初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見心理問題與應(yīng)對策略

初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見心理問題與應(yīng)對策略

昌國良

湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院

序：中學(xué)教師應(yīng)成為研究中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理過程的主力軍

教學(xué)講效率：分析有效性

教學(xué)有根據(jù)：不盲從

教學(xué)有針對性：準確了解

好奇心是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力（激發(fā)求識欲）

數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵（注重數(shù)學(xué)理解）

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本特征（訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維）

認知能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效保證（學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)）

初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生形成發(fā)展自我監(jiān)控能力，開發(fā)其元認知潛

能。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生基本心理過程的要求

1.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的注意（課堂上注意力不集中，是影響課堂效率

的基本因素）

（1）數(shù)學(xué)注意中的心理問題

①注意力難集中

數(shù)學(xué)內(nèi)容不含情感因素，也無實驗的新奇和吸引人處，只有思維

的嚴密性和邏輯性。不同的人對數(shù)學(xué)的感覺不一樣，因而受注意的情

況也不一樣，陳省身說“數(shù)學(xué)好玩”，而多數(shù)人看來，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不總

是好玩和有趣。數(shù)學(xué)內(nèi)容不太容易引起注意，但需較強的注意力，教

學(xué)時需增加情感因素，一一實例中的情感，增加教師的表演，通過教

學(xué)引發(fā)好奇心，使學(xué)生親其師，信其道。

②容易走神

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度高，需要專注力，不能走神

（抽象性、理論性、邏輯性）一（直觀呈現(xiàn)、相對實際，講授完整）

③容易顧此失彼

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求高，需要注意分配力。如：代數(shù)式運算時要注意字

母、系數(shù)、指數(shù)等。

④學(xué)習(xí)上容易產(chǎn)生視而不見的現(xiàn)象

某些信息難以引起足夠的注意一一沒注意導(dǎo)致解不出題。（需理

解后才能注意到！）

例如圖ZAOB=12（f,OC是NAO8

的平分線，直線PRQ分別交OA、OC、0B于點

111

P、R、Q求證:-------1--------=------

oOPOQOR

注意目標(biāo)信息的特點（兩邊都乘以O(shè)R）!聯(lián)想到相似三角形知識,

由此聯(lián)想到平行線。如圖，作■SRZ/OP,得

ORSRSQOQ-OS

無一而一而一0Q一

由此即得求證的結(jié)論

（2）引起學(xué)生課堂注意的教學(xué)藝術(shù)。（如何使自己的課吸引人）

①引起學(xué)生注意

內(nèi)因：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

外因：挖掘教材中易引起注意的成份

②在教法上想辦法

做好充分的課前準備（心理、物質(zhì)）；組織注意的轉(zhuǎn)移；改善注

意的分配；把注意力引向問題的關(guān)鍵部位。

如：設(shè)x=43-2亞,求&2+2X+3的值

③有意放松，提高注意的穩(wěn)定性

④使學(xué)生形成一個好習(xí)慣（組織教學(xué)），關(guān)注開小差的學(xué)生

⑤興趣激發(fā)

研究學(xué)生的興趣特點，利用生動幽默的語言，利用新穎新奇的實

際問題，利用啟發(fā)性板書，利用多樣化的教學(xué)方法，組織學(xué)生的探究

活動等。

2.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的感知

（1）數(shù)學(xué)感知的中的心理問題

①數(shù)學(xué)感知的盲目性

數(shù)學(xué)感知的對象是數(shù)、式、形及其反映出來的規(guī)律以及客觀事物

的數(shù)與形的規(guī)律。

②數(shù)學(xué)感知對已有知識經(jīng)驗的依賴性

表現(xiàn)為一種感知傾向性定勢，不同的人對同一對象的感知結(jié)果不

一樣，無知看不懂、聽不懂。每個人總是以自己善長的知識策略來解

題。掌握基礎(chǔ)知識的重要性。

感知定勢在解題中的作用一一兩重性。

如：設(shè)解關(guān)于％的不等式，2"-已>1—%,方法一■,分類

討論；方法二，討論y=，2--1與y=的圖象間的關(guān)系。

③數(shù)學(xué)感知對理解力的依賴性

不理解會視而不見！

例子：已知a.h.ceR：求證J/+。2+，/+.2++/N行(a+b+c)

誤解：a2+Z?2>2ah,-左式N(2ab+R2bc+(2ca=0(V^+\/^+\/^)2右

式嗎，走不下去了！(放過頭了！)

正解一：由V7正想到勾股定理，直角三角形的斜邊表達式，

正解二：由a.h.ceR*據(jù)公式a,時，\la2+b2>—(a+Z?),(當(dāng)

2

且僅當(dāng)a=。時，等號成立)

那么:V?2+b2+4b1+C1+\jc2+a2>(a+b)+—(Z>+c)+(c+a)

222

=V^(Q+Z?+C)

注：此處關(guān)鍵在于公式廬廳之在3+加

2

事實上：a、OeR+時，a2+b2>2ah

如Ma2+b2+a2+b2>a2+2ab+b2即2(a2+b2)>(a+b)2取算術(shù)根

\]a2+b2>-^-(?+/?)(若力口右得至！J(a+/?)224")

2

④數(shù)學(xué)感知對教師的依賴性

教師一點撥就通

例：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,則2尸%+z

點撥：2=b2-4ac,得到，的方程，(x-y)產(chǎn)+(z-x?+(y-z)=O

而各項系數(shù)和為0,故，有等根G1,兩根和為匚=1,

即得2y=x+z

⑤缺乏數(shù)學(xué)眼光

數(shù)學(xué)感知強調(diào)數(shù)學(xué)化(用數(shù)學(xué)眼光看、聽)體現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)觀察的重要性(數(shù)學(xué)閱讀，理解的基礎(chǔ))

如：設(shè)％="3-2心,求，2+2x+3的值

若直接將X代入&2+2》+3求值,則難算且易出錯。仔細觀察，

發(fā)現(xiàn)x=0-1,而％2+2X+3=(X+1)2+2,故易求得其值為2。

(2)引導(dǎo)學(xué)生感知的數(shù)學(xué)藝術(shù)

①感知規(guī)律與教學(xué)藝術(shù)

協(xié)同律一一多種感官協(xié)同作用效果好

經(jīng)驗律一一定勢的作用(好習(xí)慣與反面干擾)，題海戰(zhàn)術(shù)的價

值與負面作用。

視覺規(guī)律與板書藝術(shù)

聽覺規(guī)律與口頭語言(演講)藝術(shù)

直觀數(shù)學(xué)

②觀察力的培養(yǎng)

觀察什么？怎么觀察？怎樣教觀察？

觀察什么？

以解題為例

觀察題沒和結(jié)論的特征、觀察命題式子結(jié)構(gòu)特征、觀察式子相應(yīng)

的圖象、觀察有沒有隱含條件、觀察命題的整體結(jié)構(gòu)、觀察能否變換

代用公式

例：若」一+」一+，一=0①

y-zz-xx-y

求證一j+y,+—②

(y-z)(z—x)~(x—y)

