高考數(shù)學一輪總復習 第十二篇 第1講 合情推理與演繹推理 理 湘教版

第十二篇推理證明、算法、復數(shù)第1講合情推理與演繹推理A級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下面幾種推理過程是演繹推理的是 ()．A．某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人數(shù)都超過50人B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C．平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))，由此歸納出{an}的通項公式解析A、D是歸納推理，B是類比推理；C運用了“三段論”是演繹推理．答案C2．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝()．A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析由所給函數(shù)及其導數(shù)知，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，因此當f(x)是偶函數(shù)時，其導函數(shù)應為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．答案D3．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)，R為實數(shù)集，C為復數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“a，c∈C，則a－c＝0?a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，則復數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”；④“若x∈R，則|x|<1?－1<x<1”類比推出“若z∈C，則|z|<1?－1<z<1”．其中類比結(jié)論正確的個數(shù)有 ()．A．1 B．2 C．3 D．4解析類比結(jié)論正確的只有①②.答案B4．(·江西)觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則52011的末四位數(shù)字為 ()．A．3125 B．5625 C．0625 D．8125解析∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125,510＝9765625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n)，則f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)∴52011與57的末四位數(shù)字相同，均為8125.故選D.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5．(彭水一模)以下是對命題“若兩個正實數(shù)a1，a2滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，則a1＋a2≤eq\r(2)”的證明過程：證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因為對一切實數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).根據(jù)上述證明方法，若n個正實數(shù)滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1時，你能得到的結(jié)論為________________________________(不必證明)．解析依題意，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，則有f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，Δ＝[－2(a1＋a2＋…＋an)]2－4n＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，即有a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n).答案a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n)6．用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規(guī)律拼成若干個圖形，則按此規(guī)律，第100個圖形中有白色地磚________塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是________．解析按拼圖的規(guī)律，第1個圖有白色地磚3×3－1(塊)，第2個圖有白色地磚3×5－2(塊)，第3個圖有白色地磚3×7－3(塊)，…，則第100個圖中有白色地磚3×201－100＝503(塊)．第100個圖中黑白地磚共有603塊，則將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，豆子落在白色地磚上的概率是eq\f(503,603).答案503eq\f(503,603)三、解答題(共25分)7．(12分)給出下面的數(shù)表序列：eq\a\vs4\al(表1表2表3,113135,448,12)…其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)．解表4為1357 4812122032它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列．將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列．8．(13分)(·福建)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·九江質(zhì)檢)觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為 ()．A．76 B．80 C．86 D．92解析由|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B.答案B2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ()．A．289 B．1024C．1225 D．1378解析觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，…，記該數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3．(·黔江模擬)對一個邊長為1的正方形進行如下操作；第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構(gòu)成如圖1所示的幾何圖形，其面積S1＝eq\f(5,9)；第二步，將圖1的5個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同的操作，得到圖2；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))n.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn＝________.解析對一個棱長為1的正方體進行如下操作：第一步，將它分割成3×3×3個小正方體，接著用中心和8個角的9個小正方體，構(gòu)成新1幾何體，其體積V1＝eq\f(9,27)＝eq\f(1,3)；第二步，將新1幾何體的9個小正方體中的每個小正方體都進行與第一步相同的操作，得到新2幾何體，其體積V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2；…，依此類推，到第n步，所得新n幾何體的體積Vn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n4．(·湖南)設N＝2n(n∈N*，n≥2)，將N個數(shù)x1，x2，…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0＝x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應的前eq\f(N,2)和后eq\f(N,2)個位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，將此操作稱為C變換．將P1分成兩段，每段eq\f(N,2)個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2；當2≤i≤n－2時，將Pi分成2i段，每段eq\f(N,2i)個數(shù)，并對每段作C變換，得到Pi＋1.例如，當N＝8時，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置．(1)當N＝16時，x7位于P2中的第________個位置；(2)當N＝2n(n≥8)時，x173位于P4中的第________個位置．解析(1)當N＝16時，P1＝x1x3x5x7x9…x16，此時x7在第一段內(nèi)，再把這段變換x7位于偶數(shù)位的第2個位置，故在P2中，x7位于后半段的第2個位置，即在P2中x7位于第6個位置．(2)在P1中，x173位于兩段中第一段的第87個位置，位于奇數(shù)位置上，此時在P2中x173位于四段中第一段的第44個位置上，再作變換得P3時，x173位于八段中第二段的第22個位置上，再作變換時，x173位于十六段中的第四段的第11個位置上，也就是位于P4中的第(3×2n－4＋11)個位置上．答案63×2n－4＋11三、解答題(共25分)5．(12分)觀察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…問：(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？(3)2013是第幾行的第幾個數(shù)？解(1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n，∴第n行的最后一個數(shù)是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝eq\f(2n－1＋2n－1·2n－1,2)＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2013<2048，∴2013在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1024，由2013－1024＋1＝990，知2013是第11行的第990個數(shù)．6．(13分)(·南昌二模)將各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成數(shù)表，如圖所示．記表中各行的第一個數(shù)a1，a2，a4，a7，…，構(gòu)成數(shù)列{bn}，各行的最后一個數(shù)a1，a3，a6，a10，…，構(gòu)成數(shù)列{cn}，第n行所有數(shù)的和為Sn(n＝1,2,3,4，…)．已知數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序每一個數(shù)與它前面一個數(shù)的比是常數(shù)q，且a1＝a13＝1，a31＝eq\f(5,3).(1)求數(shù)列{cn}，{Sn}的通項公式；(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Tn的表達式．解(1)bn＝dn－d＋1，前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)個數(shù)，因為13＝eq\f