高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料04 三角函數(shù)和解三角形教學(xué)案

【2013考綱解讀】

L了解任意角的概念，了解弧度制的概念,能進(jìn)行弧度與角度的互化;理解任意角的三

角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

77

2,能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出一±々，7土。的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式;

2

einx

理解同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=l,-------=tanx.

COSX

3.能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；2.理解正弦函數(shù),

余弦函數(shù)在區(qū)間［0,2萬］上的性質(zhì)(如單調(diào)性,最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正

777T

切函數(shù)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.

22

4.了解函數(shù)y=Asin@x+g)的物理意義；能畫出y=Asin(ox+o)的圖象，了解

A,。,夕對函數(shù)圖象變化的影響.

5.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式;能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差

的正弦、余弦和正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

6.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系;

能運用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換

【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

通

一在?角、弧度制I

位

I園

任,

怠?

三

向

角ffj

的函

雨I

.數(shù)

?

數(shù)

線

角

函

數(shù)

一

I一—Asin(gjr4-y)|—

一|兩角差的東用一兩角和、差的三角函教|一「二倍角的三角南教|

I----「-----1

的單的?:角恒等變換I

【重點知識整合】

一、三角恒等變換與三角函數(shù)

1.三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧：

(1)方程思想：sincif+cosof,sina—cosa,sinacosa三者中，知一可求二;

(2)“廣的替換：sin:a+cos:tz=l:

(3)切弦互化:弦的齊次式可化為切

(4)角的替換：2a=(a+⑨+(&-￡),。=(“+￡)—尸==^+二^

八八3F-m21-hCOSla.、1-cos2a

0)公式變形:cos"a=---------:sin*a

tan(z+tan尸=tan((z+>5)(1-tanatanJ3);

(6)構(gòu)造輔助角(以特殊角為主工

asina^bcosa=《a'+6：sin(a+@)(tan(p=—).

々2.

函數(shù)y=Asin(s+0)的問題：

TT

(1)“五點法”畫圖：分別令。x+°=0、萬、萬、2萬，求出五個特殊點；

⑵給出y=Asin(@c+e)的部分圖象，求函數(shù)表達(dá)式時，比較難求的是0,一般從“五

點法”中取靠近y軸較近的己知點代入突破；

7T

⑶求對稱軸方程:令0》+0=匕%+：(kwZ),

求對稱中心：令3C+0=婦7(kcZ);

(4)求單調(diào)區(qū)間:分別令2左九-三<G)x+<p<2Kr+q(A-eZ)：

jr37r

2%r+g<a)x+<p<2k^+^(keZ)，同時注意A、?符號.

二、解三角形

1.正弦定理

已知在△/回中，a,b,c分別為內(nèi)角4B、C的對邊，則告=一"=一三=2"("為

sin^sin//sine

三角形外接圓的半徑).

2.余弦定理

已知在△/比1中，a,b,c分別為內(nèi)角/、B、。的對邊，貝I]3=6?+3—26ccos4cos/

j2I2_2

=:廣a，另外兩個同樣?

3.面積公式

已知在△49C中，a,b,c分別為內(nèi)角/、B、。的對邊，則

⑴三角形的面積等于底乘以高的看

]1]abc

(2)S=-absinC=~bcsinA=~acsinB=—(M+分為該三角形外接圓的半徑)；

ZZrZ471

(3)若三角形內(nèi)切圓的半徑是r,則三角形的面積S=-(a+6+c)r；

(4)若則三角形的面積S=7pp—ap-bp-c.

【高頻考點突破】

考點一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式

1.各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.對于形如2k八+a(?￡Z)*冗士。，2兀一。的三角函數(shù)值，等于角&的同

兀3Ji

名三角函數(shù)值，前面加上一個將角a看成銳角時，原函數(shù)值的符號；對于形如萬土。，—

±a的三角函數(shù)值，等于角。的余名三角函數(shù)值，前面加上一個將角。看成銳角時，原

函數(shù)值的符號.

例1、已知角。的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸.若?(4,y)是角6終邊上

一點，且sin9=一邛^,則尸.

o

,所以singuJ不二==一羋，所以

解析：r=+y=116+]J,且sin^=

r枷+爐,

0為第四冢限角，解得,),=—S.