觀察后發(fā)現(xiàn)各種解法

法一：變化②式左邊，代入①式，這時有

(y-z)*2(z-x)2(x-y)2

顯然，這樣做下去是越做越繁。

法二，變化①式推出②式，把①兩邊平方使其分母與②式相同，那么

就會有

2

上丁和一至一……

(y-z)一(y-z)(z-x)

這樣一些項，這些項顯然不是②式所含的項。

法三，再次觀察①、②式的特征，要從上推得^只要注意至IJ:

y-z(y-z)

X_I—,觀察①式，只要把①式移項得：

(y-z)2y-zy-z

X__(―

v-zz-xx-y

兩邊同乘以一L,得:

y1

x_xy-y2-Fz2-xz.1③

(y-z)2(z-x)(x-y)y-z

同理可得：=」2肛+)―>,④

(z-x)(y-z)U-y)Z-x

291

Z=應(yīng)一r+)廣一)2.]⑤

(x-y)2(y-z)(x-y)x-y

把③④⑤式相加，即可獲證。

怎么觀察？

數(shù)學(xué)觀察的一般方法、策略：整體一部分一整體；從上至下，從

左至右。

X

例解方程+--2x-l=0

(x+l)(x-l)X

一般方法是去分母，但去分母必定是繁雜的

觀察：“《匚與x互為倒數(shù)

XXx(x+l)(x-l)

-1±逐i±Vi7

此題易解出共有四根

24

又如研究初學(xué)幾何的學(xué)生在分析觀察復(fù)合圖形時特點:

觀察右圖中共有多少條線段，并把它們的都寫出來

結(jié)論：初學(xué)幾何的學(xué)生，在分析觀察復(fù)合圖形時，認知結(jié)構(gòu)上可

能具有“順序”“對稱”“封閉”及其組合的某種認知特征，這種特征

對學(xué)習(xí)效果起著積極作用。

怎樣教觀察？

主動教觀察一一為學(xué)生創(chuàng)造觀察條件

在觀察中教觀察一一讓學(xué)生觀察，養(yǎng)成觀察習(xí)慣，教師不包辦

促進學(xué)生掌握正確的觀察方法一一不斷總結(jié)

培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度

引導(dǎo)學(xué)生對弱感知成份(隱弊條件)的觀察進行多角度觀察

注重實踐檢驗，培養(yǎng)觀察的客觀性

注重觀察程序，培養(yǎng)觀察的全面性

主動觀察，培養(yǎng)觀察的目的性

揭示事物特征，培養(yǎng)觀察的精確性

挖掘隱含條件，培養(yǎng)觀察的深刻性

3.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的記憶

(1)數(shù)學(xué)記憶中的心理問題

①建立數(shù)學(xué)對象的錯誤的表象

數(shù)學(xué)知識的抽象性使數(shù)學(xué)感知上升到表象有一個艱難的過程。

數(shù)學(xué)概念通過定義描述，圖形不能準確反映概念。如角“N”。

數(shù)學(xué)表象來源于感知，但有特殊性，對認知加工要求高，具有選

擇性和組織性。

感知到的對象與數(shù)學(xué)概念有區(qū)別，含有非本質(zhì)的屬性，且要借助

它，知識獲得須經(jīng)歷表象一一概念一一表象的過程。

②數(shù)學(xué)對象的自主建構(gòu)過程不易完成

數(shù)學(xué)知識的概括性使數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)過程不易完成，且易出

錯.如命題的符號語言描述。

數(shù)學(xué)命題通過定理、公式（語言、符號）描述，符號語言有高度

的概括性。

教師們對學(xué)生在理解符號上的欠缺和困難認識不足，誤以為學(xué)生

弄清了，學(xué)生其實沒有弄清，因而造成學(xué)習(xí)上的困難。

③容易造成機械記憶

數(shù)學(xué)記憶的目的在于實踐、應(yīng)用。記住了知識不能說掌握了數(shù)學(xué),

而必須把這些知識再回復(fù)到實踐之中（如解題中）去解決實際問題。

能解出題才能談得上掌握了相關(guān)知識。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對記憶的要求：準確；系統(tǒng)；深刻；靈活。

④數(shù)學(xué)記憶缺乏理解的基礎(chǔ)，需要用時想不起來（不能提取）

數(shù)學(xué)記憶需要的是理解記憶。數(shù)學(xué)記憶與數(shù)學(xué)理解密切相關(guān)，一

般數(shù)學(xué)知識的機械記憶不起什么作用。數(shù)學(xué)知識理解了才能記得牢、

記得住，才能產(chǎn)生遷移，才能應(yīng)用。

例設(shè)x=）3-2后，求設(shè)2x+3的值

仔細觀察發(fā)現(xiàn)：E—1,

X2+2X+3=（X+1）2+2,易知原式二2

這里的關(guān)鍵是記住和平方公式并在要用時能有意識地提取出來。

（2）提高記憶效果的教學(xué)藝術(shù)

①明確記憶的目的任務(wù)，提出記憶的要求并經(jīng)常檢查。

②在記憶過程中，提高記憶力。（語言幫助記憶，依靠指引）

③在理解的基礎(chǔ)上記，建立良好的知識系統(tǒng)

④通過活動（操作，如解題）提高記憶效果

⑤改進教法（掌握記憶材料間的聯(lián)系，講究材料的組織）

⑥按記憶規(guī)律做（多種感官并用，在運用過程中記）

⑦合理安排練習(xí)與復(fù)習(xí)（多種形式編碼、對比等）

4.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維

（1）數(shù)學(xué)思維中的心理問題

對數(shù)學(xué)思維的簡要認識（對數(shù)學(xué)思維過程的研究，還遠不清楚）

①數(shù)學(xué)思維的特點：

A數(shù)學(xué)思維的對象是數(shù)學(xué)表象，借助于數(shù)學(xué)語言來進行。

B數(shù)學(xué)思維的抽象性和概括性（形式性和概括性）

C數(shù)學(xué)思維的條理性（邏輯性）

D數(shù)學(xué)思維的統(tǒng)一性（本質(zhì)上的一致性）

E數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性（建構(gòu)的過程）

②數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一般規(guī)律

A經(jīng)由對具體事物的思維發(fā)展到對一般事物的抽象思維。（有自

我成長的一面）

B思維對已有知識經(jīng)驗（個人的、他人的）的依賴性（如解題）

C思維的多層次發(fā)展性（由低級向高級發(fā)展，皮亞杰的認知發(fā)展

階段理論）

D思維與語言發(fā)展的相互依賴，相互促進。

③.數(shù)學(xué)思維的基本形式

A具體形象思維：憑借事物的具體形象和表象的聯(lián)想來進行思

維，它與事物的具體模型密切聯(lián)系且相互作用。（聯(lián)想、想象）

B抽象邏輯思維：（人類思維的核心形態(tài)），在實踐活動和感性經(jīng)

