高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十九圓錐曲線中的最值問題課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十九圓錐曲線中的最值問題〖基礎(chǔ)落實(shí)練〗（30分鐘50分）一、選擇題(每小題5分，共35分)1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－4y2＝1(a＞0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于eq\f(\r(3),4)，拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合，則拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)M到直線l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1距離之和的最小值為()A．1B．2C．3D．4〖解析〗選B.由雙曲線方程eq\f(x2,a2)－4y2＝1(a＞0)可得雙曲線的右頂點(diǎn)為(a，0)，漸近線方程為y＝±eq\f(1,2a)x，即x±2ay＝0.因?yàn)殡p曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于eq\f(\r(3),4)，所以eq\f(a,\r(1＋4a2))＝eq\f(\r(3),4)，解得a2＝eq\f(3,4)，所以雙曲線的方程為eq\f(4x2,3)－4y2＝1，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(1，0).又拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0).如圖，設(shè)點(diǎn)M到直線l1的距離為|MA|，到直線l2的距離為|MB|，因?yàn)閨MB|＝|MF|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|，結(jié)合圖形可得當(dāng)A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|最小，且最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離d＝eq\f(|4×1＋6|,\r(42＋（－3）2))＝2.2．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)．若eq\f(|PF1|,|PF2|)的最大值為3，則橢圓C的離心率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(2),2)〖解析〗選B.P點(diǎn)到橢圓C的焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c，又eq\f(|PF1|,|PF2|)的最大值為3，所以eq\f(a＋c,a－c)＝3，所以e＝eq\f(1,2).3．過拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AC，BD，則四邊形ABCD面積的最小值為()A．3B．2C．1D．eq\f(\r(3),2)〖解析〗選B.由題意可知，直線AC和BD的斜率都存在且不為0，設(shè)直線AC的斜率為k，則直線BD的斜率為－eq\f(1,k)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，則直線AC的方程為y＝kx＋eq\f(1,4)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,4)，,x2＝y(tǒng)，))得x2－kx－eq\f(1,4)＝0，則x1＋x2＝k，x1x2＝－eq\f(1,4)，所以|AC|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(k2＋1)＝k2＋1，同理可得|BD|＝eq\f(1,k2)＋1，所以S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)(k2＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))＝1＋eq\f(1,2k2)＋eq\f(k2,2)≥1＋2eq\r(\f(1,2k2)×\f(k2,2))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2k2)＝eq\f(k2,2)，即k2＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形ABCD面積的最小值為2.4．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是C上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠AFB＝α(α為常數(shù))，線段AB中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作l的垂線，垂足為N，若eq\f(|AB|,|MN|)的最小值為1，則α＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)〖解析〗選C.如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ，BP，垂足分別是Q，P.設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，由拋物線定義得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.在△AFB中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcosα.所以eq\f(|AB|2,|MN|2)＝eq\f(a2＋b2－2abcosα,\f(（a＋b）2,4))＝eq\f(4（a2＋b2－2abcosα）,a2＋b2＋2ab)＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2ab（1＋cosα）,a2＋b2＋2ab)))＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2（1＋cosα）,\f(a,b)＋\f(b,a)＋2)))≥4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2（1＋cosα）,2\r(\f(a,b)·\f(b,a))＋2)))＝2－2cosα，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝b時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)閑q\f(|AB|,|MN|)的最小值為1，所以2－2cosα＝1，解得cosα＝eq\f(1,2)，所以α＝eq\f(π,3).5．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條準(zhǔn)線與拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線重合，當(dāng)eq\f(a4＋4,\r(a2＋b2))取得最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為()A．4B．eq\r(3)C．2D．eq\r(2)〖解析〗選D.拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)，所以eq\f(a2,c)＝1，即a2＝c，所以eq\f(a4＋4,\r(a2＋b2))＝eq\f(c2＋4,c)＝c＋eq\f(4,c)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c＝eq\f(4,c)＝2時(shí)等號(hào)成立．