2025年高中自主招生模擬考試數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)第=page22頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)2025年高中自主招生考試數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷一、選擇題（每題6分，共48分）1.如圖，四個(gè)有理數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，P，Q，若n+q＝0，則m，n，p，q四個(gè)有理數(shù)中，絕對(duì)值最小的一個(gè)是（）A．p B．m C．q D．n2.如圖，所在正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與軸或軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為2，4，6，8，…，頂點(diǎn)依次用，，，，…表示，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)3.如圖，△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿DE折疊，使得點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)F處，若∠CFD＝60°且△AEF中有兩個(gè)內(nèi)角相等，則∠A的度數(shù)為（）A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°4.當(dāng)－1≤≤2時(shí)，函數(shù)有最小值2，求所有可能取的值有（）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．45.如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=10，弦MN的長(zhǎng)為8.若MN的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與AB相交，記點(diǎn)A，B到MN的距離分別為h1，h2，則∣h1-h2∣等于（）A.6B.7C.8D.96.將六邊形ABCDEF沿直線GH折疊，使點(diǎn)A，B落在六邊形ABCDEF的內(nèi)部，記∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，則∠1＋∠2＝（）A.900°－2αB.1080°－2αC.720°－αD.360°－α7.如圖,在等邊△ABC中,BC=6,點(diǎn)D,E均在BC邊上,且DE=2,則△ADE周長(zhǎng)的最小值為（）．A.27 B.27+2C.47 D.47+28.已知，，，則的值為（）A．2.B．.C．3.D．.二、填空題（每題6分，共48分）9.已知為方程的兩實(shí)根，則。第11題圖10.已知：一元二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根恰好是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值.則這個(gè)直角三角形的斜邊與斜邊上的高的比為______________。第11題圖11.如圖，兩個(gè)同心圓，半徑分別是，矩形ABCD邊AB、CD分別為兩圓的弦，當(dāng)矩形ABCD面積取最大值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)是。12.方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍為______________.13.如圖，⊙O的半徑長(zhǎng)為4，弦AB的長(zhǎng)為2，點(diǎn)C在⊙O上，若∠BAC＝135°，則AC的長(zhǎng)為______________.14.已知A，B，C，D，E是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別過這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，以垂線段所在的正方形邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是__________（用含π的代數(shù)式表示）.yBTOxACFMNP15.如圖，AB∥CD、AD∥CE，F(xiàn)、G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過G的直線依次交AB、AD、CD、CE于點(diǎn)M、N、PyBTOxACFMNPBBACMNPEFQDG16.如圖，已知直線y＝－m(x－4)（m＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A為直徑作半圓，圓心為C．過A作x軸的垂線AT，Ｍ是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（與O點(diǎn)不重合），過M點(diǎn)作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點(diǎn)為P．連結(jié)CN、CM．若OM＝1，當(dāng)直線AB恰好平分梯形OMNA的面積時(shí)m的值為__________．三、解答題（54分）在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛200千米，每輛巡邏車可載供行駛14天的汽油，現(xiàn)有5輛巡邏車，同時(shí)從駐地A出發(fā)，完成任務(wù)后再沿原路返回駐地．為了讓其中三輛盡可能向更遠(yuǎn)的距離巡邏（然后再一起返回），甲、乙兩車行至途中B處后，僅留足自己返回駐地所需的汽油，將其余的汽油留給另外三輛使用，問其他三輛可行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離是多少千米？(12分)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，AD垂直平分BE，連接AC．（1）求證：AB＝AC．（2）連接AE，若AE∥BC，AB＝3，BC＝2，求CE的長(zhǎng)．19.(14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,?3),（1）求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由；

