新八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）第02講 與三角形有關(guān)的角（人教版）（解析版）

第02講與三角形有關(guān)的角【人教版】·模塊一三角形的內(nèi)角·模塊二直角三角形的性質(zhì)與判定·模塊三三角形的外角·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一三角形的內(nèi)角1．三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°?！究键c(diǎn)1三角形內(nèi)角和定理】【例1.1】在我們的生活中處處有數(shù)學(xué)的身影，請(qǐng)看圖，折疊一張三角形紙片，把三角形的三個(gè)角拼在一起，就得到一個(gè)著名的幾何定理，請(qǐng)你寫出這一定理_____．【答案】三角形的內(nèi)角和是180°【詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)，折疊前后的兩個(gè)角相等，即∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，根據(jù)把三角形的三個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角∠1+∠2+∠3=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，因此這個(gè)定理為：三角形的內(nèi)角和是180°．故答案為三角形的內(nèi)角和是180°．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例1.2】如果三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x°，y°，y°，則x，y滿足的關(guān)系式（）A．x+y=90 B．2x=y C．x+2y=90 D．x+2y=180【答案】D【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵x°+y°+y°=180°，∴x+2y=180；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°，是解題的關(guān)鍵．【例1.3】如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），∠O=30°，若△AOP為鈍角三角形，則∠A的取值范圍是（）A．0°<∠A<60° B．90°<∠A<180°C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130° D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°【答案】D【分析】當(dāng)兩角的和小于90°或一個(gè)角大于90°時(shí)三角形是一個(gè)鈍角三角形，由此可求解．【詳解】解：由三角形內(nèi)角和可得：∠OAP+∠O+∠APO=180°，∵∠O=30°，∴當(dāng)∠OAP與∠O的和小于90°時(shí)，三角形為鈍角三角形，則有0°<∠A<60°；當(dāng)∠OAP大于90°時(shí)，此時(shí)三角形為鈍角三角形，則有90°<∠A<150°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握三角形內(nèi)角和及一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式1.1】一個(gè)缺角的三角形ABC殘片如圖所示，量得∠A=55°,∠B=60°，則這個(gè)三角形殘缺前的∠C的度數(shù)為（

）A．75° B．65° C．55° D．45°【答案】B【分析】由三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°,∠B=60°，∴∠C=180°?∠B?∠A=180°?55故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式1.2】如圖，直線a，b所成的角跑到畫板外面了，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)只要量出一條直線分別與直線a，b相交所形成的角的度數(shù)就可求得該角，已知∠1=71°，∠2=78°，則直線a，

【答案】31【分析】直線a，b交于點(diǎn)A，與邊框的交點(diǎn)分別為B，C，由對(duì)頂角的性質(zhì)可求解∠ABC和∠【詳解】解：直線a，b相交于點(diǎn)A，與邊框的交點(diǎn)分別為B，C，如圖，

∵∠1=71°，∠∴∠ABC=∠1=71°∵∠A+∴∠A=180°?71°?78°=31°故答案為31．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角，三角形的內(nèi)角和定理，利用對(duì)頂角的性質(zhì)求解∠ABC，∠【考點(diǎn)2三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【例2.1】如圖，在△ABC中，∠B=70°，∠ACD=50°，AB∥CD，則∠ACB的度數(shù)為（

）A．90° B．85° C．60° D．55°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠A=∠ACD=50°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∠ACD=50°，∴∠A=∠ACD=50°，又∵∠B=70°，∴∠ACB=180°?∠A?∠B=60°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵．【例2.2】如圖，將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，得到△A′DE，若∠DA′A．45° B．40° C．55° D．50°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得∠A′DE=∠ADE【詳解】解：由題意得，∠A又∵∠DA∴∠ADE=∠A∵DE∥∴∠ADE=∠B=40°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．【例2.3】如圖，在△ABC中，∠A=100°，△ABC的角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，則∠BOC=______．【答案】140°/140度【分析】根據(jù)角平分線的定義可知∠OBC=12∠ABC【詳解】解：∵BD，CE為△ABC的角平分線，∠A=100°，∴∠OBC=12∠ABC∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?(=180°?=180°?=180°?=140°．故答案為：140°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式2.1】將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為（

