2022屆四川省成都市高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.5.在三棱錐中,,且分別是棱,的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論:①;②平面;③三棱錐的體積的最大值為;④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號(hào)是()A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④6.已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上且滿足,若取得最大值時(shí),點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.7.已知是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.9.射線測厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為被測物厚度,為被測物的密度,是被測物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.10.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.11.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.12.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域是__________.14.已知向量,,若滿足,且方向相同,則__________.15.在中,已知,,是邊的垂直平分線上的一點(diǎn),則__________.16.實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.18.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn);當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)時(shí),的周長為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足,若點(diǎn)恰好在圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積21.(12分)如圖,底面是等腰梯形,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以為邊作正方形,且平面平面.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.22.(10分)已知,均為正項(xiàng)數(shù)列,其前項(xiàng)和分別為,,且,,,當(dāng),時(shí),,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】

轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡,即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

化簡復(fù)數(shù)為、的形式,可以確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限.【詳解】解:復(fù)數(shù)故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為位于第三象限故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算,復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】

①通過證明平面,證得;②通過證明,證得平面;③求得三棱錐體積的最大值,由此判斷③的正確性;④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則,,又,所以平面,所以,故①正確;因?yàn)?,所以平面,故②正確;當(dāng)平面與平面垂直時(shí),最大,最大值為,故③錯(cuò)誤;若與垂直,又因?yàn)?,所以平面,所以,又,所以平面,所以,因?yàn)?,所以顯然與不可能垂直,故④正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.6.B【解析】

設(shè),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因?yàn)槭菕佄锞€的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),所以,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí),,點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn),一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.7.D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.8.C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離,由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以,其中,故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義,由復(fù)數(shù)的幾何意義,將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可,屬于基礎(chǔ)題型.9.C【解析】

根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.10.D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則故選D.點(diǎn)睛:此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.11.D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進(jìn)而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】由,得,所以,所以原函數(shù)定義域?yàn)?,故答案?14.【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計(jì)算.注意驗(yàn)證兩向量方向是否相同.【詳解】∵,∴,解得或,時(shí),滿足題意,時(shí),,方向相反,不合題意,舍去.∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,解題時(shí)要注意驗(yàn)證方向相同這個(gè)條件,否則會(huì)出錯(cuò).15.【解析】

作出圖形,設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),可得出且,進(jìn)而可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算,涉及平面向量數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量,考查計(jì)算能力,屬于中等題.16.10【解析】

畫出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點(diǎn)睛】考查可行域的畫法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2).【解析】

(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù),可得出曲線的普通方程,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,進(jìn)而可得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的最大距離,以及直線截圓所得弦長,利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程得,.所以,曲線的普通方程為,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線是圓心為,半徑為為圓,圓心到直線的距離為,所以,點(diǎn)到直線的最大距離為,,因此,的面積為最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換,同時(shí)也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18.(1);(2)或【解析】

(1)由橢圓的定義可知,焦點(diǎn)三角形的周長為,從而求出.寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出和,從而寫出橢圓的方程;(2)設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo),由可知點(diǎn)為的重心,根據(jù)重心坐標(biāo)公式可將點(diǎn)用P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示.由點(diǎn)在圓O上,知點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足圓O的方程,得式.為直線l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),用韋達(dá)定理表示,將其代入方程,再利用求得的范圍,最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1)由題意知.,直線的方程為∵直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為解得或(舍去),∴橢圓的方程為(2)設(shè).∴點(diǎn)為的重心,∵點(diǎn)在圓上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的焦點(diǎn)三角形的周長,標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系,其中重心坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于較難的題.19.(1);(2)極小值;(3)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【解析】

(1)求出和的值,利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值;(3)由當(dāng)時(shí),以及,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1)因?yàn)椋裕?,.所以曲線在點(diǎn)處的切線為;(2)因?yàn)?,令,得或.列表如下?極大值極小值所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值;(3)當(dāng)時(shí),,且.由(2)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.20.(1).(2).【解析】

由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21.(1)見解析;(2)【解析】

(1)先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;(2)記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的

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