所以a2＝c＝2，解得a＝eq\r(2)，所以雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).6．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝3|MF|，則直線OM的斜率的最大值是()A．3B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)〖解析〗選D.由題意可知點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，p＞0，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),2p)，y0))(y0＞0)，由|PM|＝3|MF|可得PF→＝4MF→，則MF→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,8)－\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8p)，－\f(y0,4)))，所以點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,8)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8p)，\f(y0,4)))，所以kOM＝eq\f(\f(y0,4),\f(3p,8)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8p))＝eq\f(1,\f(3p,2y0)＋\f(y0,2p))≤eq\f(1,2\r(\f(3p,2y0)·\f(y0,2p)))＝eq\f(\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3p,2y0)＝eq\f(y0,2p)時(shí)等號(hào)成立．7．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于A，B和C，D兩點(diǎn)，則|AB|＋|CD|的最小值為()A．16B．12C．8D．4〖解析〗選A.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1，0)，所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消去y并化簡(jiǎn)得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝〖－(2k2＋4)〗2－4k4＝16k2＋16＞0，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，x1·x2＝1.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝eq\f(4,k2)＋4.由于AB⊥CD，所以直線CD的斜率為－eq\f(1,k)，所以直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，可求得x3＋x4＝2＋4k2，所以|CD|＝x3＋x4＋p＝2＋4k2＋2＝4＋4k2.所以|AB|＋|CD|＝eq\f(4,k2)＋4＋4＋4k2≥8＋2eq\r(\f(4,k2)·4k2)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,k2)＝4k2?k＝±1時(shí)等號(hào)成立，所以|AB|＋|CD|的最小值為16.二、填空題(每小題5分，共15分)8．設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足PF1→·PF2→＝0，則4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的最小值為________．〖解析〗設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2(a1＞a2)，它們的半焦距為c，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，所以|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又PF1→·PF2→＝0，所以PF1⊥PF2，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，即2c2＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，所以2＝eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),c2)＋eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),c2)，即eq\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋eq\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝2，所以4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\f(1,2)(4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋\f(4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\f(4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))))))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝eq\f(3,2)時(shí)等號(hào)成立，所以4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的最小值為eq\f(9,2).〖答案〗eq\f(9,2)〖加練備選·拔高〗已知直線l:x+y=3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在橢圓QUOTE+y2=1上運(yùn)動(dòng),則△PAB面積的最大值為.

〖解析〗因?yàn)閘:x+y=3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,所以A(3,0),B(0,3),因此|AB|=3QUOTE,又點(diǎn)P在橢圓QUOTE+y2=1上運(yùn)動(dòng),所以可設(shè)P(QUOTEcosθ,sinθ),所以點(diǎn)P到直線l的距離為d=QUOTE=QUOTE≤eq\f(|－\r(3)－3|,\r(2))＝eq\f(\r(3)＋3,\r(2))(其中tanφ＝eq\r(2))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|d≤eq\f(3（3＋\r(3)）,2).〖答案〗eq\f(3（3＋\r(3)）,2)9．已知拋物線C：y＝x2，點(diǎn)P(0，2)，A，B是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線AB的距離為1.則|AB|的最小值為__________．〖解析〗設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，則eq\f(|m－2|,\r(1＋k2))＝1，所以k2＋1＝(m－2)2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y＝x2，))得x2－kx－m＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－m，所以|AB|2＝(1＋k2)〖(x1＋x2)2－4x1x2〗＝(1＋k2)(k2＋4m)＝(m－2)2(m2＋3).