新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第6章　§6.4　數(shù)列中的構(gòu)造問題培優(yōu)課（原卷版）

§6.4數(shù)列中的構(gòu)造問題數(shù)列中的構(gòu)造問題是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過構(gòu)造新的數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式．題型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命題點(diǎn)1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)數(shù)列{an}滿足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，則a2024等于()A．22023－1 B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋1(2)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3,an)＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________．命題點(diǎn)2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．命題點(diǎn)3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝(2n＋1)·3n B．a(chǎn)n＝(n－1)·2nC．a(chǎn)n＝(2n－1)·3n D．a(chǎn)n＝(n＋1)·2n(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝6an＋3n，則an＝________.思維升華形式構(gòu)造方法an＋1＝pan＋q引入?yún)?shù)c，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn兩邊同除以qn＋1，構(gòu)造新的數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))跟蹤訓(xùn)練1(1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an等于()A．n·2n－1 B．n·2nC．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和為Sn，則a2023(S2023＋2023)的值為()A．22023－2 B．22023－1C．2 D．1(3)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n，a1＝2，則an＝________.題型二相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4(1)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10等于()A．47 B．48C．49 D．410(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.思維升華可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個(gè)根，若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．跟蹤訓(xùn)練2若x＝1是函數(shù)f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的極值點(diǎn)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.題型三倒數(shù)為特殊數(shù)列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(形如an＋1＝\f(pan,ran＋s)型))例5(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,4an＋1)(n∈N*)，則滿足an>eq\f(1,37)的n的最大取值為()A．7B．8C．9D．10(2)(多選)數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(an,1＋2an)(n∈N*)，a1＝1，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\f(2,a10)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a17) B.SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49思維升華兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化歸為bn＋1＝pbn＋q型，求出eq\f(1,an)的表達(dá)式，再求an.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,3x＋1)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為____________．課時(shí)精練1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋1，則a4的值為()A．15B．23C．32D．422．在數(shù)列{an}中，a1＝5，且滿足eq\f(an＋1,2n－5)－2＝eq\f(an,2n－7)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．2n－3 B．2n－7C．(2n－3)(2n－7) D．2n－53．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－n B．a(chǎn)n＝2n＋nC．a(chǎn)n＝3n－1 D．a(chǎn)n＝3n＋14．已知數(shù)列{an}滿足a2＝eq\f(1,4)，an－an＋1＝3anan＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于()A.eq\f(1,3n－2) B.eq\f(1,3n＋2)C．3n－2 D．3n＋25．在數(shù)列{an}中，若a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)，則an等于()A．2n－1 B.3n－1C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于()A.eq\f(1,3)·2n＋eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)·2n＋eq\f(1,3)·(－1)nC.eq\f(2n＋1,3)＋eq\f(1,3) D.eq\f(2n＋1,3)＋eq\f(1,3)·(－1)n7．(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2＋3an)(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))為等差數(shù)列B．{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2n－1－3)C．{an}為遞減數(shù)列D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和Tn＝2n＋2－3n－48．將一些數(shù)排成如圖所示的倒三角形，其中第一行各數(shù)依次為1,2,3，…，2023，從第二行起，每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行只有一個(gè)數(shù)M，則M等于()A．2023×22020 B．2024×22021C．2023×22021 D．2024×220229．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(3,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，若cn＝eq\f(3n,an)，則cn＝____________.10．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，則a2＝________.11．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝3an＋2n，則an＝________.12．英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求