驗的基礎(chǔ)上以抽象概括為形式的思維，以概念、判斷、推理的形式進

行思維。

C直覺思維：人腦對突然出現(xiàn)在其面前的新事物、新形象、新問

題及其關(guān)系的一種迅速識別，敏銳而深入的洞察，直接的本質(zhì)理解和

綜合的整體判斷（直接領(lǐng)悟的思維和認知）

④數(shù)學(xué)思維的基本方法

觀察與實驗；比較分析與系統(tǒng)化；舊納演繹；分析綜合；抽象概

括；一般化與特殊化；模型化具體化；類比映射；聯(lián)想猜想等等。

⑤.數(shù)學(xué)思維的個性品質(zhì)（智力品質(zhì)）

深刻性；靈活性；敏捷性；獨創(chuàng)性；批判性。（廣闊性）

⑥數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

A數(shù)學(xué)教育可促進思維的發(fā)展（形成風(fēng)格）

數(shù)學(xué)教育不能改變思維（不能改變本質(zhì)，不能改變潛能，

只能開發(fā)潛能）

B初中生數(shù)學(xué)思維的特點：

a抽象邏輯思維日益占主導(dǎo)地位，但具體形象思維仍起著重要作

用（理解水平以操作性理解層次為主，逐漸向關(guān)系性理解遷移性理解

發(fā)展）

b思維的獨立性和批判性有了明顯的發(fā)展，但還很不成熟（喜歡

懷疑、爭論、不輕信書上結(jié)論、但易產(chǎn)生片面性、表面性）。

C高中數(shù)學(xué)思維的特點

a思維具有較高的抽象性和概括性、思維明顯由經(jīng)驗型向理論型

轉(zhuǎn)化，抽象邏輯思維逐漸占主導(dǎo)地位。

b思維的獨立性、批判性得到了更高的發(fā)展，思維具有鮮明的意

識性。

數(shù)學(xué)思維中的心理問題

理性思維的發(fā)展不健全，思維的層次水平不高，智力品質(zhì)不高。

片面性、表面性、思維量、活動量、參與度

（2）啟發(fā)思維活動的教學(xué)藝術(shù)

思維量、活動量、參與度是衡量教學(xué)有效性的重要指標(biāo)，數(shù)學(xué)教

學(xué)不能只看學(xué)生解題的結(jié)果，更要關(guān)注思維的過程

①為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維的情境

給予機會、設(shè)置環(huán)境，使數(shù)學(xué)有想頭，有想的東西，可想出東西。

實驗演示；觀察聯(lián)想，類比發(fā)現(xiàn)；認知沖突，問題解決。

分解難點，小步走，設(shè)臺階的教學(xué)策略的利與弊。

②給學(xué)生“自得”的機會（自我建構(gòu)的機會）

給學(xué)生不顯眼的幫助

③從提高思維品質(zhì)著力，發(fā)展思維能力

（反向練習(xí)，進行逆向思維的訓(xùn)練，變式訓(xùn)練，刺激猜想等）

從數(shù)學(xué)特點出發(fā)、了解學(xué)生數(shù)學(xué)思維的特點和發(fā)展規(guī)律、啟發(fā)數(shù)

學(xué)思維活動。

例如解關(guān)于%的方程：%+—=?+—

x-1a-\

改寫成：x-ld----=tz-ld------

X—1u—1

顯然和x-1=—匚的根為原方程的根

a-1

從而玉三（體現(xiàn)思維的靈活性）。

。一1

又如：設(shè)4、b、C、d均是不大于1的正數(shù)，求證：

\Jct~+（1~+\lb"+（1-c）~++（］-dy+d~+（1-K4

從'T上做文章:

a+(l—a)=H(l—6)=c+(l—c)=d+(l—d)=l,4=l+l+l+l,

再如，分析：證一組對邊相等，一雙對角相等的四邊形是平行四邊形

問題中的錯誤。（體現(xiàn)思維的批判性）

對于數(shù)學(xué)命題“有一組對邊和一雙對角分別相等的四邊形是平行

四邊形”你認為它是真命題還是假命題？有人作出了如下解法，對此

你有何看法？

解：如圖，已知A8=O）,NA8C=NC0A

求證：四邊形ABCQ是平行四邊形

證明：分別過A、C作J.AO,

連AC,則Rt/^ABE=RtkCDF.

：.AE=CF,BE=DF,：.R&EC=RtbCFA.

ECrAZACE=ZCAF,

：.ADUBC,且8c=BE+EC=DF+FA=DA.

：.四邊形ABCD為平行四邊形.

5.數(shù)學(xué)理解

（1）數(shù)學(xué)理解的特點與學(xué)生的心理問題

①數(shù)學(xué)知識的理解必須要有一定的心理基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)理解是通過思

維實現(xiàn)的。

學(xué)生理解Ia|的困難。

②數(shù)學(xué)知識的理解必須選擇和調(diào)動相稱的認知結(jié)構(gòu)。

（a歷）2=a?+b2中的問題。

③數(shù)學(xué)知識的理解是一個信息或要素的組織過程，數(shù)學(xué)理解與發(fā)

現(xiàn)事物的功能相聯(lián)系（發(fā)現(xiàn)了即加深了理解）（發(fā)現(xiàn)即建構(gòu)意義的過

程）

如學(xué)習(xí)代數(shù)和概念

代數(shù)和

/加進相反數(shù)（順應(yīng)）

/t

算術(shù)和算術(shù)差

④數(shù)學(xué)知識的理解還需要認知結(jié)構(gòu)的再組織（再建構(gòu)）

心理機制是反?。ǚ此迹?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“做”不一定能代替“想二

反省要有時間，因此過重的學(xué)習(xí)負擔(dān)不利于學(xué)生理解，甚至阻礙

學(xué)生的理解。

⑤數(shù)學(xué)理解是一個動態(tài)發(fā)展過程（非連續(xù)的、跳躍式發(fā)展），數(shù)

學(xué)理解具有不同的層次性水平。

A常識性理解（初步理解，獲得知識）；邏輯性理解（深刻理解、

形成能力）；觀念性理解（透徹理解，升華思想）。

如對“全等”的理解。

B操作性理解（解一般題）；關(guān)系性理解（解綜合題）；遷移性理

解（解新情境題）。

學(xué)生數(shù)學(xué)認知理解的程度

操作性理解：指個體懂得數(shù)學(xué)的某個事實、技能與概念，了解某

個原理，懂得某個技能的操作步驟（能解簡單問題，（問題涉及知識

點少），和帶操作性步驟的問題）。

關(guān)系性理解：指個體對數(shù)學(xué)本質(zhì)與規(guī)律及相關(guān)事物的深刻認識，

能夠在數(shù)學(xué)知識的縱橫聯(lián)系中認識數(shù)學(xué)（能解綜合性問題）。

遷移性理解：指個體在關(guān)系中理解的基礎(chǔ)上，能夠?qū)?shù)學(xué)思維方

法以及所學(xué)數(shù)學(xué)知識遷移到其他場合，（能靈活運用數(shù)學(xué)知識，能解

新情境問題）。

初中生的數(shù)學(xué)理解水平大部分處于第一層次、處于二、三層次的

較少，所以學(xué)生在雙基考試時能得高分，在能力測試中的水平不盡如

人意?，F(xiàn)實教學(xué)中，雖學(xué)生投入了很大精力，教師費了很大功夫，但

學(xué)生對知識的理解水平遠遠沒有達到深刻理解（二、三層次）。

例子：甲杯中盛有紅墨水800加，乙杯中盛有藍墨水400加，現(xiàn)