記f(m)＝(m－2)2(m2＋3)，所以f′(m)＝2(m－2)(2m2－2m＋3)，又k2＋1＝(m－2)2≥所以m≤1或m≥3，當(dāng)m∈(－∞，1〗時(shí)，f′(m)＜0，f(m)單調(diào)遞減，當(dāng)m∈〖3，＋∞)時(shí)，f′(m)＞0，f(m)單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(1)＝4，f(3)＝12，所以f(m)min＝f(1)＝4，所以|AB|min＝2.〖答案〗210．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，若點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P到l的距離為d，Q在圓x2＋(y－3)2＝1上，則p＝________，|PQ|＋d的最小值為________．〖解析〗因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，所以p＝2，F(xiàn)(1，0)，準(zhǔn)線l：x＝－1，由拋物線的定義可知點(diǎn)P到l的距離d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，設(shè)圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為C，則C(0，3)，圓的半徑為1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝eq\r(12＋32)－1＝eq\r(10)－1，當(dāng)且僅當(dāng)C，P，Q，F(xiàn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以|PQ|＋d的最小值為eq\r(10)－1.〖答案〗2eq\r(10)－1〖素養(yǎng)提升練〗（25分鐘35分）1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上，點(diǎn)N為圓E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1上一點(diǎn)，則|MN|＋|MF2|的最小值為()A．8B．9C．10D．11〖解析〗選B.由題意可得2a＝6，即a＝3，漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，即有eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)，即b＝1，可得雙曲線方程為eq\f(x2,9)－y2＝1，焦點(diǎn)為F1(－eq\r(10)，0)，F(xiàn)2(eq\r(10)，0)，由雙曲線的定義可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|，由圓E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1可得E(0，－eq\r(6))，半徑r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|，連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且|EF1|＝eq\r(6＋10)＝4，則|MN|＋|MF2|的最小值為6＋4－1＝9.2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．2B．3C．eq\f(11,5)D．eq\f(37,16)〖解析〗選A.直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線．由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離，故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝eq\f(|4－0＋6|,5)＝2.3.如圖，已知拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(3，6)，圓C2：x2＋y2－6x＋8＝0，過圓心C2的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則|PN|＋3|QM|的最小值為________．〖解析〗由題意，拋物線過點(diǎn)(3，6)，得拋物線方程y2＝12x，設(shè)焦點(diǎn)為F(3，0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，所以圓心為(3，0)，與拋物線焦點(diǎn)重合．半徑r＝1.由于直線過焦點(diǎn)，所以有eq\f(1,|PF|)＋eq\f(1,|QF|)＝eq\f(2,p)＝eq\f(1,3)，又|PN|＋3|QM|＝(|PF|＋1)＋(3|QF|＋3)＝|PF|＋3|QF|＋4＝3(|PF|＋3|QF|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|PF|)＋\f(1,|QF|)))＋4＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(3|QF|,|PF|)＋\f(|PF|,|QF|)))＋4≥16＋6eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)|PF|＝eq\r(3)|QF|時(shí)取等號(hào)．〖答案〗16＋6eq\r(3)4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2eq\r(2)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的下頂點(diǎn)為P，如圖所示，點(diǎn)M為直線x＝2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l垂直于OM，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與OM交于點(diǎn)N，設(shè)四邊形AMBO和△ONP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最大值．〖解析〗(1)因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))在橢圓C上，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,2b2)＝1，又因?yàn)闄E圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2eq\r(2)，所以eq\f(1,2)×2a×2b＝2eq\r(2)，ab＝eq\r(2)，解得a2＝2，b2＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由(1)可知F(1，0)，設(shè)M(2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則當(dāng)t≠0時(shí)，OM：y＝eq\f(t,2)x，所以kAB＝－eq\f(2,t)，直線AB的方程為y＝－eq\f(2,t)(x－1)，即2x＋ty－2＝0(t≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,t)（x－1），,x2＋2y2－2＝0，))得(8＋t2)x2－16x＋8－2t2＝0，則Δ＝(－16)2－4(8＋t2)(8－2t2)＝8(t4＋4t2)＞0，x1＋x2＝eq\f(16,8＋t2)，x1x2＝eq\f(8－2t2,8＋t2)，所以|AB|＝eq\r(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(AB)))·eq\f(\r(Δ),8＋t2)＝eq\r(1＋\f(4,t2))×eq\f(2\r(2)·\r(t2（t2＋4）),8＋t2)＝eq\f(2\r(2)（t2＋4）,8＋t2).