）度．A．60 B．75 C．45 D．30【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等即可求解．【詳解】解：由題意得∠A=60°，∠B=45°，∴∠1=∠ACB=180°?∠A?∠B=75°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2.2】將一副三角板如圖放放置，使點(diǎn)A在DE上，BC//DE．則∠ACD的度數(shù)為（A．45° B．50° C．60° D．75°【答案】D【分析】根據(jù)∠ACD=90°-∠ACE，想辦法求出∠ACE即可解決問題．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠E=∠ECB=30°，∵∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，∵∠ECD=90°，∴∠ACD=90°-15°=75°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式2.3】如圖△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度數(shù)．【答案】22°【分析】先求解∠BAD=90°?∠B=54°，∠BAE=∠BAD?∠DAE=54°?16°=38°，結(jié)合角平分線可得∠CAE=∠BAE=38°，從而可得答案．【詳解】解：∵AD為△ABC的高∴在Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠B=36°∴∠BAD=90°?∠B=54°（直角三角形兩個(gè)銳角互余），∴∠BAE=∠BAD?∠DAE=54°?16°=38°，又∵AE為∠BAC的角平分線，∴∠CAE=∠BAE=38°，∴∠CAD=∠CAE?∠DAE=38°?16°=22°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的高與角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握概念與三角形的內(nèi)角和定理是解本題的關(guān)鍵．模塊二模塊二直角三角形的性質(zhì)與判定1．直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。2．直角三角形的判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形?！究键c(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)】【例1.1】已知直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為50°，則其另一個(gè)銳角的度數(shù)為___度．【答案】40【分析】根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余求解即可．【詳解】解：∵直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為50°，∴另一個(gè)銳角的度數(shù)是90°?50°=40°，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【例1.2】（2023年山西省運(yùn)城市中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，直線m∥BC，AB⊥m于點(diǎn)D，直線m與AC交于點(diǎn)E，若∠C=20°，則∠A的度數(shù)為（

）

A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠ADE=90°，然后根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”可得∠AED=20°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得出答案．【詳解】解：∵AB⊥m，∴∠ADE=90°，∵m∥BC，∠C=20°，∴∠AED=20°，∴∠A=90°?20°=70°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵，題型比較簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題．【例1.3】如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則∠α的大小為（

）A．75° B．65° C．60° D．55°【答案】A【分析】如圖所示，根據(jù)直角三角板的特點(diǎn)，可知∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，在Rt△BAF【詳解】解：一副三角尺，如圖所示，∴∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，∴∠BAF=∠CAB?∠EAD=60°?45°=15°，在Rt△ABF中，∠α=90°?∠BAF=90°?15°=75°故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中兩個(gè)銳角的互余的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1.1】已知直角三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)之比為3:2，求這兩個(gè)銳角的度數(shù)．【答案】這兩個(gè)銳角的度數(shù)為54°和【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)兩個(gè)角分別為3x，2x，根據(jù)題意，得3x+2x=90解得：x=18∴3x=54°，則這兩個(gè)銳角的度數(shù)為54°和36【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余、解一元一次方程，會(huì)通過直角三角形的兩銳角互余列方程求解角的度數(shù)是解答的關(guān)鍵．【變式1.2】如圖△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，若∠ADB′=30°，則【答案】30【分析】由折疊的性質(zhì)及已知，可分別求得∠BDC及∠BCD的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可求得∠B，進(jìn)而求得∠A的度數(shù)．【詳解】由折疊的性質(zhì)得：∠BDC=∠B′DC∵∠ADB∴∠BDC=1∵∠ACB=90°，∴∠BCD=1∴∠B=180°?(∠BDC+∠BCD)=180°?(75°+45°)=60°．∴∠A=90°?∠B=90°?60°=30°．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩內(nèi)角互余等知識(shí)，折疊性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式1.3】如圖，已知∠AON=40°，點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AOP為直角三角形時(shí)，∠A=________．【答案】90°或50°【分析】先分類討論，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求解．【詳解】解：依題意，△AOP為直角三角形時(shí)，當(dāng)∠A=90°，△AOP為直角三角形時(shí)，當(dāng)∠APO=90°時(shí)，∠A=90°?∠AON=90°?40°=50°，故答案為：90°或50°．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，分類討論是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2直角三角形的判定】【例2.1】在△ABC中，滿足下列條件：①∠A=60°,∠C=30°；②∠A+∠B=∠C；③∠A:∠B:∠C=3:4:5；④∠A=90°?∠C，能確定△ABC是直角三角形的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和以及題中各條件，求角度，若存在角度為90°時(shí)，則該條件符合題意，進(jìn)而可得答案．【詳解】①∵∠A=60°,∠C=30°；∴∠A+∠C=60°+30°=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°?∠A?∠C=180°?90°=90°，則能確定△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；②∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，則能確定△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；③∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∴最大角∠C=180°×5則不能確定△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；③∵∠A=90°?∠C，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=180°?90°=90°，則能確定△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)系．【例2.2】已知：如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠1=∠B，∠A=∠2．求證：△ABC是直角三角形．【答案】見解析【分析】利用三角形內(nèi)角和定理可得∠1+∠2=90°，據(jù)此即可證明△ABC是直角三角形．【詳解】解：在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠1=∠B，∠A=∠2，∵∠A+∠2+∠1+∠B=180°，∴2∠1+2∠2=180°，即∠1+∠2=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握“三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°”是解題的關(guān)鍵．【變式2.1】根據(jù)下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．∠B=50°，∠C=40° B．∠B=∠C=45C．∠A，∠B，∠C的度數(shù)比為5：3：2 D．∠A-∠B=90°【答案】D【詳解】A.是直角三角形，因?yàn)椤螧+∠C=90°,根據(jù)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；B.是直角三角形．因?yàn)椤螧+∠C=90°，根據(jù)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；C.是直角三角形．因?yàn)椤螦:∠B:∠C=5:3:2,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形;D.由∠A-∠B=90°無法判斷哪個(gè)角是直角，故選D.【變式2.2】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直線DE與AC，BC分別交于D，E兩點(diǎn)．若∠DEC＝∠A，則△EDC是______________．【答案】直角三角形【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】解:在Rt△ABC中，∵∠B＝90°,∴∠A+∠C=90°,∵∠DEC＝∠A,∴∠DEC+∠C=90°,∴∠EDC=90°,∴△EDC是直角三角形,故答案為直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余及有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.模塊三模塊三三角形的外角1．三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。內(nèi)外角的關(guān)系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角?！究键c(diǎn)1三角形的外角】【例1.1】圖中，∠1是△ABC的外角的是(