在用一個容積為50ml的小杯子從甲杯中盛走一小杯紅墨水傾入乙杯

中，當(dāng)情況（1）,待乙杯中兩種墨水混合均勻后；情況（2）,不待乙

杯中兩種墨水混合均勻；

從乙杯中盛走一小杯混合液傾入甲杯中，試問，這時乙杯中的紅

墨水的液量和甲杯中混進來的藍墨水的液量相比，哪個多？

計算方法：倒第一次后，乙杯中紅墨水濃度，晨==!，藍墨

400+509

水濃度，2^=幺

400+509

第二次盛滿一小杯的混合液中，藍墨水50X[=44*（ml）,（此即

甲杯中藍水）紅墨水是50X：=5,（m/）,它回到了甲杯中，于是仍留

9y

在乙杯中的紅墨水是50—5京=441（ml）

所以倒兩次后，乙杯中的紅墨水與甲杯中的藍墨水相等。

情況（2）則無法計算。

深入理解情況后易知，甲杯中倒出的紅墨水（乙杯中的紅水），

其位置正好被藍墨水填滿（甲中藍水），顯然，乙杯中紅水與甲杯中

藍水一樣多（無論情況⑴還是情況（2））。

（2）.影響數(shù)學(xué)理解的因素。

①理解學(xué)習(xí)的心向；

②學(xué)習(xí)材料的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)；

③學(xué)習(xí)者原認知結(jié)構(gòu)的水平；

④學(xué)習(xí)者原有知識背景的激活程度。

（3）.數(shù)學(xué)理解的功能

①數(shù)學(xué)理解可促進記憶（便于存入與提取）

②數(shù)學(xué)理解可降低記憶量（有利于知識的塊體化）

③數(shù)學(xué)理解促進遷移（理解后提高了概括水平，有利于在新情

景中應(yīng)用）

④數(shù)學(xué)理解影響學(xué)生的信念（有利于建立正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)觀）

例：甲、乙兩人同時從李村出發(fā)，步行去王莊，5分鐘后，甲返回李

村取筆，沒有停留，繼續(xù)去王莊，恰與乙同時到達王莊，如果從兩人

同時出發(fā)開始起計，那么，35分鐘后，兩人同時到達。已知甲每分

鐘所行路程比乙每分鐘所行路程的2倍少30米，求甲、乙兩人的速

度各是多少：分析，畫一個圖：

甲用（35-2X5）分鐘

乙------------------------------------>

乙用35分鐘

解：設(shè)乙每分鐘行％米，則甲每分鐘行（2%—30）米

法一，在路程上選一個量（李村到王莊的路程），用兩種方式表達得

(35-2x5)(2%—30)=35x

法二，在速度上選一個量(乙的速度)用兩種方式表示得

_35(2^-30)-2x5(2%-30)

X------------------------------------------

35

法三，在時間上送一個量，(甲全程所用35分鐘)得

cu35x+2x5(2x—30)

35=----------------------------

2x-30

(4).數(shù)學(xué)教學(xué)中促進理解的途徑

①加強新舊知識的聯(lián)系

②使用變式與比較教學(xué)

③促進學(xué)生知識的系統(tǒng)化

④提供必要的感性材料，使學(xué)生親歷知識的生長過程(教師應(yīng)為

學(xué)生創(chuàng)造條件)

⑤使學(xué)生參與數(shù)學(xué)研究(做數(shù)學(xué))

⑥促進學(xué)生進行哲學(xué)思考(反思)從認識論高度來理解。

⑦分析學(xué)生理解失敗的原因，采取相應(yīng)的教學(xué)策略

A應(yīng)用了錯誤的認知結(jié)構(gòu)，賦予了與客觀意義不同的意義。

B新思想與原有認知結(jié)構(gòu)之間間隙太大。

C未曾調(diào)整過的現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)不能同化新思想

(5).數(shù)學(xué)理解的實例：

例(1)關(guān)于x的方程2%?—(m+l)x—m=0的一個根在1和2之間

(不包括1、2)另一根小于1,求m的取值范圍

(2)關(guān)于％的方程f+(m—7)x+m=0

的兩個根都在1和2之間(不包括1、2),求m的取值范圍

解(1)法一：利用求根公式

m+l±y/m2+10m+l

4

]<m+l±-Jm2+10m+l<2

依題意有

4

m+l±+10/HH-1<]

4

這是一個不好解的不等式組。

法二：設(shè)y=2f—(m+1)x~m,

則％=1時y<0,x=2時,y>0

BP2x]2—(m+1)xl—m<0

解得-m>—

2

2

2x2—(m+1)x2-m〉0-m<2

o2x

-<m<2

2

解(2)設(shè)yr?(m—7)x+m

則JC=1時y>0,x=2時，y>0

于是fI2+(77-/)+加>0得至ll「m>3即m>W

3

22+(/n-7)x2+m>0

3

還要求拋物線與％軸有不同交點，即4〉。。

(m—7)2—4根>0,即毋一18m+49>0,解得，根<9—4/或加

>9一4日還要求拋物線與入軸的兩個交點在(1.0),(2.0)之間,

即拋物線的對稱軸L2在(1.0)和(2.0)之間,于是IV-萼

<2,即3<m<5.

三方要求作交集。相>?,機V9—4夜或機>9—4狡，3<m<5

3

有m<9-4夜

3

(附：比較?與9-4a的大小

作差9一于當(dāng)。得

Oo)

｛在這里，用求根公式法困難，用二次函數(shù)圖象法(數(shù)形結(jié)合)

(1)中對應(yīng)二次函數(shù)開口向上，總在點(1,0)的下方.，(2、0)的

上方通過，代入％=1,y<0；x=2,y>0可得;VmV2

(2)對應(yīng)拋物線開向上，總在(1,0)、(2,0)的上方通過

同時與％軸有交點，即△>(),還有對稱軸在(1,0)和(2,0)之

間，可得：3-<m<9—472)

30

常識性理解，利用求根公式不易解出此題。

關(guān)系性理解：以至遷移性理解：①利用函數(shù)圖象，開口向上;(I)

>0,/(2)>0；②圖象與％軸有交點△>0；③兩根在1、2之間，

故對稱軸在1.2之間1V&V2,④理解約與9—4夜的大小關(guān)系。

2a3

(理解不到位則會出錯)