又OM＝eq\r(t2＋4)，所以S1＝eq\f(1,2)OM·AB＝eq\f(1,2)eq\r(t2＋4)·eq\f(2\r(2)（t2＋4）,8＋t2)＝eq\f(\r(2)（t2＋4）\r(t2＋4),8＋t2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,t)（x－1），,y＝\f(t,2)x，))得xN＝eq\f(4,t2＋4)，所以S2＝eq\f(1,2)×1×eq\f(4,t2＋4)＝eq\f(2,t2＋4)，所以S1S2＝eq\f(\r(2)（t2＋4）\r(t2＋4),8＋t2)·eq\f(2,t2＋4)＝eq\f(2\r(2)\r(t2＋4),8＋t2)＝eq\f(2\r(2),\r(t2＋4)＋\f(4,\r(t2＋4)))＜eq\f(\r(2),2)，當(dāng)t＝0時(shí)，直線l：x＝1，AB＝eq\r(2)，S1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，S2＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S1S2＝eq\f(\r(2),2)，所以當(dāng)t＝0時(shí)，(S1S2)max＝eq\f(\r(2),2).5.(10分)已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)過點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn),且AM的斜率為QUOTE.(1)求C的方程;(2)點(diǎn)N為C上一動(dòng)點(diǎn),求△AMN的面積的最大值..〖解析〗(1)由題意,點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-a,0),所以kAM=QUOTE=QUOTE,解得a=4,因?yàn)辄c(diǎn)M(2,3)在橢圓C上,所以QUOTE+QUOTE=1,解得b2=12,所以橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)由題意,直線AM的方程為y-3=QUOTE(x-2),即x-2y+4=0,因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C上,所以設(shè)N(4cosθ,2QUOTEsinθ),θ∈〖0,2π),設(shè)點(diǎn)N到直線AM的距離為d,所以d=QUOTE=QUOTE·|QUOTEsinθ-cosθ-1|=QUOTE·QUOTE,因?yàn)閨AM|=QUOTE=3QUOTE,所以S△AMN=QUOTE|AM|·d=QUOTE×3QUOTE×QUOTE·QUOTE=6·QUOTE,因?yàn)棣取省?,2π),所以2sinQUOTE-1∈〖-3,1〗,所以QUOTE∈〖0,3〗,所以當(dāng)QUOTE=3時(shí),(S△AMN)max=6×3=18.〖加練備選·拔高〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓E：eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(ⅰ)求eq\f(|OQ|,|OP|)的值；(ⅱ)求△ABQ面積的最大值．〖解析〗(1)因?yàn)閮蓤A的公共點(diǎn)在橢圓C上，所以2a＝3＋1＝4，a＝2.又因?yàn)闄E圓C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以c＝eq\r(3)，b2＝a2－c2＝1.即橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)(ⅰ)由(1)知，橢圓E：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.設(shè)P(x0，y0)是橢圓C上任意一點(diǎn)，則xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝4.直線OP：y＝eq\f(y0,x0)x與橢圓E：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1聯(lián)立消y得x2(1＋eq\f(4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))))＝16，即x2＝eq\f(16xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))，所以Q(－2x0，－2y0).即eq\f(|OQ|,|OP|)＝eq\f(|－2x0|,|x0|)＝2.(ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在直線y＝kx＋m上，所以y0＝kx0＋m，點(diǎn)Q(－2x0，－2y0)到直線y＝kx＋m的距離為d＝eq\f(|－2kx0＋2y0＋m|,\r(1＋k2))＝eq\f(|3m|,\r(1＋k2)).將y＝kx＋m與eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1聯(lián)立消y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0可得m2＜4＋16k2.①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－16,1＋4k2)，所以|x1－x2|＝eq\f(4\r(16k2＋4－m2),1＋4k2).直線y＝kx＋m與y軸交點(diǎn)為(0，m)，所以△OAB面積S△OAB＝eq\f(1,2)|m||x1－x2|＝eq\f(2|m|\r(16k2＋4－m2),1＋4k2)＝eq\f(2\r(（16k2＋4－m2）m2),1＋4k2)，令eq\f(m2,1＋4k2)＝t，則S△OAB＝2eq\r(（4－\f(m2,1＋4k2)）\f(m2,1＋4k2))＝2eq\r(（4－t）t).將y＝kx＋m與eq\f(x2,4)＋y2＝1聯(lián)立消y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S△OAB＝2eq\r(（4－t）t)≤2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1即m2＝1＋4k2時(shí)取得最大值)，注意到S△ABQ＝3S△OAB，所以S△ABQ＝3S△OAB≤6eq\r(3).即△ABQ的面積的最大值為6eq\r(3).課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十九圓錐曲線中的最值問題〖基礎(chǔ)落實(shí)練〗（30分鐘50分）一、選擇題(每小題5分，共35分)1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－4y2＝1(a＞0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于eq\f(\r(3),4)，拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合，則拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)M到直線l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1距離之和的最小值為()A．1B．2C．3D．4〖解析〗選B.由雙曲線方程eq\f(x2,a2)－4y2＝1(a＞0)可得雙曲線的右頂點(diǎn)為(a，0)，漸近線方程為y＝±eq\f(1,2a)x，即x±2ay＝0.