答案：-3

【變式探究】已知角0的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線T=

2x上，則cos20=()

A.一±B.—TC.TD.T

5555

cos：J-sm二及

解析：由角，的終邊在直線j=2x上可得【ane=2,cos2^=cosO：-sin:?9=

cosJ二+sm二6

1—tan:g_

l+tan'd

答案：B

【方法技巧】1.用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值有時反而更簡單；

2.同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)

注意正確選擇公式、注意公式的應(yīng)用條件.

考點二三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

,JIJI4、兀

y=sinx的遞增區(qū)間是［24兀一5，2左兀十萬］(A&Z),遞減區(qū)間是［2A兀+5，2A兀+

3Ji

—］(A￡Z)；

p=cosx的遞增區(qū)間是［24n一兀，2k立］(kGZ),

遞減區(qū)間是［2A兀，2kb+兀］(A《Z)；

JIJI

尸tanx的遞增區(qū)間是(《兀一萬，kn+—)(AeZ).

例2、已知a=(sinx,—cos^,6=(cosx,，5cosx),函數(shù)_f(x)=a

(1)求F(x)的最小正周期，并求其圖像對稱中心的坐標(biāo);

JI

⑵當(dāng)OWxW5時,求函數(shù)f{x}的值域.

\R

解：(1y(x)=sinxcosx-Vr3cos:x+彳.

=1s：n2\-cos2.\+1)+半

1、/、

-TSinZX--r-cos2x

=sm(八2x-j)】.

所以兵Q的最小正周期為兀

令sin(2x—j)=0>得2x-］=fcr(R￡Z),

.'.x=7rr+^(2EZ).

故所求對稱中心的坐標(biāo)為(占+10)(2EZ).

20

(2)'."0<x<?..,.—TSIV—

一~:三仙(上一亦1.

即危)的值城為［一喜1］.

【變式探究】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+0),其中0為實數(shù)，若f(x)W"("/)|對xGR

JI

恒成立，且f(5)>f(n),則/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[A兀一丁,A兀+~^-](4￡Z)B.\_k^,A幾+~^~](4￡Z)

362

兀2兀JI

C.[k^+~7_,左兀+~(A￡Z)D.\_k^——,4兀](A￡Z)

b32

JIJIJI

解析：因為當(dāng)x￡R時，F(xiàn)(x)W|F(豆)卜恒成立，所以代W)=sinCy+。)=±1,可得

JI5JIJI

0=2A兀+—^0=24兀-因為/(—)=sin(兀+=—sin。＞/*(兀)=sin(2兀+0)

5JI5兀

=sinO,故sin0＜0,所以0=2A兀一-^~,所以/'(x)=sin(2x—^~),函數(shù)的單調(diào)遞增

66

兀5JIJI

區(qū)間為一K+24兀W2x一二一W?+2A兀,

262

一JI2兀

所以[An+—,k貨+-7-](A^Z).

63

答案：C

【方法技巧】(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是

在定義域內(nèi)，將三角函數(shù)式化為尸Zsin(Gx+0)+8的形式，然后再求解.

(2)求函數(shù)廣(x)=4sin(GX+。)(口＞0)的單調(diào)區(qū)間常用換元法：將GX+。作為一個

jiji

整體，若求單調(diào)增區(qū)間，令3x+6G2kx—工,2后十萬(A￡Z)；若求單調(diào)減區(qū)間，則

一JI3兀1

令ox+0e24“+5，2kTI+—(AeZ).值得注意的是，若?！?,則需要利用誘導(dǎo)公

式將其轉(zhuǎn)換為Hx)=/sin(ox+0)(。＞0)的形式，再用換元法求單調(diào)區(qū)間.

考點三函數(shù)丁=￡皿“+夕)的圖像及變換

函數(shù))—Asin(cax+°)的圖像：

(1)五點法：作圖：

設(shè)二=ox+s令2=0,兀，U，2x,求出X的值與相應(yīng)的

J,的值，描點、連線可得.

(2)圖像變換:

向左o＞Q或向右ovQ

y=sinx-------------------------r=sin(x+p)

平移例個單位

j=sin((wx+s)

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼??白哈

----------------------------v=Jsin(sx+p).

橫坐標(biāo)不變

例3、已知函數(shù)f(x)=/sin(。矛+0)(/〉0,?！?,|。|〈?)的一段圖像經(jīng)過點(0,1),如

圖所示.