6.數(shù)學(xué)中的想象

(1)數(shù)學(xué)想象中的心理問題

認識數(shù)學(xué)想象

①數(shù)學(xué)想象的主要內(nèi)容是圖形想象和圖式想象

是對圖形（式）表象的加工改造，包括圖形（式）構(gòu)想、表達、

識別和推理四個層次。

②數(shù)學(xué)想象的主要形式是聯(lián)想與猜想

③數(shù)學(xué)想象具有形象性（表象的形象性），概括性、創(chuàng)造性、運

動性。

④數(shù)學(xué)想象的功能

幫助回憶，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命題，探索解題途徑，促進遷移。

有助于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。

例：已知“2=7-3a方=7-3"求Q+《的值

ab

分析：因：〃+3Q—7=0/2+38—7=0,聯(lián)想到

方程12+3工一7=0有兩根，%,=a,X2=b

據(jù)韋達定理：〃+。=-3,〃?/?=-7

所以且+且_3+—）［（〃+-I-3必］_-3［（-3）2-3x（-7）］_90

abah-77

數(shù)學(xué)想象中的心理問題

聯(lián)想不豐富，思路不廣，不會猜想，

（2）培養(yǎng)數(shù)學(xué)想象能力的教學(xué)藝術(shù)

①學(xué)好基礎(chǔ)知識，形成想象的習(xí)慣。（注意知識的聯(lián)系性、綜合

性）

②重視作圖過程及圖形變式，重視圖式的形成及其變式。

③重視數(shù)形結(jié)合的訓(xùn)練

④重視想象力形成的階段性，按學(xué)生年齡遞增，逐步提高要求。

⑤堅持不懈的訓(xùn)練

注意：預(yù)計學(xué)生在想象中可能遇到的困難。

想象要有目的性（不是胡思亂想）

掌握想象規(guī)律

例：已知a>b>c,求證」一+」一+」->0。（有何想法？）

a-bb-cc-a

①想到要證明它：方法一：通分后證分子，分母都小于0。

②想到我一個較簡單的證法

方法二：作代換4-/?=九6-0=〃,則,+,------>0易證

mnm+n

方法三：a—c>a—匕>0,得出一—>--—，即一--+——>0

a-ba-ca-bc-a

③想到推廣一下：（不等式可加強）

—>0,可想到_匚+_匚>_匚中，右端分子可更大

a-bc-aa-bb-ca-c

些？大到多少？

方法四（想到基本不等式）—（斫。時，等號成立）

214

ab

11

"b-r--?--,即：J_+_L>_J_>o,當(dāng)且僅當(dāng)

2（a-〃）+（/?-c）ci—bh—cc—ci

a力.c成等差數(shù)列時取等號。

更一般地有：若q>%>…>a.，則

111（"1）2c

---------+---------++----------+-———>0

?1-a2a2-a3%-%?！耙?

當(dāng)且僅當(dāng)做，…0成等差數(shù)列時取等號。（此為有一定創(chuàng)造

性的成果！）

二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程

1.數(shù)學(xué)語言的形成與發(fā)展

（1）認識數(shù)學(xué)語言

①數(shù)學(xué)與語言的關(guān)系，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也就是數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)

斯肯普：數(shù)學(xué)不僅僅是事實和方法的總和，而且是也許甚至首先

是用來描述各門科學(xué)和實踐活動領(lǐng)域的事實和方法的語言。

語言與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的相關(guān)性。

②數(shù)學(xué)語言與自然語言的關(guān)系

數(shù)學(xué)語言中的自然語言、圖象語言、符號語言（素材）。

小學(xué)較多用自然語言；初中更多使用符號語言，重視圖象語言，

三種語言經(jīng)常在一起融合使用。

A數(shù)學(xué)語言是一種人工語言。

數(shù)學(xué)語言不含社會知識因素和情感因素；概括性強的數(shù)學(xué)語言重

在“達意”

數(shù)學(xué)語言以現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系為內(nèi)容；

數(shù)學(xué)語言的敘述必須嚴謹而有系統(tǒng)；

數(shù)學(xué)語言來源于自然語言，但經(jīng)過三個方面的改造（消除繁瑣

性；消除同音異義詞；擴展表達的可能性）。（簡化自然語言，建立符

號體系）

精確，嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言與模糊、多義的自然語言。

B數(shù)學(xué)語言大量使用符號。

符號使數(shù)學(xué)語言從冗長的自然語言中解放出來；

符號的發(fā)展階段正標(biāo)志著數(shù)學(xué)的發(fā)展階段；算術(shù)與幾何符號；代

數(shù)符號；微積分計算符號；集合與邏輯符號。

C數(shù)學(xué)語言大量使用變元。

D數(shù)學(xué)語言大量使用圖形（包括圖象）。

③學(xué)校中的數(shù)學(xué)語言

A數(shù)學(xué)語言的句法特點：（符號包括：數(shù)字符號、字母、運算符

號、邏輯符號、象形符號、表意符號、圖像符號）

B數(shù)學(xué)語言的語義特點：數(shù)學(xué)的實體決非具體的對象；“沒有意

義”與自然語言中的含義有所不同；（如1）,數(shù)學(xué)語句遇到的一些對

0

象的名詞，講述的是對象而非名字；（如9—8、3X1,表1）“或”

與“且”的特殊意義；“一般情形能在語言邏輯上等階于一個特殊情

形”（要證一般結(jié)論，只證特殊，如證勾股定理，選定一個直角三角

形來證），數(shù)學(xué)語句不僅有各種各樣的涵義，而且還有不同的意義,

（涵義：判斷的內(nèi)容，意義：命題的值）

④數(shù)學(xué)語言的理解與表達

數(shù)學(xué)語言是外部層面（語音、字符）與內(nèi)部層面（內(nèi)容、語義）的復(fù)

合統(tǒng)一體。

外部語言：思想轉(zhuǎn)化為詞、詞發(fā)展到句（將思想陳述出來）。

內(nèi)部語言：產(chǎn)生思想。

言語的理解與產(chǎn)出的過程

聽懂別人的話或者看懂文字材料、把握言語或文字所表達的思想

稱為言語的理解；（意義建構(gòu)）

把自己的想法說出來寫出來即以言語或文字表達自己的思想稱

為言語的產(chǎn)出。（產(chǎn)生思想、表達思想）

例子--理解題意（理解）、寫出解題過程（表達）

設(shè)b、C、d均為不大于1的正數(shù)，求證：

,cr+（］-by++（］-c）-++（1-d）~++（1-ci）~<4

（理解）：從“1”上做文章：

a+（l—a）=Z?+（l—"）=c+（l—c）=d+（l—d）=l,4=l+l+l+l,四根號內(nèi)為

兩數(shù)平方和想到勾股定理,

用數(shù)形結(jié)合，如圖：

（表達）：（請讀者寫出解題過程）

（2）中學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的發(fā)展?fàn)顩r

①數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的困難

初中生代數(shù)入門--字母表數(shù)一對字母的理解（賦予意義）與結(jié)

構(gòu)復(fù)雜程度。

初中生對字母賦予意義的6種情形：

給字母賦值；忽略字母的意義；把字母當(dāng)成物體；

把字母看成特定的未知量；把字母看成是廣義的數(shù)；把字母看成變量。

初中生代數(shù)的4種理解水平:

水平1把字母當(dāng)成物體，或者給字母賦值，或者忽略字母的意義;

水平2把字母當(dāng)成物體，但對代數(shù)概念更加熟悉，能處理結(jié)構(gòu)更為

復(fù)雜的題目；

水平3把字母看成特定的未知量；

水平4把字母看成廣義的數(shù)或者變量。（把字母看成特定的未知

量能處理結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的題目）

習(xí)慣的自然語言一生疏的數(shù)學(xué)語言

描述3a26+2M3時自然語言與數(shù)學(xué)語言的混淆。

學(xué)習(xí)的困難首先來自語言的使用和理解。聽、讀的障礙來自于對

內(nèi)容的不理解，（一般情況下，學(xué)生只能聽懂或讀懂適應(yīng)他們已有經(jīng)

驗和語言水平的內(nèi)容），對抽象數(shù)學(xué)符號的內(nèi)容難理解、不熟悉。

用語言描述概念的能力并不一定保證具有正確的符號表示能

力。（代數(shù)入門難的問題，列代數(shù)式的困難）

數(shù)學(xué)教學(xué)不教數(shù)學(xué)語言，教師以為學(xué)生可以自然解決。

②聽、讀數(shù)學(xué)語言能力的發(fā)展?fàn)顩r

A、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的困難，教師把數(shù)學(xué)語言與（自然）口頭

語言，書面語言的相互轉(zhuǎn)換工作留給學(xué)生，（書讀百遍，其義自見）,

（如：3a2H2a/的讀法，解不等式上2>o,分解（歸結(jié)）為兩個不

x-6

等式組的解，在課堂教學(xué)中，（教師使用大量的尤其是學(xué)生還不熟悉

的數(shù)學(xué)語言表達，或者對某些關(guān)鍵性的詞語解釋不清時，勢必造成學(xué)

生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難。

B.自然語言與數(shù)學(xué)語言經(jīng)?；煜?，如對垂直的理解，（初二學(xué)

生作鈍角三角形三條高時，50%的學(xué)生不知怎么畫，35%的學(xué)生畫成

下圖（作鉛直垂線）。

對數(shù)學(xué)式子的數(shù)學(xué)說明，依賴于學(xué)生對式子表達式中所涉及到的相關(guān)

數(shù)學(xué)概念名詞的熟悉程度。

C.聽、讀的障礙來自于對內(nèi)容的不理解。

一般情況下，學(xué)生往往只能聽懂或讀懂適應(yīng)他們已有經(jīng)驗和語言

水平的內(nèi)容。

如下面兩題：

i.一個人以每小時2千米的速度上山，并以每小時6千米的速度

下山，求他的平均速度。（路程相等）

ii.一個人以每小時6千米的速度行走，走了一段路后，他感到

疲勞，把速度減少到每小時一2千米，在走完全程所用的時間中，有一

半是以每小時6千米行進，有一半是以每小時2千米行進的，求他的

平均速度。（時間相等），

學(xué)生解出都是每小時4千米，認為二者無區(qū)別。

③說、寫數(shù)學(xué)語言能力的發(fā)展?fàn)顩r

A、使用數(shù)學(xué)術(shù)語的情況

不會運用數(shù)學(xué)術(shù)語來表達自己的思想，平行線一一“直線”，相

交線一一“交叉線”；誤解或完全不理解術(shù)語的意義，等邊三角形一

一“真正的三角形”，其它的三角形則“太高”“太寬”“太斜”“太窄”。

B.形式與內(nèi)容相脫節(jié)

常用錯誤：（〃±。）2=a2±〃；3±。）3=/土〃3

+h2=V?+后=1aI+網(wǎng),yla2+h2=a+b

x+yxy

學(xué)生只注意了形式上的相似性，忽視了內(nèi)容導(dǎo)致出錯

C.書寫證明困難

不注意數(shù)學(xué)語言中使用的自然語言，文字與其在自然語言中的含

義有區(qū)別，如“延長”、“連結(jié)”、“截取”、”交……于……”“確定”

等。

D.學(xué)生加工數(shù)學(xué)語句的水平較低

如反證法中，對反設(shè)結(jié)論中量詞的轉(zhuǎn)換，出現(xiàn)困難（特別是省略

了全稱量詞的命題），例：設(shè)外、做、的、。4,。是適合下列條件的整

數(shù)：如+*+癡+d二方，試證：這些數(shù)不能都是奇數(shù)。

學(xué)生反設(shè)，這些數(shù)不能都是偶數(shù)。（這些數(shù)都是奇數(shù)）

（3）數(shù)學(xué)語言教學(xué)的藝術(shù)

①根據(jù)數(shù)學(xué)語言的特點展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

牢記數(shù)學(xué)語言簡明，精確和客觀性的特點。

例：寫代數(shù)式

兩個數(shù)差的平方等于一個數(shù)的平方，減去兩數(shù)積的二倍，再

加上另一個數(shù)的平方。

h.兩個數(shù)的平方差等于兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的乘積。

C.一個數(shù)與其倒數(shù)的和等于這個數(shù)的相反數(shù)與3之和。

可先作解釋，用詳盡語言，說清楚，再讓學(xué)生寫出代數(shù)式。

將所學(xué)知識的形式與內(nèi)容相統(tǒng)一。

如學(xué)生不考慮條件直接寫?=”；學(xué)生對“V—3X+2”，

"x2-3x+2=0y=x?-3x+2的關(guān)系搞不清。

學(xué)生知識表面化，來源于形式與內(nèi)容配合不當(dāng)，說明學(xué)生在把問

題翻譯成數(shù)字語言的時候產(chǎn)生困難：一一學(xué)生解應(yīng)用題的困難。

③根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的發(fā)展特點展開數(shù)學(xué)教學(xué)

學(xué)生喜歡用與課本上教的不相干的方法求解數(shù)學(xué)問題。一-教學(xué)

要注意學(xué)生的方法和理解水平。大約有50%以上的學(xué)生處于水平1、

水平2。學(xué)生解題的目標(biāo)是完成作業(yè)，教師的教學(xué)目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的

理解能力，提升其理解水平，由水平1、水平2提升到水平3、水平

4o

低水平學(xué)生的學(xué)習(xí)象一座橋，必需不斷加大工作量，最終因乏味

而吃不消。教師應(yīng)揭示低水平的理解會導(dǎo)致矛盾，學(xué)生正是在這種矛

盾中加深理解，進入更高級的水平。

對于尤2—V，學(xué)生甲：“％的平方減去y的平方”

學(xué)生乙：。和y兩數(shù)的平方差”

二者有區(qū)別嗎？會引發(fā)不同聯(lián)想嗎？

又如，由正比例關(guān)系意義推出正比例函數(shù)必是增函數(shù)，問題出在

哪？

③主動教教學(xué)語言

A重視詞語的代表性學(xué)習(xí)（加強概念、符號的學(xué)習(xí)）

B多途徑促進學(xué)生理解學(xué)習(xí)（進行合作交流式學(xué)習(xí)，）

C強調(diào)正確的數(shù)學(xué)書面表達（把解題過程寫清楚，準確表達自己

的思想）

D堅持不懈的訓(xùn)練。

2、數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展

（1）數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

①學(xué)生將接觸到的數(shù)學(xué)知識按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合著