)A. B.

C. D.【答案】D

【例1.2】如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.∠ADC是△ABD的一個(gè)外角，也是△ADC的一個(gè)內(nèi)角

B.∠AEB是△AEB的一個(gè)內(nèi)角，也是△AEF的一個(gè)內(nèi)角

C.∠ABF是△ABF的一個(gè)內(nèi)角，也是△AEF的一個(gè)外角

D.∠C是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，也是△ADC的一個(gè)內(nèi)角【答案】C

【詳解】解：由圖可得

∠ADC是△ABD的一個(gè)外角，也是△ADC的一個(gè)內(nèi)角，故A正確，不符合題意；

∠AEB是△AEB的一個(gè)內(nèi)角，也是△AEF的一個(gè)內(nèi)角，故B正確，不符合題意；

∠ABF是△ABF的一個(gè)內(nèi)角，不是△AEF的一個(gè)外角，故C錯(cuò)誤，符合題意；

∠C是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，也是△ADC的一個(gè)內(nèi)角，故D正確，不符合題意．

故選C．【變式1.1】如圖，以∠AOD為外角的三角形是

．

【答案】△AOB和△COD

【變式1.2】如圖，下列說法中錯(cuò)誤的是(

)A.∠1不是△ABC的外角B.∠ACD是△ABC的外角

C.∠ACD>∠A+∠BD.∠B<∠1+∠2

【答案】C

【詳解】解：A、∠1不是△ABC的外角，正確；

B、∠ACD是△ABC的外角，正確；

C、∠ACD=∠A+∠B，錯(cuò)誤；

D、∠B<∠1+∠2，正確；

故選：C．

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可．

此題考查三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答．【考點(diǎn)2三角形的外角的性質(zhì)】【例2.1】如圖，∠A的度數(shù)為_______°

【答案】80【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可知：∠A=∠ACD?∠B=110°?30°=80°；故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2.2】如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD．下列結(jié)論正確的是（

）A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)可知，∠BOD=∠B+∠A=∠C+∠D，∠AOC=∠D+∠C=∠A+∠B，∴∠AOC>∠D，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)結(jié)論正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形一個(gè)外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．【例2.3】如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．75° D．80°【答案】C【分析】由題意得∠E=90°，∠EAC=60°，∠DAC=45°，根據(jù)角的和差關(guān)系，得∠EAD=∠EAC?∠DAC=15°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠ADC=∠E+∠EAD=105°，從而解決此題．【詳解】解：如圖：由題意得，∠E=90°，∠EAC=60°，∠DAC=45°，∴∠EAD=∠EAC?∠DAC=15°，∴∠ADC=∠E+∠EAD=105°，∴α=180°?∠ADC=75°，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)，三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，是解決本題的關(guān)鍵．【變式2.1】直角三角形最小的一個(gè)外角為______度.【答案】90【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，兩個(gè)銳角處的外角等于直角和另一個(gè)銳角的和，而直角處的外角是兩個(gè)銳角的和等于90°，所以最小的一個(gè)外角為90°．【詳解】解：如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，銳角處的外角為鈍角，直角處的外角為直角，鈍角大于直角，所以最小的一個(gè)外角為90°．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角的度數(shù)等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和是解題的關(guān)鍵．【變式2.2】如圖，△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（