(1)求f(x)的表達(dá)式；

11

(2)將函數(shù)f(x)的圖像向右平移了個單位長度得到函數(shù)6(x)的圖像，求尸f(x)+

6(x)的最大值，并求出此時自變量x的集合.

11JiJI,,2兀

解：⑴由題圖知，函數(shù)￡5)的周期7=F-一(—訪)=兀，??.|幻|=k=2.

又G>0,故3=2.

JI

又點(一記，0)為函數(shù)￡5)圖像一個周期內(nèi)五點的起點.

.*.2?(—訪)+0=0.從而。=看，

ji

故fi(x)=Zsin(2JT+—),

o

又f(x)的圖像過點(0,1).

JI,

?二l=4sin(2X0+k),得A=2,

o

JI

由此可得到f(x)的表達(dá)式為力(x)=2sin(2^+—).

6

⑵由題意得到.6(x)=2sm[2(x-?+*

=2sin(2x-T).

.■.3，=7i(x)+72(x)=2sin(2x+^)+2sin(2x-p

=2sm(2x+2cos(2x+^)=[Ssin(2x-卡).

二函數(shù)j=/i(x)+.E(x)的最大值為Hi,

此時2x—S=2Qr+W，即工=市+丁^Z.

12124

.??I=,6(x)+￡(x)取最大值時自變量工,的集合為

{xix=fer+T^i,tEZ).

【變式探究】已知函數(shù)f(x)=/tan(GX+0)(公＞0,|O|《"),p=_f(x)的部分圖像如『圖,

則,(蘇=

解析：由圖像可知，此正切函數(shù)的半周期等于4力-91=力>=巳1，故該正切函數(shù)的周期

ooo4

為看,所以，3=)從題中可以知道，圖像過定點手，。)，所以0=.4tan(2xQx+￡?),即jn+

@=阮(及GZ),所以，p=fat—1TC(^EZ).又s)v±b所以@=$.

再由圖像過定點?I)，所以，/=1.綜上可知，/(x)=tan(2x+3.故有貝與r)=tan(2x=t+：

7t)=tan《=S.

答案:B

考點四三角變換及求值

三角函數(shù)求值有以下類型:

(1)“給角求值”，即在不查表的前提下，通過三角恒等變

換求三角函數(shù)式的值;

(2)“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的

其他三角函數(shù)式的值;

(3)“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角.

例1、已知函數(shù)『(x)=2sinxGR.

⑴求工(0)的值;

JIji106

⑵設(shè)a,￡仁[0,5],/(3a+—),/*(3￡+2兀)=守

求sin(。+￡)的值.

1ji

解：⑴?."(x)=2sin(gx—至),

/(0)=2sin(——)=-1.

(2)Va,G[0,—],f(3a+—)_f(3￡+2兀)=￡.

10/八?兀、6

/.2sina,2sin(￡+丁)=~

io乙o

53

即sina—cos￡

135

124

cosa=—,sin￡==.

135

/IC、…c53J2463

sin(a+p)=sin〃cos￡+cosasinP=-X—X7=—

13513565

11/小4A/3JIJI

【變式探究】已知：cos(2。一￡)汗sin(a—2^)

￡的值為

解析：:cos(2a—仍=—若且$2a一￡<兀，

.'.sin(2a—

sin(a—Ip)—且一]<a—2￡<1,

.'.cos(a—2)S)=1

cos(ci(+jff)=cos[(2<x—他—(a—2/3)]

=cos(2a—)ff)cos(a—2)ff)+sm(2a—sin(a—2Q

_11I—雙40_1

-HX7+TTX-2-

443

答案：J

考點五正、余弦定理的應(yīng)用

解三角形的一般方法是：

(1)已知兩角和一邊，如已知4、夕和由A+B+C=兀求C,

由正弦定理求a、b.

(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知以6和C,應(yīng)先用余弦

定理求。，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用4+8+。=兀求另一角.

(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、6和4應(yīng)先用

正弦定理求區(qū)由2+8+。=兀求。，再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有

多種情況.

(4)已知三邊女、6、c,可應(yīng)用余弦定理求4、B、C,

例5、△/a1中，角/、B、。的對邊分別為石、b、c,且lga—lg6=lgcos6—lgcosZW0.

(1)判斷回的形狀；

(2)設(shè)向量勿=(2a,6),n=(a,—36),且/_L〃，(m+n),(一/+力)=14,求a,b,

c.