自己的感知、記憶、思維、聯(lián)想等認知特點，在頭腦中形成的一個具

有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。

例如：一元一次方程的認知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：概念的內(nèi)涵不同；信息的表達方式不同；結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方式

不同；結(jié)構(gòu)的完備性不同；內(nèi)容的科學(xué)性不同。

聯(lián)系：認知結(jié)構(gòu)由相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來。后者是前者賴

以形成的物質(zhì)基礎(chǔ)和客觀依據(jù)。

構(gòu)建優(yōu)良的知識結(jié)構(gòu)對于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要價值，孫維剛的八方聯(lián)

系，渾然一體。教師優(yōu)良的認知結(jié)構(gòu)對于學(xué)生學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教學(xué)）的重

要價值（示范作用）。

數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)就是經(jīng)過學(xué)習(xí)者對外顯知識的感知、理解、內(nèi)化進

而貯存在自己長時記憶中的，相互聯(lián)系的陳述性知識，程序性知識和

過程性知識組成的結(jié)構(gòu)。

’可辨別性

②優(yōu)良的認知結(jié)構(gòu)（可利用性

、穩(wěn)定性

A原有認知結(jié)構(gòu)中對新的學(xué)習(xí)起固定作用的觀念的可利用性。

B新知識同原有認知結(jié)構(gòu)中起固定作用的觀念之間的可辨別性，

即原有知識和新知識的異同點是否可以清晰地辨別。

C原有認知結(jié)構(gòu)中起固定作用的觀念的穩(wěn)定性和清晰性，即已有

知識的掌握程度，尤其是原有知識結(jié)構(gòu)中“固定觀念”的掌握程度。

認知結(jié)構(gòu)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，教學(xué)時應(yīng)分析清學(xué)生已有

知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，然后施教，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)穩(wěn)固了，才能繼續(xù)學(xué)習(xí)。

③認知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展：從一個概念開始形成一個小的認知結(jié)

構(gòu)，再把它并入到原有認知結(jié)構(gòu)中，經(jīng)命題學(xué)習(xí)等發(fā)展壯大起來。

發(fā)展的方式：同化與順應(yīng)

數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)按照適應(yīng)的需要來發(fā)展，即經(jīng)過同化和順應(yīng)獲得發(fā)

展。同化的學(xué)習(xí)過程輕松一些，順應(yīng)的學(xué)習(xí)過程相對來說要難以完成

一些，教學(xué)時應(yīng)盡可能為學(xué)生設(shè)計成同化的學(xué)習(xí)過程。教學(xué)時要為學(xué)

生設(shè)計一些長期有效的知識結(jié)構(gòu)，使它們既適應(yīng)當(dāng)前的也適合將來的

學(xué)習(xí)需要。

（2）中學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的缺陷

①知識有缺陷，有漏洞，甚至有錯誤，如鈍角三角形的高的例子。

②知識零散，沒有形成結(jié)構(gòu)（死記后沒有加工，沒有建立起聯(lián)系，

要用時找不著）

如：”等腰三角形”定義：有兩邊相等的三角形Q有兩角相等的

三角形F"一個內(nèi)角平分線平分對邊的三角形二兩邊上的高相等的

三角形q有兩邊中線相等的三角形仁＞……

又如：”兩個非負實數(shù)和等于0,當(dāng)且僅當(dāng)，這兩個實數(shù)自身為0”

。力e20,620則。2+/=0（=^a=b=0

6+,耳=0仁＞a=b=0

Ia|+1b|=0a=b=0

a"+b"=0Qa=b=0

知識和策略不匹配，知識的理解層次較低（知識不會用）

斯肯普的工具性理解，（知道了法則，但不知理由）（做對了也可

能是碰對的）和關(guān)系性理解（知道怎么做，又知道為什么這樣做）

學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個困難是不能將作為過程的概念上升到作為對

象的概念（學(xué)生對。+人的理解）

一般地：初步理解，也稱常識性理解，（能記憶，背誦，模仿做

題）

深刻理解，也稱邏輯性理解（能關(guān)聯(lián)性推導(dǎo)、記憶、上升為能力）

透徹理解，也稱觀念性理解（能結(jié)構(gòu)化記憶，上升為思想，在一

定范圍內(nèi)為局層次）

理解不斷深入，有無限多層次

對不同知識學(xué)習(xí)上理解層次有不同要求！

例：學(xué)習(xí)一元一次方程的解方程步驟，不同學(xué)習(xí)者有不同的理解

層次

對絕對值的符號同，不同學(xué)習(xí)者有不同的理解層次

③數(shù)學(xué)優(yōu)生與普通生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)差異（認知結(jié)構(gòu)優(yōu)劣的標(biāo)志）

A優(yōu)生認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)容具體豐富，普通生認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)容是貧乏

的。（認知結(jié)構(gòu)中內(nèi)容的豐富性）

優(yōu)生學(xué)習(xí)某一材料時通過回憶能夠喚起大量的相關(guān)的內(nèi)容，體現(xiàn)

在，能夠給出數(shù)學(xué)知識的不同表征，具有對數(shù)學(xué)知識與問題進行變式

與變形的能力；能夠洞察相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間本質(zhì)的聯(lián)系；建立了大量

的問題解決模式及其解題思路與解題方法，并熟知其應(yīng)用的條件；在

學(xué)習(xí)活動中積累了大量書本以外的重要結(jié)論；對解題時需要特別注意

的環(huán)節(jié)了如指掌；擁有對解題過程起支配作用的解題策略。

普通生認知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容相對較少，其特征表現(xiàn)為：習(xí)慣于只是

記住所學(xué)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容，不具有深究所學(xué)數(shù)學(xué)知識的意義的意識；

習(xí)慣于識記數(shù)學(xué)知識的常規(guī)表征形式，對數(shù)學(xué)知識的非常規(guī)表征形

式，識別能力較差；僅記住了一些題目的解題模式及解題思路，但對

其應(yīng)用的條件系統(tǒng)重視不夠，對書本以外的一些重要結(jié)論的學(xué)習(xí)缺少

敏感度；缺乏對概念、命題本質(zhì)的深刻認識；缺乏靈活多變的解題策

略，對解題容易出錯之處沒有足夠的警惕性，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要注意

的地方缺乏明確的認識。

B優(yōu)生的認知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容具有整合性，普通生的認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)容

是零散的。（認知結(jié)構(gòu)中內(nèi)容的整合性）

“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底?！?/p>

優(yōu)生數(shù)學(xué)認知加工使知識形成一個有層次、有條理又不割裂的知

識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

普通生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中理不清知識層次，形不成知識網(wǎng)絡(luò)，知識的關(guān)

聯(lián)密度和程度不高，在解決問題過程中不能有效提取知識。

C優(yōu)生提取認知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容具有靈活性，普通生則是僵滯的。（認

