāng)?shù)奈恢?，獲得理想的系統(tǒng)性能。2024年8月13日第四章根軌跡法93(1)閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)暫態(tài)過程主要決定于離虛軸近的極點(diǎn)。一般當(dāng)時(shí)，可忽略極點(diǎn)的影響。這就是所謂主導(dǎo)極點(diǎn)的概念。使高階下降階，從而簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析。由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置后，就可以按第三章所介紹的方法來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。2024年8月13日第四章根軌跡法94①假設(shè)不變隨著阻尼角的改變，極點(diǎn)將沿著以為半徑的圓弧移動(dòng)。(2)閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)復(fù)極點(diǎn)由（或阻尼角）和決定系統(tǒng)的暫態(tài)特性。2024年8月13日第四章根軌跡法95②假設(shè)不變則隨著增大，極點(diǎn)將沿矢量方向延伸。等阻尼線促使系統(tǒng)以較快的速度達(dá)到穩(wěn)態(tài)！2024年8月13日第四章根軌跡法96③

是表征系統(tǒng)指數(shù)衰減的系數(shù)，它決定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。有相同的系統(tǒng)，將有相同的衰減速度和大致相同的調(diào)節(jié)時(shí)間。等衰減系數(shù)線2024年8月13日第四章根軌跡法97一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)

（3）閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外加一個(gè)零點(diǎn)

將增大系統(tǒng)超調(diào)量但是，如果，則可以不計(jì)零點(diǎn)的影響，直接用二階系統(tǒng)的指標(biāo)來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。2024年8月13日第四章根軌跡法98

(4)閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外加一個(gè)實(shí)極點(diǎn)

系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)極點(diǎn)當(dāng)實(shí)極點(diǎn)與虛軸的距離比復(fù)極點(diǎn)實(shí)部與虛軸的距離大5倍以上時(shí)，可以不考慮這一負(fù)極點(diǎn)的影響，直接用二階系統(tǒng)的指標(biāo)來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。主導(dǎo)極點(diǎn)2024年8月13日第四章根軌跡法99

（5）閉環(huán)系統(tǒng)中一對(duì)相距很近的實(shí)極點(diǎn)和零點(diǎn)稱為偶極子。偶極子對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響很小，可以忽略不計(jì)。2024年8月13日第四章根軌跡法100

增加開環(huán)零點(diǎn)將引起系統(tǒng)根軌跡形狀的變化，從而影響了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其暫態(tài)響應(yīng)性能。如果在系統(tǒng)中增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)槔?.12設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4.3.3開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響2024年8月13日第四章根軌跡法101開環(huán)零點(diǎn)在不同取值情況下的根軌跡

2024年8月13日第四章根軌跡法102

從以上四種情況來看，一般第三種情況比較理想，這時(shí)系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，其暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)也比較令人滿意。

可見，增加開環(huán)零點(diǎn)將使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲（零點(diǎn)對(duì)根軌跡具有吸引的作用），并在趨向于附加零點(diǎn)的方向發(fā)生變形。如果設(shè)計(jì)得當(dāng)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)均可得到顯著改善。2024年8月13日第四章根軌跡法103例4.13設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)根軌跡如下圖a所示。若系統(tǒng)增加開環(huán)極點(diǎn)，開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)槠湎鄳?yīng)的根軌跡如下圖b所示。4.3.4開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響2024年8月13日第四章