解：(1)由題Igd+lgcos/=lg6+lgcos6,故acos/=6cos￡,

由正弦定理sin/cosZ=sin氏os￡,即sin2Z=sin2B

又cos/>0,cos&O,故4Be(0,—),2A,(0,兀).

因故2,A—JT—22?.

it

即4+6=5，故△/回為直角三角形.

(2)由于〃_!_〃，所以2a2—"362=0,①

且(卬+〃)?(—m+n)—n—m—14,

即8夕一3丁=14.②

聯(lián)立①②解得旨=6,匠=4,

故在直角△/8C中，a=#,b=2,c=y[lQ.

【變式探究】△.43c中，5=120°,AC=7,AB=5,

則ZU5C的面積為.

解析：設(shè)5C=x,由余弦定理得

49=25+x--10xcosl205,

整理得：x;+5x-24=0,即x=3.

因此S_x“=L3x5Cxs：n5

1,一S15#

=^x3x^x^-=—

答案：理

考點六解三角形與實際應(yīng)用問題

在實際生活中，測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度、不可到達(dá)的兩點的距離及航行中的

方位角等問題，都可通過解三角形解決.

例6、如圖，A,6是海面上位于東西方向相距5(3+4)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于4

點北偏東45°,萬點北偏西60°的〃點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于6點南偏西60°且

與8點相距20/海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援

船到達(dá)，點需要多長時間？

解：由題意知/6=5(3+q^)海里，

NDBA=90°-60°=30°,/物6=90。-45°=45°,

；./4如=18?！?(45°+30)°=105°,

在△的6中，由正弦定理得.”方獲=,.，品

sin/ZWsin/ADB

AB?sin/DAB+#

?DR=-------=------------

sinZADBsinl05°

=_______________________________

sin45°cos600+cos45°sin60°

=5上段:-o4(海里),

一3十1

2

又乙DBC=ND54+Z.45C=305+(905-60s)=60s,

3c=20/[海里)，

在△￡>3c中，由余弦定理得

C?=BU+BC-IBDBGcosNDBC

=300+1200-2X1QV3X20V3>|=900,

...CD=30(海里)，則需要的時間1=9=1(小時).

答：救援船到達(dá)D點需要1小時.

【方法技巧】應(yīng)用解三角形知識解決實際問題需要下列四步

(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，

如坡度、仰角、俯角、方位角等；

(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；

(3)將所求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等

有關(guān)知識正確求解；

(4)檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案.

【難點探究】

難點一簡單的三角恒等變換

..JIJI兀1?！闬[^

例1、⑴右。<萬，——<^<0,cos(4+。)一3，cos(彳2)一；，則cos

￡

(Q+萬)=()

0B-gc逆D

3399

(2)已知sina=1+cosa,且a￡(0，2)'則C五、的值為---------

sin(a一司

【答案】⑴c(2)—軍

【解析】(L)??飛056+4)=；,0<a<JI

339,

、、cos2a_cos:a-sin:a_cosa+sinacosa-sina

一_位:忑=~忑

sm\a[-^sina-cosa-^sina-cosa

——亞(cosa+sina),

??-_1,^._1

.sma-7+cosa,..cosa-sma——

兩邊平方得1—2sinacosa=：,所以2smacosa=j.

'/aE0,:cosa+sina=^/cosa+sina:=Ayl+^=^r，

.cos2a：yn

??.」￡1?2?

sin,,久一,:

【點評】在進(jìn)行三角恒等變換時，一個重要的技巧是進(jìn)行角的變換，把求解的角用已知角

JI

表示出來，把求解的角的三角函數(shù)使用已知的三角函數(shù)表示出來，常見的角的變換有，把萬

+2a變換成2^~+。[，(7=(。+￡)—￡=(。一￡)+￡,2。=(。+￡)+(。一￡),

2a=

G+0G+￡(￡、(CL、

(￡+a)—(￡—a),。+￡=2?一a一句一1萬一￡j等；在進(jìn)行三角

函數(shù)化簡或者求值時，如果求解目標(biāo)較為復(fù)雜，則首先要變換這個求解目標(biāo)，使之簡化，以

便看出如何使用已知條件.