知結(jié)構(gòu)中內(nèi)容的靈活性）

優(yōu)生能為新知識找固作點，突破思維定勢，在靈活解決問題中顯

現(xiàn)創(chuàng)新才能。普通生則桎梏于思維定勢。

如設(shè)a>0,解關(guān)于％的不等式而工7>1-/,普通生苦苦分類

討論，優(yōu)生利用函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合。

D優(yōu)生的認知結(jié)構(gòu)具有個性特征，普通生的認知結(jié)構(gòu)僅具有共性特

征。（認知結(jié)構(gòu)中內(nèi)容的適用性）

解題時，優(yōu)生尋找獨特解法，普通生照搬熟悉解法，解不熟悉題

時一籌莫展。

④數(shù)學(xué)優(yōu)生與普通生的認知結(jié)構(gòu)存在差異的原因。

A學(xué)習(xí)習(xí)慣與方法不同（學(xué)習(xí)的觀念不同，對待學(xué)習(xí)的態(tài)度不同）

優(yōu)生帶著問題與批判性思維，進行課上學(xué)習(xí)，帶著反思性思維進

行課下學(xué)習(xí)，帶著選擇性與目的性進行解題實踐，對參考書的使用注

重于拓展知識，深化理解，不盲目解題，會作挑選。普通生使用參考

書注重完成書中習(xí)題，糾纏于偏題、怪題。

B元認知水平的不同

普通生學(xué)習(xí)缺少反思意識，不能在行之有效的自我監(jiān)控中學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)內(nèi)容，不會利用舊知學(xué)新知。優(yōu)生則善于反思、具有自我追問、反

問的學(xué)習(xí)習(xí)慣，思考的內(nèi)容始終處于自我監(jiān)控之中。

例題：現(xiàn)在是3點10分，再過多少分鐘，分鐘和時鐘第一次重合？

理解：把表盤拉直一一追及問題。

分針?biāo)俣龋好?分鐘1個格；時針?biāo)俣龋好?小時走5格，即

5-60=-（格/分鐘）。

12

追上時間=距離差?速度差。

錯解：5-（1一上）=52（分鐘）（自我監(jiān)控：距離差不是5格）

1211

錯解二，撥鐘實踐——看不準。

思維監(jiān)控反思；距離差不是5格。

正解一：分鐘走了10分鐘，此時時針走了1OX_L=2（格）

126

所以（5+』）+（1——）=6—（分鐘）。

61211

正解二：（換個角度思考）先從3點整算起，然后減去10分鐘，

3點整時相距15格。

15-r（1——）—10=6—（分鐘）。

1211

（3）促進學(xué)生形成優(yōu)良認知結(jié)構(gòu)的教學(xué)藝術(shù)

①加強知識間聯(lián)系（使知識系統(tǒng)化）

②加強對知識的理解（注意不是盲目提高）

A親歷知識的生長過程（提供必要的感性材料，使學(xué)生自主建構(gòu)

正確合理的意義，使過程上升為對象。）

B參與數(shù)學(xué)研究（做數(shù)學(xué)）

C使用變式教學(xué)

D及時進行反思（從認識論高度來提升理解水平）

③促進知識的遷移（運用）

提高對已有知識的概括化水平

揭示前后知識間的共同因素與不同因素

指導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)策略的學(xué)習(xí)

及時、復(fù)習(xí)與運用

3.數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的一般過程

（1）數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)

獲得數(shù)學(xué)概念的兩種基本方式一概念形成與概念同化

①概念的形成：辨別……刺激模式

分化……各種屬性

類化……共同屬性

抽象……本質(zhì)屬性或關(guān)鍵屬性

檢驗...確認

概括……形成概念

形式化……用符號表示

例如：平行線概念的形成

②概念的同化

揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；

對概念進行特殊的分類，再討論這個概念表達的特殊情況，突出

概念的本質(zhì)；

建立與原認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念的聯(lián)系，同化新學(xué)習(xí)的概念；

用肯定和否定例證強化（辨認）；

實際應(yīng)用強化概念，并把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念系統(tǒng)中。

例如：一元二次方程概念的同化

③、概念形成與概念同化相互結(jié)合的模式

形成概念

系統(tǒng)

有意義接受式學(xué)習(xí)與探究發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)的公共核心，一一創(chuàng)設(shè)條件

讓學(xué)生自主建構(gòu)。

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)--由過程到對象。

④數(shù)學(xué)概念的理解學(xué)習(xí)--由過程到對象。

數(shù)學(xué)概念具有二重性，許多概念既表現(xiàn)為一種過程操作，又表現(xiàn)

為一種對象、結(jié)構(gòu)。如代數(shù)式表運算過程，又表運算結(jié)果；“=”表

示做運算，在方程中又表示一個對象。

數(shù)學(xué)知識的二重性決定了數(shù)學(xué)思維、理解的二重性。

解題訓(xùn)練不會自然地過度到理解和領(lǐng)會，過度操練反而會起到反

作用。

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)的APOS理論

杜賓斯基認為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷四個階段：

活動階段Actiom;活動操作

過程階段Process;把活動綜合為過程

對象階段Object;把過程當(dāng)作一個完整的對象

圖式階段Schemeo把概念綜合成心理圖式存于腦海

⑤.影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理因素

A原有認知結(jié)構(gòu)（已有知識經(jīng)驗、認知風(fēng)格等）；

B智力活動水平（對感性材料的感知、概括能力水平等）；

C語言表達能力；

D非智力因素水平；

E學(xué)習(xí)材料的有效組織（感性材料本身的典型性，代表性等對學(xué)

習(xí)產(chǎn)生重要影響等）；

注意：教材中陳述數(shù)學(xué)概念，一般與人認識數(shù)學(xué)概念（概念形成）

的過程相反。

（2）數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)

①獲得數(shù)學(xué)命題意義的兩種學(xué)習(xí)方式--命題發(fā)現(xiàn)與命題接受

數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)：觀察實例、提出假設(shè)、驗證假設(shè)、得出結(jié)論。

數(shù)學(xué)命題的接受：分析命題，激后舊知識、分析新舊知識、理解

完整意義。

例如：等腰三角形性質(zhì)定理；平行線判定定理。

②數(shù)學(xué)命題證明學(xué)習(xí)過程

本質(zhì)上是數(shù)學(xué)問題解決。

邏輯上是找有限命題序列A】、A2-An.其中A\的條件是命題的

條件，A的結(jié)論是命題的結(jié)論，A,(lWiWn)是已證明過的真命題

或是公理。

安德森記憶網(wǎng)絡(luò)激活擴張模式(引導(dǎo)聯(lián)想)。

影響數(shù)學(xué)命題證明順利完成的心理因素：思路點的準確性；擴展

力；推理能力；證明方法與思考方法。

1

例：已知aJl-U+0,1_。2=i,求證/+b=\

由條件能激活什么？(聯(lián)想什么？怎么理解條件？)

解法一，代數(shù)方法。(理解為根式問