因?yàn)殡p曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于eq\f(\r(3),4)，所以eq\f(a,\r(1＋4a2))＝eq\f(\r(3),4)，解得a2＝eq\f(3,4)，所以雙曲線的方程為eq\f(4x2,3)－4y2＝1，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(1，0).又拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0).如圖，設(shè)點(diǎn)M到直線l1的距離為|MA|，到直線l2的距離為|MB|，因?yàn)閨MB|＝|MF|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|，結(jié)合圖形可得當(dāng)A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|最小，且最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離d＝eq\f(|4×1＋6|,\r(42＋（－3）2))＝2.2．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)．若eq\f(|PF1|,|PF2|)的最大值為3，則橢圓C的離心率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(2),2)〖解析〗選B.P點(diǎn)到橢圓C的焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c，又eq\f(|PF1|,|PF2|)的最大值為3，所以eq\f(a＋c,a－c)＝3，所以e＝eq\f(1,2).3．過拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AC，BD，則四邊形ABCD面積的最小值為()A．3B．2C．1D．eq\f(\r(3),2)〖解析〗選B.由題意可知，直線AC和BD的斜率都存在且不為0，設(shè)直線AC的斜率為k，則直線BD的斜率為－eq\f(1,k)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，則直線AC的方程為y＝kx＋eq\f(1,4)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,4)，,x2＝y(tǒng)，))得x2－kx－eq\f(1,4)＝0，則x1＋x2＝k，x1x2＝－eq\f(1,4)，所以|AC|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(k2＋1)＝k2＋1，同理可得|BD|＝eq\f(1,k2)＋1，所以S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)(k2＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))＝1＋eq\f(1,2k2)＋eq\f(k2,2)≥1＋2eq\r(\f(1,2k2)×\f(k2,2))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2k2)＝eq\f(k2,2)，即k2＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形ABCD面積的最小值為2.4．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是C上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠AFB＝α(α為常數(shù))，線段AB中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作l的垂線，垂足為N，若eq\f(|AB|,|MN|)的最小值為1，則α＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)〖解析〗選C.如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ，BP，垂足分別是Q，P.設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，由拋物線定義得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.在△AFB中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcosα.所以eq\f(|AB|2,|MN|2)＝eq\f(a2＋b2－2abcosα,\f(（a＋b）2,4))＝eq\f(4（a2＋b2－2abcosα）,a2＋b2＋2ab)＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2ab（1＋cosα）,a2＋b2＋2ab)))＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2（1＋cosα）,\f(a,b)＋\f(b,a)＋2)))≥4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2（1＋cosα）,2\r(\f(a,b)·\f(b,a))＋2)))＝2－2cosα，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝b時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)閑q\f(|AB|,|MN|)的最小值為1，所以2－2cosα＝1，解得cosα＝eq\f(1,2)，所以α＝eq\f(π,3).5．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條準(zhǔn)線與拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線重合，當(dāng)eq\f(a4＋4,\r(a2＋b2))取得最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為()A．4B．eq\r(3)C．2D．eq\r(2)〖解析〗選D.拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)，所以eq\f(a2,c)＝1，即a2＝c，所以eq\f(a4＋4,\r(a2＋b2))＝eq\f(c2＋4,c)＝c＋eq\f(4,c)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c＝eq\f(4,c)＝2時(shí)等號(hào)成立．所以a2＝c＝2，解得a＝eq\r(2)，所以雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).6．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝3|MF|，則直線OM的斜率的最大值是()A．3B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)〖解析〗選D.