3.6 位似 （課件）2024-2025湘教版 數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

3.6位似知識(shí)點(diǎn)位似圖形的定義1

2.位似與相似的關(guān)系：(1)相似僅要求兩個(gè)圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)所在直線(xiàn)相交于一點(diǎn)；(2)如果兩個(gè)圖形是位似圖形，那么這兩個(gè)圖形必是相似圖形，但是相似的兩個(gè)圖形不一定是位似圖形，因此，位似是相似的特殊情況.特別提醒◆兩個(gè)位似圖形的位似中心一般只有一個(gè).◆位似中心可能位于兩個(gè)位似圖形的同側(cè)，也可能位于兩個(gè)位似圖形之間，還可能位于兩個(gè)位似圖形的內(nèi)部或邊上或某一個(gè)頂點(diǎn)處.

常見(jiàn)位似圖形的構(gòu)成如圖3.6-1所示.判斷如圖3.6-2所示的各圖中的兩個(gè)圖形是否是位似圖形，如果是，請(qǐng)指出其位似中心.例1解題秘方：緊扣“位似圖形的定義”進(jìn)行判斷.解：(1)是位似圖形，位似中心為點(diǎn)A；(2)不是位似圖形；(3)是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O.感悟新知1-1.視力表用來(lái)測(cè)試一個(gè)人的視力，如圖是視力表的一部分，圖中的類(lèi)似“E”的圖形均是相似圖形，下面不是位似圖形的是(

)A.①和④B.②和③C.①和②D.②和④B知識(shí)點(diǎn)位似圖形的性質(zhì)2位似圖形具有的性質(zhì)：(1)位似圖形每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)必過(guò)位似中心.(2)位似圖形任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.(3)位似圖形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行(或在一條直線(xiàn)上)，且對(duì)應(yīng)線(xiàn)段之比相等.(4)兩個(gè)圖形位似，則兩個(gè)圖形必相似，其周長(zhǎng)比等于位似比，面積比等于位似比的平方.特別解讀：(1)我們利用位似圖形的性質(zhì)，可以作出已知圖形的位似圖形，把一個(gè)圖形放大或縮小，同時(shí)也可以利用位似圖形的性質(zhì)確定位似中心，求位似比及圖形的周長(zhǎng)與面積等.(2)利用位似圖形的性質(zhì)求兩個(gè)位似圖形的位似比，先要確定位似的順序，再確定位似比.示例圖如圖3.6-3，△ABC與△DEF位似.

相等[母題教材P100習(xí)題T1]找出如圖3.6-4所示的位似圖形的位似中心.解題秘方：緊扣“位似圖形每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)必過(guò)位似中心”進(jìn)行查找.例2

解：如圖3.6-5，點(diǎn)P1，P2，P3即為所求的位似中心.感悟新知2-1.

[模擬·東營(yíng)]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC

與△ODE

是位似圖形，其中點(diǎn)A(2，1)，則位似中心的坐標(biāo)是______．(4，2)感悟新知[期中·重慶沙坪壩區(qū)]如圖3.6-6，△ABC

與△DEF

是位似圖形，點(diǎn)O

為位似中心，已知AB∶DE

＝1∶2，△ABC的面積為4，則△DEF的面積為()A．6B．8C．12D．16例3感悟新知解題秘方：緊扣位似圖形位似比的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

答案：D感悟新知3-1.

[中考·重慶]如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O

為位似中心，相似比為2∶3．若△ABC的周長(zhǎng)為4，則△DEF的周長(zhǎng)是(

)A．4B．6C．9D．16B知識(shí)點(diǎn)位似圖形的畫(huà)法3畫(huà)位似圖形的步驟：(1)確定位似中心(位似中心可以在圖形外部，也可以在圖形內(nèi)部，還可以在圖形的邊上或在某一個(gè)頂點(diǎn)處)；(2)分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)，并延長(zhǎng)；(3)根據(jù)位似比，確定所畫(huà)位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的位置；(4)順次連接所作各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.注意：畫(huà)位似圖形時(shí)，要弄清位似比，即分清是已知圖形與新圖形的位似比，還是新圖形與已知圖形的位似比.特別提醒1.