(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

?20.(16分)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn),,點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥軸于點(diǎn)D.(1)求直線AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似.若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2025年高中自主招生考試數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷一、選擇題（每題6分，共48分）1.如圖，四個(gè)有理數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，P，Q，若n+q＝0，則m，n，p，q四個(gè)有理數(shù)中，絕對(duì)值最小的一個(gè)是（）A．p B．m C．q D．n提示：∵n+q＝0，∴n和q互為相反數(shù)，0在線段NQ的中點(diǎn)處，∴絕對(duì)值最小的點(diǎn)M表示的數(shù)m，答案為：B．2.如圖，所在正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與軸或軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為2，4，6，8，…，頂點(diǎn)依次用，，，，…表示，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)提示：由題所給的數(shù)據(jù)結(jié)合坐標(biāo)系可得，是第14個(gè)正方形上的第三個(gè)頂點(diǎn)，位于第一象限，所以的橫縱坐標(biāo)都是14.答案為：C．3.如圖，△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿DE折疊，使得點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)F處，若∠CFD＝60°且△AEF中有兩個(gè)內(nèi)角相等，則∠A的度數(shù)為（）A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°提示：①當(dāng)AE＝AF時(shí)，則∠AFE＝∠AEF=12（180°﹣∠A∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，∴∠AFD＝120°，∴12（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝40°．②當(dāng)AF＝EF時(shí)，∠AFE＝180°﹣2∠A，同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝50°．③當(dāng)AE＝EF時(shí)，點(diǎn)F與C重合，不符合題意．綜上所述，∠A＝40°或50°，答案為：B．4.當(dāng)－1≤≤2時(shí)，函數(shù)有最小值2，求所有可能取的值有（）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．4提示：圖象的對(duì)稱軸為函數(shù)在何處取最小值?應(yīng)分三種情況討論當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得最小值2,故解得或當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得最小值2,代入函數(shù)式解得當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得最小值2,代入函數(shù)式解得故所有可能取值為答案為：D5.如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=10，弦MN的長(zhǎng)為8.若MN的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與AB相交，記點(diǎn)A，B到MN的距離分別為h1，h2，則∣h1-h2∣等于（）A.6B.7C.8D.9提示：如圖，設(shè)AB與MN交于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OD⊥MN于D，連接FO并延長(zhǎng)交EB于G．由垂徑定理，得OD＝＝3．由△AFO≌△BGO，得AF＝BG，即h1＝BG．由AF⊥MN，BE⊥MN，得△FOD∽△FGE．∴．∴EG＝2OD＝6，∴＝EG＝6．答案為：A6.將六邊形ABCDEF沿直線GH折疊，使點(diǎn)A，B落在六邊形ABCDEF的內(nèi)部，記∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，則∠1＋∠2＝（）A.900°－2αB.1080°－2αC.720°－αD.360°－α提示：如圖，設(shè)FA的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，GA′的延長(zhǎng)線與HB′的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P′．由對(duì)稱性可知∠1＝2∠APP′，∠2＝2∠BPP′．∴∠1＋∠2＝2∠APB．∵∠APB＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α．答案為：B．7.如圖,在等邊△ABC中,BC=6,點(diǎn)D,E均在BC邊上,且DE=2,則△ADE周長(zhǎng)的最小值為（）．A.27 B.27+2C.47 D.47+2提示：如圖,過點(diǎn)A作AF⊥BC并延長(zhǎng)至點(diǎn)H,使AF=FH,連接DH,以DH、DE為邊作?DHGE,∴EG=DH=AD,即當(dāng)A,E,G三點(diǎn)共線時(shí),AE+AD最小.在△ABF中,AB=6,BF=3,∴AF=33,∴AH=2AF=63.∵四邊形DHGE是平行四邊形,∴HG=DE=2.當(dāng)A,E,G三點(diǎn)共線時(shí),在Rt△AHG中,AG=AH2+HG2=47,此時(shí)△8.已知，，，則的值為（）A．2.B．.C．3.D．.提示：由已知等式得，，，所以．于是，，，．所以，，，即。代入，得，解得．所以．答案為：A．二、填空題（每題6分，共48分）9.已知為方程的兩實(shí)根，則。提示：∵x1，x2為方程x2+4x+2=0的兩實(shí)根，∴x12+4x1+2=0，x1+x2=-4，x1?x2=2，