由題意可知點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，p＞0，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),2p)，y0))(y0＞0)，由|PM|＝3|MF|可得PF→＝4MF→，則MF→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,8)－\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8p)，－\f(y0,4)))，所以點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,8)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8p)，\f(y0,4)))，所以kOM＝eq\f(\f(y0,4),\f(3p,8)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8p))＝eq\f(1,\f(3p,2y0)＋\f(y0,2p))≤eq\f(1,2\r(\f(3p,2y0)·\f(y0,2p)))＝eq\f(\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3p,2y0)＝eq\f(y0,2p)時(shí)等號(hào)成立．7．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于A，B和C，D兩點(diǎn)，則|AB|＋|CD|的最小值為()A．16B．12C．8D．4〖解析〗選A.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1，0)，所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消去y并化簡(jiǎn)得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝〖－(2k2＋4)〗2－4k4＝16k2＋16＞0，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，x1·x2＝1.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝eq\f(4,k2)＋4.由于AB⊥CD，所以直線CD的斜率為－eq\f(1,k)，所以直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，可求得x3＋x4＝2＋4k2，所以|CD|＝x3＋x4＋p＝2＋4k2＋2＝4＋4k2.所以|AB|＋|CD|＝eq\f(4,k2)＋4＋4＋4k2≥8＋2eq\r(\f(4,k2)·4k2)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,k2)＝4k2?k＝±1時(shí)等號(hào)成立，所以|AB|＋|CD|的最小值為16.二、填空題(每小題5分，共15分)8．設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足PF1→·PF2→＝0，則4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的最小值為________．〖解析〗設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2(a1＞a2)，它們的半焦距為c，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，所以|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又PF1→·PF2→＝0，所以PF1⊥PF2，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，即2c2＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，所以2＝eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),c2)＋eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),c2)，即eq\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋eq\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝2，所以4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\f(1,2)(4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋\f(1,eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋\f(4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\f(4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))))))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝eq\f(3,2)時(shí)等號(hào)成立，所以4eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的最小值為eq\f(9,2).〖答案〗eq\f(9,2)〖加練備選·拔高〗已知直線l:x+y=3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在橢圓QUOTE+y2=1上運(yùn)動(dòng),則△PAB面積的最大值為.

〖解析〗因?yàn)閘:x+y=3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,所以A(3,0),B(0,3),因此|AB|=3QUOTE,又點(diǎn)P在橢圓QUOTE+y2=1上運(yùn)動(dòng),所以可設(shè)P(QUOTEcosθ,sinθ),所以點(diǎn)P到直線l的距離為d=QUOTE=QUOTE≤eq\f(|－\r(3)－3|,\r(2))＝eq\f(\r(3)＋3,\r(2))(其中tanφ＝eq\r(2))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|d≤eq\f(3（3＋\r(3)）,2).〖答案〗eq\f(3（3＋\r(3)）,2)9．已知拋物線C：y＝x2，點(diǎn)P(0，2)，A，B是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線AB的距離為1.則|AB|的最小值為__________．〖解析〗設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，則eq\f(|m－2|,\r(1＋k2))＝1，所以k2＋1＝(m－2)2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y＝x2，))得x2－kx－m＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－m，所以|AB|2＝(1＋k2)〖(x1＋x2)2－4x1x2〗＝(1＋k2)(k2＋4m)＝(m－2)2(m2＋3).記f(m)＝(m－2)2(m2＋3)，所以f′(m)＝2(m－2)(2m2－2m＋3)，又k2＋1＝(m－2)2≥所以m≤1或m≥3，當(dāng)m∈(－∞，1〗時(shí)，f′(m)＜0，f(m)單調(diào)遞減，當(dāng)m∈〖3，＋∞)時(shí)，f′(m)＞0，f(m)單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(1)＝4，f(3)＝12，所以f(m)min＝f(1)＝4，所以|AB|min＝2.〖答案〗210．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，若點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P到l的距離為d，Q在圓x2＋(y－3)2＝1上，則p＝________，|PQ|＋d的最小值為________．