難點二三角函數(shù)的圖象

例2⑴已知函數(shù)/1(x)=/tan(。矛+|。|＜萬)，y=F(x)的部分圖象如圖所

(2)要得到函數(shù)y=cos(2x+j~)的圖象，只需將函數(shù)y=gsin2x+孚cos2x的圖象

()

JIJI

A.向左平移:?個單位B.向右平移丁個單位

oZ

JlJI

C.向右平移彳個單位D.向左平移T個單位

【分析】(1)根據(jù)正切函數(shù)的周期性和已知函數(shù)圖象上的特殊點的坐標(biāo)，求出函數(shù)的解

析式；(2)化函數(shù)心+

Eoslx為余弦型函數(shù)，再根據(jù)兩個函數(shù)解析式之間的差異確定變換的方法.

【答案】⑴審(2)D

【解析】⑴由圖象知土=2、段Y=￡,3=2.又由于2、升0=市+為GZ),o=E

CD\oa'1oZ

+永隹Z).

又”匕所以.這時Hx)=/taii又圖冢過(01)，代人得

f

所

以ftX

J=l>故叉x)=tan，2x+：/-2L+-4

.24

(2)j=TSin2x-+￥cos2x-=co5'2x-^',故只要把這個函數(shù)的x換為

x+押可，即把這個函數(shù)的圖冢向左平移?單位長度即得函數(shù)產(chǎn)cos：2x+9的圖冢.

【點評】(1)根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式，主要是根據(jù)函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，如周

期性、對稱性、特殊點等，然后根據(jù)這些性質(zhì)求出函數(shù)解析式中的未知數(shù)，在本題中的函數(shù)

JI

y=/tan(。矛+0)的最小正周期是行,注意這是近幾年來考查的為數(shù)不多的一個正切型函

數(shù)；(2)在進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時，要把需要變換的兩個函數(shù)化為同一種類型的函數(shù)，

再根據(jù)兩個函數(shù)解析式的差別確定變換方法.

難點三三角函數(shù)的性質(zhì)

例3、已知函數(shù)/U)=sin(2x+。)，其中。為實數(shù)，若f(x)WF用對xGR恒成

立，且『@〉『(")，則/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

JIJI

A.4冗一~k五+-7"(A￡Z)

36_

JI

B.k八,k"+—(4￡Z)

JI

D.kb——,k八(A￡Z)

【答案】C

TY

立

亙成

一

【解析】對xER時，.心間門：6一6

+?或a=2Qr-,，tEZ.

因為,腐=sin(兀+夕)=—sig次兀)=sin(2n+@)=sms故sin”。.所以8=2E—所

以貝x)=s:n；2x一￡.

由一］+2HW2x—淮三+2H,得函數(shù),/(x)的單調(diào)遞噌區(qū)間為［市+專fe+y}/GZ),答

案為C.

【規(guī)律方法】1.根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式時，要注意從圖象提.供的信息確定

三角函數(shù)的性質(zhì)，如最小正周期、最值，首先確定函數(shù)解析式中的部分系數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖

象上的特殊點的坐標(biāo)適合函數(shù)的解析式確定解析式中剩余的字母的值，同時要注意解析式中

各個字母的范圍.

2.進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進(jìn)行的什么樣的變換都是變換的變量本身，

特別在平移變換中，如果這個變量的系數(shù)不是1,在進(jìn)行變換時變量的系數(shù)也參與其中，如

把函數(shù)y=sin(2x+z，的圖象向左平移三個單位時，得到的是函數(shù)y=sin|^2^+—^j+^-=

5兀一

sin2x+(彳的圖象.

3.解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)類的試題，變換是其中的核心，把三角函數(shù)的解析式通

過變換，化為正弦型、余弦型、正切型函數(shù)，然后再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的

性質(zhì)進(jìn)行研究.

難點四正余弦定理的應(yīng)用

JI1

例4、⑴在中，若方=5,ZB=—,sinA=~,則a=.

⑵在△Z8C中，sin/Wsi/B+sin?。一sin6sinC則Z的取值范圍是()

【解析】⑴由正弦定理有：號=目，即>冬，得a=羋.

smAsinz>1?23

32

2

(2)根據(jù)正弦定理有+c-bc,由余弦定理可知a=b+c~2bccosAf所以9+

</—26ccos/W62+/—6c,即有cos/'g,所以角4的取值范圍為"，可，選擇C.