位似中心的選取一般考慮使畫(huà)圖方便且符合要求.2.以一點(diǎn)為位似中心畫(huà)位似圖形時(shí)，符合要求的圖形往往不唯一，一般情況下，同一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形.如圖3.6-7，已知四邊形ABCD，將四邊形ABCD以點(diǎn)A為位似中心放大，使放大后的圖形與原圖形是位似圖形，且放大后的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比為2∶1.例4

解題秘方：緊扣“位似圖形的定義和性質(zhì)”，按畫(huà)位似圖形的步驟作圖(畫(huà)法不唯一).解：當(dāng)原圖與新圖形在點(diǎn)

A

同側(cè)時(shí)，如圖3.6-8，四邊形AB1C1D1

就是所求作的圖形；當(dāng)原圖形與新圖形在點(diǎn)A

異側(cè)時(shí)，如圖3.6-9，四邊形AB1C1D1就是所求作的圖形.感悟新知4-1.如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OAB

的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)出△OAB

的一個(gè)位似圖形，使兩個(gè)圖形以O(shè)為位似中心，且所畫(huà)圖形與△OAB

的位似比為2∶1．解：如圖，分別延長(zhǎng)AO，BO到A′，B′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝2∶1，則△OA′B′即為所求．知4－講知識(shí)點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中的位似41.

位似變換時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k.即若原圖形的某一頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則其位似圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0).注意：這里的位似比指的是新圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)邊的比.知4－講2.

位似變換與平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)三種變換的聯(lián)系和區(qū)別：(1)位似、平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)都是圖形變換的基本形式，它們的本質(zhì)區(qū)別在于：平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)三種圖形變換是全等變換，而位似變換是相似變換.知4－講(2)在直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)圖形進(jìn)行平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)或位似變換，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)都有各自的變化規(guī)律：①平移變換是橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)加上(或減去)平移的距離；②在軸對(duì)稱(chēng)變換中，以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，則縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；知4－講③在旋轉(zhuǎn)變換中，一個(gè)圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都分別互為相反數(shù)；④在位似變換中，當(dāng)以原點(diǎn)為位似中心時(shí)，變換后與變換前兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之比的絕對(duì)值、縱坐標(biāo)之比的絕對(duì)值都等于變換后的圖形與變換前的圖形的位似比.知4－講特別提醒1.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心時(shí)，使位似圖形與原圖形的位似比為k，那么當(dāng)位似圖形與原圖形在原點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)；當(dāng)位似圖形與原圖形在原點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－kx，－ky).2.當(dāng)k>1時(shí)，圖形擴(kuò)大為原來(lái)的k倍；當(dāng)0<k<1時(shí)，圖形縮小為原來(lái)的k.[母題教材P99例]如圖3.6-10，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3，－1)，(2，1).(1)畫(huà)出以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OBC放大為原來(lái)的2倍(即新圖與原圖的位似比為2∶1)的位似圖形△OB′C′；(2)分別寫(xiě)出B，C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，C′的坐標(biāo)；(3)如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，試寫(xiě)出點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo).例5解題秘方：先根據(jù)位似中心及位似比作圖，再利用位似變換時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).(1)畫(huà)出以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OBC放大為原來(lái)的2倍(即新圖與原圖的位似比為2∶1)的位似圖形△OB′C′；解：如圖3.6-10，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)B′，使OB′＝2OB.延長(zhǎng)CO到點(diǎn)C′，使OC′＝2OC，連接B′C′，則△OB′C′就是要畫(huà)的圖形.(2)分別寫(xiě)出B，C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，C′的坐標(biāo)；(3)如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，試寫(xiě)出點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo).解：點(diǎn)B′，C′的坐標(biāo)分別為(－6，2)，(－4，－2).點(diǎn)M(x，y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(－2x，－2y).感悟新知5-1.

[中考·營(yíng)口]如圖，在邊