〖解析〗因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，所以p＝2，F(xiàn)(1，0)，準(zhǔn)線l：x＝－1，由拋物線的定義可知點(diǎn)P到l的距離d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，設(shè)圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為C，則C(0，3)，圓的半徑為1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝eq\r(12＋32)－1＝eq\r(10)－1，當(dāng)且僅當(dāng)C，P，Q，F(xiàn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以|PQ|＋d的最小值為eq\r(10)－1.〖答案〗2eq\r(10)－1〖素養(yǎng)提升練〗（25分鐘35分）1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上，點(diǎn)N為圓E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1上一點(diǎn)，則|MN|＋|MF2|的最小值為()A．8B．9C．10D．11〖解析〗選B.由題意可得2a＝6，即a＝3，漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，即有eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)，即b＝1，可得雙曲線方程為eq\f(x2,9)－y2＝1，焦點(diǎn)為F1(－eq\r(10)，0)，F(xiàn)2(eq\r(10)，0)，由雙曲線的定義可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|，由圓E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1可得E(0，－eq\r(6))，半徑r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|，連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且|EF1|＝eq\r(6＋10)＝4，則|MN|＋|MF2|的最小值為6＋4－1＝9.2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．2B．3C．eq\f(11,5)D．eq\f(37,16)〖解析〗選A.直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線．由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離，故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝eq\f(|4－0＋6|,5)＝2.3.如圖，已知拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(3，6)，圓C2：x2＋y2－6x＋8＝0，過圓心C2的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則|PN|＋3|QM|的最小值為________．〖解析〗由題意，拋物線過點(diǎn)(3，6)，得拋物線方程y2＝12x，設(shè)焦點(diǎn)為F(3，0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，所以圓心為(3，0)，與拋物線焦點(diǎn)重合．半徑r＝1.由于直線過焦點(diǎn)，所以有eq\f(1,|PF|)＋eq\f(1,|QF|)＝eq\f(2,p)＝eq\f(1,3)，又|PN|＋3|QM|＝(|PF|＋1)＋(3|QF|＋3)＝|PF|＋3|QF|＋4＝3(|PF|＋3|QF|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|PF|)＋\f(1,|QF|)))＋4＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(3|QF|,|PF|)＋\f(|PF|,|QF|)))＋4≥16＋6eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)|PF|＝eq\r(3)|QF|時(shí)取等號(hào)．〖答案〗16＋6eq\r(3)4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2eq\r(2)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的下頂點(diǎn)為P，如圖所示，點(diǎn)M為直線x＝2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l垂直于OM，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與OM交于點(diǎn)N，設(shè)四邊形AMBO和△ONP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最大值．〖解析〗(1)因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))在橢圓C上，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,2b2)＝1，又因?yàn)闄E圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2eq\r(2)，所以eq\f(1,2)×2a×2b＝2eq\r(2)，ab＝eq\r(2)，解得a2＝2，b2＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由(1)可知F(1，0)，設(shè)M(2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則當(dāng)t≠0時(shí)，OM：y＝eq\f(t,2)x，所以kAB＝－eq\f(2,t)，直線AB的方程為y＝－eq\f(2,t)(x－1)，即2x＋ty－2＝0(t≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,t)（x－1），,x2＋2y2－2＝0，))得(8＋t2)x2－16x＋8－2t2＝0，則Δ＝(－16)2－4(8＋t2)(8－2t2)＝8(t4＋4t2)＞0，x1＋x2＝eq\f(16,8＋t2)，x1x2＝eq\f(8－2t2,8＋t2)，所以|AB|＝eq\r(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(AB)))·eq\f(\r(Δ),8＋t2)＝eq\r(1＋\f(4,t2))×eq\f(2\r(2)·\r(t2（t2＋4）),8＋t2)＝eq\f(2\r(2)（t2＋4）,8＋t2).又OM＝eq\r(t2＋4)，所以S1＝eq\f(1,2)OM·AB＝eq\f(1,2)eq\r(t2＋4)·eq\f(2\r(2)（t2＋4）,8＋t2)＝eq\f(\r(2)（t2＋4）\r(t2＋4),8＋t2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,t)（x－1），,y＝\f(t,2)x，))得xN＝eq\f(4,t2＋4)，所以S2＝eq\f(1,2)×1×eq\f(4,t2＋4)＝eq\f(2,t2＋4)，所以S1S2＝eq\f(\r(2)（t2＋4）\r(t2＋4),8＋t2)·eq\f(2,t2＋4)＝eq\f(2\r(2)\r(t2＋4),8＋t2)＝eq\f(2\r(2),\r(t2＋4)＋\f(4,\r(t2＋4)))＜eq\f(\r(2),2)，當(dāng)t＝0時(shí)，直線l：x＝1，AB＝eq\r(2)，S1＝eq\f