【點評】解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理.正弦定理解決的是已知三角形兩

邊和一邊的對角、三角兩內(nèi)角和其中一邊兩類問題，余弦定理解決的是已知三角形兩邊及其

夾角、已知三角形三邊的兩類問題.在解題中只要分析清楚了三角形中的己知元素，就可以

選用這兩個定理中的一個求解三角形中的未知元素.本例的第二小題中的不等式看上去是角

的正弦的一個不等式，實際上給出的是邊的不等式，正弦定理在三角形的邊角關(guān)系互化中起

關(guān)鍵作用.

難點五函數(shù)的圖象的分析判斷

cos2-2cosc2c-a

例5、在△/8C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c.已知

cosBb-

air>

⑴求能的值;

(2)若cos方=；,6=2,求△/回的面積S.

【解答】⑴由正弦定理,設(shè)急=急=肅

-2c-a2feinC-tsin42sinC-sin-4

則tl「—=——r—z——=---r—,

b心m3sin3

ei、.cos.4-2cosC2sinC-sm4

所以es3=s:n5

§P(cos.-J—2cos05：n3=(2smC—s：n.J)cos5,

化藺可得sin(J+3)=2sm(3+C).

又/+3+C=n,所以原等式可化為smC=2sm」,

因此素=2.

由余弦定理ii：=a-4-c;—2accos5及cos3=1,b=2,

得4=?+』W—解得a=L從而c=2.

又因為cos5=1,且0<5<兀所以s:n5="^.

因此S=《acsm5=（xlx2x*^=￥^

【點評】本題的難點是變換出二等區(qū)=在1時，變換方向的選取，即是把角的函

cos夕b

數(shù)轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，還是把邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，從已知式的結(jié)構(gòu)上看，把其中三個內(nèi)角

的余弦轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系是較為復(fù)雜的，而根據(jù)正弦定理把其中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦，則

是較為簡單的，在含有三角形內(nèi)角的三角函數(shù)和邊的混合關(guān)系式中要注意變換方向的選

擇.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個方程，在解三角形的試題中方程思

想是主要的數(shù)學(xué)思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問題.

難點六解三角形的實際應(yīng)用

例6、如圖6—1,漁政船甲、乙同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁

船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏

西20°方向的8處，兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線4C

航行前去救援，漁政船乙仍留在8處執(zhí)行任務(wù)，漁政船甲航行30km到達(dá)，處時，收到新的

指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行，于是立即通知在8處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙（漁

政船乙沿直線6c航行前去救援漁船丙），此時反，兩處相距42km,問漁政船乙要航行多

少千米才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實施營救？

在

I

/I漁政船甲

BY

漁政船乙

漁船丙c

【分析】即求線段a1的長度.根據(jù)題意，在△灰?中，已知BD,DC,因此只要求出/初C

的余弦值，即可根據(jù)余弦定理求出6c根據(jù)三角形的外角定理，/BDC=NABD+6Q°,只要

在中根據(jù)正弦定理求出//劭的正弦值，然后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出其余弦值，

再根據(jù)和角的余弦公式即可求出/如C的余弦值.

【解答】設(shè)N/3D=a,在△/5D中，TD=30,5D=42,

即sina=^5inZ.3AD=v^sinfiO:=Vr-

HD4214

文：RD<BD,.,.0°<a<60°,cosa=^l-sm;a=y1,

cosZ325C=cos(605+a)=-7.

在△8DC中，由余弦定理得

BC=DC+BD1—2DCBDcosZBDC=402+42--80x42cos(6054-a)=3844/.5C=

62(km).

答：漁政船乙要航行62千米才能到達(dá)漁船丙所在的位置。處實施營救.

【變式探究】如圖6—2,某巡邏艇在4處發(fā)現(xiàn)在北偏東45。距4處8海里處有一走私船，

正沿南偏東75。的方向以12海里/小時的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12/海里/小時

的速度沿直線追擊，問巡邏艇最少需要多長時間才能追到走私船？并指出巡邏艇航行方向.

圖6-2

【解答】設(shè)經(jīng)過？小時在點C處剛好追上走私船，依題意:

AC=l2^i,BC=l2t,N/5c=120°.

