全國(guó)統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何第2講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系1備考試題文含解析

第八章立體幾何其次講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.下列說法正確的是()A.梯形肯定是平面圖形B.過三點(diǎn)確定一個(gè)平面C.三條直線兩兩相交確定一個(gè)平面D.若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合2.[廣東高考,5分][文]若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交 B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交 D.l至少與l1,l2中的一條相交3.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA與O1A1的方向相同,則下列結(jié)論中正確的是(A.OB∥O1B1且OB與O1B.OB∥O1B1C.OB與O1B1不平行D.OB與O1B1不肯定平行4.[2024全國(guó)卷Ⅰ,6,5分][文]如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()ABCD5.[2024長(zhǎng)春市第四次質(zhì)量監(jiān)測(cè)]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)N是棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AN與BC所成角的余弦值為.

6.[2024全國(guó)卷Ⅱ,14,5分]α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:①假如m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②假如m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③假如α∥β,m?α,那么m∥β.④假如m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫全部正確命題的編號(hào))

拓展變式1.[2024全國(guó)卷Ⅱ,9,5分][文]正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.22 B.32 C.52.[2024湖南四校聯(lián)考]如圖8-2-8所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,N為底面ABCD的中心,P為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),M為線段AP的中點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.CM與PN是異面直線B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BDD1B1D.過P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面肯定是等腰梯形圖8-2-8答案第八章立體幾何其次講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.A對(duì)于A,因?yàn)閮蓷l平行直線確定一個(gè)平面,所以梯形可以確定一個(gè)平面,A正確;對(duì)于B,過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面,留意三點(diǎn)不共線,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,三條直線兩兩相交,可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面相交或重合,D錯(cuò)誤.故選A.2.D假設(shè)l與l1,l2都不相交,因?yàn)閘與l1都在平面α內(nèi),于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,與已知沖突,故l至少與l1,l2中的一條相交.故選D.3.D在空間中,若兩角相等,角的一邊平行且方向相同,則另一邊不肯定平行,故選D.4.A解法一對(duì)于選項(xiàng)B,如圖D8-2-1所示,C,D為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),連接CD,因?yàn)锳B∥CD,M,Q分別是所在棱的中點(diǎn),所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C,D中均有AB∥平面MNQ.選A.圖D8-2-1解法二對(duì)于選項(xiàng)A,作出正方體的底面的對(duì)角線,記對(duì)角線的交點(diǎn)為O(如圖D8-2-2所示),連接OQ,則OQ∥AB,因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn),所以AB與平面MNQ有交點(diǎn),即AB與平面MNQ不平行,故選A.5.23因?yàn)锳D∥BC,所以∠DAN為異面直線AN與BC所成的角,連接AC,在Rt△NAC中,因?yàn)镹為CC1的中點(diǎn),所以CN=1.AN=AC2+CN2=(圖D8-2-26.②③④對(duì)于命題①,可運(yùn)用長(zhǎng)方體舉反例證明其錯(cuò)誤.如圖D8-2-3,不妨設(shè)AA'所在直線為直線m,CD所在直線為直線n,ABCD所在的平面為α,ABC'D'所在的平面為β,明顯這些直線和平面滿意題目條件,但α⊥β不成立.故①錯(cuò)誤.對(duì)于命題②,設(shè)過直線n的某平面與平面α相交于直線l,則l∥n,由m⊥α知m⊥l,從而m⊥n,故②正確.對(duì)于命題③,由平面與平面平行的性質(zhì)可知,③正確.對(duì)于命題④,由平行的傳遞性及線面角的定義可知,④正確.圖D8-2-31.C如圖D8-2-4,連接BE,因?yàn)锳B∥CD,所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角,即∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則CE=1,BC=2,由勾股定理得BE=5.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE,所以tan∠EAB=BEAB=5圖D8-2-42.A對(duì)于選項(xiàng)A,如圖D8-2-5,連接NC,PC.在△PAC中,M為AP的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),CN,PM交于點(diǎn)A,所以CM與PN共面,故A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)镻為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),所以AC>AP.在△MAC中,CM2=AC2+AM2-2AC·AMcos∠MAC=AC2+14AP2-AC·AP·cos∠MAC.在△PAN中,PN2=AP2+AN2-2AP·ANcos∠PAN=AP2+14AC2-AP·ACcos∠PAN,則CM2-PN2=34(AC2-AP2)>0,所以CM>PN,故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知AC⊥平面BDD1B1,即AN⊥平面BDD1B1,又AN?平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDD1B1,故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D,連接A1C1,在平面A1B1C1D1內(nèi)作PK∥A1C1,交C1D1于K,連接KC.在正方體中,A1C1∥AC,所以PK∥AC,PK,AC共面,所以四邊形PKCA就是過P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面,AA1=CC1,A1P=C1K,所以A