關于向量的練習題

一、基礎題1.已知向量a=(2,3)，求向量a的模。2.已知向量b=(4,1)，求向量b的單位向量。3.計算向量a=(1,2)與向量b=(1,3)的和。4.計算向量a=(2,3)與向量b=(4,5)的差。5.已知向量a=(3,4)，求向量a的相反向量。二、向量乘法題6.計算向量a=(2,3)與向量b=(4,1)的數(shù)量積。7.已知向量a=(1,2)與向量b=(1,3)垂直，求它們的點積。8.已知向量a=(3,4)與向量b=(6,8)平行，求它們的向量積。9.計算向量a=(2,1,3)與向量b=(4,5,2)的混合積。10.已知向量a=(1,0,1)，求向量a與自身的向量積。三、向量組題11.已知向量組α={a1=(1,2,3),a2=(2,1,4),a3=(3,0,5)}，判斷向量組α是否線性相關。12.已知向量組β={b1=(1,0),b2=(0,1)}，求向量組β的秩。13.已知向量組γ={c1=(2,3),c2=(4,6)}，求向量組γ的一個極大線性無關組。14.已知向量組δ={d1=(1,2,3),d2=(4,5,6),d3=(7,8,9)}，判斷向量組δ是否線性無關。15.已知向量組ε={e1=(1,2),e2=(2,4),e3=(3,6)}，求向量組ε的基。四、向量應用題16.在平面直角坐標系中，已知點A(2,3)、點B(4,1)，求向量AB。17.在空間直角坐標系中，已知點P(1,2,3)、點Q(1,0,2)，求向量PQ的模。18.已知向量a=(3,4)與向量b=(6,8)平行，求實數(shù)k，使得ka=b。19.在平面直角坐標系中，已知向量a=(2,1)、向量b=(4,3)，求向量a在向量b方向上的投影。20.已知向量a=(1,2,3)、向量b=(1,0,2)，求向量a與向量b的夾角。五、向量幾何題21.在平面直角坐標系中，已知向量a=(3,4)和向量b=(2,6)，判斷這兩個向量是否垂直。22.已知三角形ABC的三個頂點分別為A(1,2)、B(4,6)、C(7,2)，求向量AB和向量AC的夾角。23.在空間直角坐標系中，已知向量a=(1,2,3)和向量b=(2,1,4)，求這兩個向量的夾角余弦值。24.已知平行四邊形ABCD的對角線向量AC=(6,8)和向量BD=(10,0)，求平行四邊形ABCD的面積。25.在平面直角坐標系中，已知向量a=(4,3)和向量b=(2,1)，求向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。六、向量綜合題26.已知向量a=(2,1,3)和向量b=(4,5,2)，求向量c，使得向量a、向量b和向量c構成一個右手系。27.在平面直角坐標系中，已知向量a=(1,2)和向量b=(3,1)，求向量c，使得向量a、向量b和向量c構成的平行六面體的體積為8。28.已知向量a=(2,3,4)、向量b=(1,2,3)和向量c=(3,4,1)，判斷這三個向量是否共面。29.在空間直角坐標系中，已知向量a=(1,0,1)、向量b=(0,1,2)和向量c=(1,1,1)，求向量d，使得向量d與向量a、向量b和向量c都垂直。30.已知向量a=(3,4,5)、向量b=(6,8,10)和向量c=(9,12,15)，求實數(shù)λ，使得λ向量a+μ向量b=向量c，其中μ為已知實數(shù)。一、基礎題1.√(2^2+3^2)=√(4+9)=√132.單位向量：b/|b|=(4,1)/√(4^2+(1)^2)=(4,1)/√173.(1,2)+(1,3)=(0,5)4.(2,3)(4,5)=(2,8)5.向量a的相反向量：(2,3)二、向量乘法題6.24+3(1)=83=57.1(1)+23=1+6=5（此處題目有誤，垂直向量的點積應為0）8.向量積為0，因為平行向量的向量積為09.混合積：[2,1,3;4,5,2;6,8,4]=2(5(4)(2)8)(1)(4(4)(2)6)+3(4856)=8+1212=810.向量a與自身的向量積為0，因為任何向量與自身的向量積為0三、向量組題11.線性相關，因為a3=a1+a212.秩為2，因為向量組β的兩個向量線性無關13.極大線性無關組為{c1}，因為c2=2c114.線性相關，因為d3=d1+2d215.基為{e1}，因為e2=2e1，e3=3e1四、向量應用題16.向量AB=(42,13)=(2,4)17.|PQ|=√[(11)^2+(02)^2+(23)^2]=√(4+4+1)=√9=318.k=2，因為b=2a19.投影=(向量a·向量b/|向量b|^2)向量b=(24+(1)3)/25(4,3)=5/25(4,3)=(4/5,3/5)20.cosθ=(向量a·向量b)/(|向量a||向量b|)=(1(1)+20+32)/(√(1^2+2^2+3^2)√((1)^2+0^2+2^2))=5/√14√5=5/√70五、向量幾何題21.不垂直，因為向量a·向量b≠022.cosθ=(向量AB·向量AC)/(|向量AB||向量AC|)=(22+4(4))/(√(2^2+4^2)√(2^2+(4)^2))=12/√20√20=12/20=3/523.cosθ=(向量a·向量b)/(|向量a||向量b|)=(12+2(1)+34)/(√(1^2+2^2+3^2)√(2^2+(1)^2+4^2))=14/√14√21=2/√324.面積=1/2|向量AC||向量BD|=1/2√(6^2+8^2)√(10^2)=1/2