在△灰中，襦=忐記

所以smZ5JC=1,Z5JC=30S

所以N3=3C=8=12f,解得;=?,所以最少經(jīng)過豆、時可追到走私船，沿北偏東75，的

【規(guī)律技巧】1.使用正弦定理能夠解的三角形有兩類，一類是已知兩邊及其中一邊的

對角，一類已知一邊和兩個內(nèi)角（實際就是已知三個內(nèi)角），其中第一個類型也可以根據(jù)余弦

定理列出方程求出第三邊，再求內(nèi)角.在使用正弦定理求三角形內(nèi)角時，要注意解的可能情

況，判斷解的情況的基本依據(jù)是三角形中大邊對大角.

2.當(dāng)已知三角形的兩邊和其中一個邊的對角求解第三邊時，可以使用正弦定理、也可

以使用余弦定理，使用余弦定理就是根據(jù)余弦定理本身是一個方程，這個方程聯(lián)系著三角形

的三個邊和其中的一個內(nèi)角.

3.正弦定理揭示了三角形三邊和其對角正弦的比例關(guān)系，余弦定理揭示了三角形的三

邊和其中一個內(nèi)角的余弦之間的關(guān)系.

【歷屆高考真題】

【2012年高考試題】

一、選擇題

1.[2012高考真題重慶理5]設(shè)tano,taM是方程式―3%+2=0的兩個根，則

tan(a+/?)的值為

(A)-3(B)-1(C)1(D)3

【答案】A

【解析】因為1911。J皿尸是方程?？一3》+2=0的兩個根，所以tana+tan尸=3,

tanatan(3=1,所以tan(a+￡)=空工~啊!_￡=」_=_3，選A.

1-tanatan/31—2

2.[2012高考真題浙江理4]把函數(shù)y=cos2x+l的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2

倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是

【答案】A

【解析】根據(jù)題設(shè)條件得到變化后的函數(shù)為J=COS(X+1),結(jié)合函數(shù)圖?？芍x項A

符合要求.故選A.

JFTT

3.12012高考真題新課標(biāo)理9】已知G>0,函數(shù)/(無)=sin(公r+j在(萬,1)上單調(diào)遞

減.則①的取值范圍是()

(A)[|,|](B)[|,|](C)(0,1](0(0,2]

【答案】A

7T7T

【解析】函數(shù)/(x)=sin&Y+—)的導(dǎo)數(shù)為y(x)=OS(^Y+—),要使函數(shù)

44

f(x)=sin3+生)在(生㈤上單調(diào)遞減，則有f'(x)=<ycos(atv+—)<0恒成立，

424

TTTT37r57r

則——b2k7i<cox——<-----1-2k7i,即——I-Ikn<cox<-----卜2k冗，所以

24244

12k兀yr2k兀j.,二,7r57r“TC-,、（

-----1-------Vx<------1-------，keZ,當(dāng)左=0時，—<xV—，又—<x<乃，所以

4。。4。。4a）4。2

有

JTTT577-1515

—<-,—>7?-,解得02七,041,即上選A.

4。24。2424

4.[2012高考真題四川理4】如圖，正方形ABCD的邊長為1,延長區(qū)4至E,使AE=1,

連接EC、瓦）則sinNCED=（

A3ABcV10

1010

【答案】B

【解析】EB=E4+AB=2,

EC=^EB2+BC2=44+1=45,

_EDC=z￡DJ+Z.lDC=-+-=—

424

sinACED

由正弦定理得

sin乙EDC

所以sin"ED=fgsin乙EDC=*苧=尋

5.[2012高考真題陜西理9]在AABC中,角A,5c所對邊長分別為。，瓦c,若

片+〃=202,貝UcosC的最小值為（）

用R

L.------D.------C.D.

2222

【答案】C.

【解析】由余弦定理知

a2+b2-c2/+/—（/+/）

a2+Z?2、2ab1w生c

cosC=---------------=--------------N--------=---一--，故選C?

2ablab4ab4ab2

6.12012高考真題山東理7］若,sin2，=￡Y—,則sind=

428

343

(A)—(B)—(C)---(D)—

5544

【答案】D

【解析】因為,所以㈤，cos2^<0所以

cos20=_Jl—sin.26=--,

8

i93

又。0526=1—25由-6=-—，所以sin，8=—,sin8二二，選D.

8164

7.【2。12高考真題遼寧理7】已知5111。一以光。=血，

aG(0,兀)，貝Itana二

⑻一辛

(A)—1(D)1

1答案】A

【解析一】s