）A．360° B．180° C．250° D．245°【答案】C【分析】先利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．掌握外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2.3】如圖，直線a∥b，∠1=39°，∠2=70°，則

A．39° B．21° C．31° D．70°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3=∠2=70°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵a∥b，∴∠3=∠2=70°，又∵∠3=∠1+∠A，∠1=39°∠A=∠3?∠1=70°?39°=31°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2.4】如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=（

）A．20° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠P的度數(shù)．【詳解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM?∠CBP=50°?20°=30°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．模塊四模塊四課后作業(yè)1．已知Rt△ABC中，∠B=90°，若∠C比∠A大20°，則∠AA．35° B．55° C．60° D．40°【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠A+∠C=90°，結(jié)合條件即可求解．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°∴∠A+∠C=90°，∵∠C比∠A大20°，∴∠A+∠A+20°=90°，解得：∠A=35°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則∠EDF的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】分別在Rt△BDE和Rt△DFC中，求得∠EDB和【詳解】解：∵DE⊥AB，∴∠EDB=90°?∠B=40°，∵DF⊥AC，∴∠FDC=90°?∠C=30°，∵∠EDB+∠FDC+∠EDF=180°，∴∠EDF=180°?∠EDB?∠FDC=110°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)．注意利用隱含在題中的已知條件：三角形內(nèi)角和是180°．3．在△ABC中，已知∠B=3∠A，∠C=2∠B，則這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】求出△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)∠A=x，則∠B=3∠A=3x，∠C=2∠B=6x，根據(jù)題意得：x+3x+6x=180°，解得：x=18°，則∠A=18°，∠B=54°，∠C=108°，∴這個(gè)三角形是鈍角三角形，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形分類，解題的關(guān)鍵是求出∠A=18°，∠B=54°，∠C=108°．4．如圖，在△DEF中，點(diǎn)C在DF的延長線上，點(diǎn)B在EF上，且AB∥CD，∠EBA=80°，∠D=45°，則A．35° B．25° C．20° D．15°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求得∠EFC的度數(shù)，然后即可得到∠EFD的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得∠E的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠EBA=∠EFC=80°，∴∠EFD=180°?∠EFC=180°?80°=100°，∵∠EFD+∠D+∠E=180°，∴∠E=180°?∠EFD?∠D=180°?100°?45°=35°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點(diǎn)A，C，點(diǎn)B在直線b上，AB⊥AC，若∠1=130°，則∠A．30° B．40° C．50° D．70°【答案】B【分析】直接利用三角形的外角性質(zhì)及平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【詳解】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1=130°∴∠ABC=∠1?∠BAC=130°?90°=40°，∵直線a∥b∴∠2=∠ABC=40°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．6．一副三角板如圖所示擺放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°，BC∥DE，則∠BAD的度數(shù)為（

）

A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)求得∠1=45°，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵BC∥DE，∠B=30°，∠D=45°，∴∠1=∠D=45°，∴∠BAD=∠1?∠B=45°?30°=15°，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，掌握“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．7．將一個(gè)直角三角板和一把直尺按如圖所示擺放，若∠1=25°，則∠2的度數(shù)為（

）A．65° B．60° C．55° D．45°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠3=∠1=25°，進(jìn)而可求出∠4=90°?∠3=65°，最后根據(jù)對(duì)頂角相等即可求解．【詳解】解：如圖，∵a∥b，∴∠3=∠1=25°，∴∠4=90°?∠3=65°，∴∠2=∠4=65°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中的角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．8．如圖，直線a∥b，直角三角形如圖放置，∠DCB=90°，若∠1+【答案】25°/25度【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠3=∠1+∠B=65°，再由平行線性質(zhì)得出∠3+∠2+90°=180°，即可解題．【詳解】解：如解圖，由三角形的內(nèi)外角關(guān)系得：∠3=∠1+∠B=65°，∵a∥b，∴∠2=180°?∠3?90°=180°?65°?90°=25°．故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．9．若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為3：7：4，那么這個(gè)三角形最大的一個(gè)角是_______度．【答案】90【分析】已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為k，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求出k的值，從而確定三角形的最大角的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為3k，7k，4k．則3k+7k+4k=180，解得k=907k=90，這個(gè)三角形最大的角等于90°．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理．解答此類題利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解可簡(jiǎn)化計(jì)算．10．如圖，△ABC中，∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處．如果∠A′【答案】50°/50度【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)，∠A′ED=∠AED=【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)，得∠A′ED=∠AED∵∠A∴∠A∵∠A=60°，∴∠A∴∠A故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角，熟練掌握折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=54°，∠D=12°，則∠P的度數(shù)為____．【答案】21°【分析】