∴x12=-4x1-2，而x13=x12?x1，∴x13+14x2+55=x12?x1+14x2+55=（-4x1-2）?x1+14x2+55

=-4x12-2x1+14x2+55=-4（-4x1-2）-2x1+14x2+55=14（x1+x2）+8+55=14×（-4）+63=7．

答案為：7．10.已知：一元二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根恰好是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值.則這個(gè)直角三角形的斜邊與斜邊上的高的比為______________.提示：作Rt△ABC斜邊上的高CD.則sinA=,sinB=.∵sinA和sinB是方程的兩根，得sinA+sinB=；(1)sinAsinB=.(2)即=.（3）(1)2－2(2)得：(sinA)2+(sinB)2=()2－.∵sinB=cosA,且(sinA)2+(cosA)2=1，∴()2－=1，m2+7m－8=0,∴m=1，m=－8.由（3）＝＝.∴＝.當(dāng)m=1時(shí)，沒有意義；當(dāng)m=-8時(shí)，=.即直角三角形斜邊與斜邊上的高的比是32∶9.答案為：32∶9。11.如圖，兩個(gè)同心圓，半徑分別是，矩形ABCD邊AB、CD分別為兩圓的弦，當(dāng)矩形第11題圖ABCD面積取最大值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)是。第11題圖提示：如圖，設(shè)AB=CD=a，AD=BC=b，DE=CF=c，則有，又可得：由當(dāng)時(shí)，答案為：。12.方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍為______________.提示：如圖，作出函數(shù)圖象，由圖象可以看出:當(dāng)a=0時(shí)，y=0與有且只有2個(gè)不同交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，y=a與圖象有4個(gè)不同交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，y=a與圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y=a與圖象有且只有2個(gè)不同交點(diǎn).答案為：a=0或。13.如圖，⊙O的半徑長(zhǎng)為4，弦AB的長(zhǎng)為2，點(diǎn)C在⊙O上，若∠BAC＝135°，則AC的長(zhǎng)為______________.提示：作BC所對(duì)的圓周角∠BDC，作BH⊥AC于H，連接OB、OC，如圖，∵∠BAC＝135°，∴∠BAH＝45°，∴△BAH為等腰直角三角形，∴AH＝BH=22AB=22×2=∴∠BOC＝2∠D＝90°，∴△BOC為等腰直角三角形，∴BC=2OB＝42在Rt△BCH中，CH=BC2?BH2=(4答案為：31?14.已知A，B，C，D，E是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別過這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，以垂線段所在的正方形邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是__________（用含π的代數(shù)式表示）.提示：∵A，B，C，DE是反比例函數(shù)y＝(x＞0)圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)，由圖象可知，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1，2，4，8，16．∴五個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為1，3，4，2，1．∴這五人橄欖形的面積總和是＝5π－10＋8π－16＝13π－26答案為：13π－26．BACMNPEFQDGO15.如圖，AB∥CD、AD∥CE，F(xiàn)、G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過G的直線依次交AB、AD、CD、CE于點(diǎn)M、N、BACMNPEFQDGOBBACMNPEFQDG提示：延長(zhǎng)BA、EC，設(shè)交點(diǎn)為O，則四邊形OADC為平行四邊形．∵F是AC的中點(diǎn)，∴DF的延長(zhǎng)線必過O點(diǎn)，且．∵AB∥CD，∴．∵AD∥CE，∴．∴＝．又，∴OQ＝3DN．∴CQ＝OQ－OC＝3DN－OC＝3DN－AD，AN＝AD－DN，于是，AN＋CQ＝2DN，∴＝2，即MN＋PQ＝2PN．PQ＝2PN-MN=10-3=7。答案為：7.16.如圖，已知直線y＝－m(x－4)（m＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A為直徑作半圓，圓心為C．過A作x軸的垂線AT，Ｍ是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（與O點(diǎn)不重合），過M點(diǎn)作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點(diǎn)為P．連結(jié)CN、CM．若OM＝1，當(dāng)直線AB恰好平分梯形OMNA的面積時(shí)m的值為__________．yByBTOxACFMNP12G3yBTOxACFMNP提示：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直徑，∴AT、OM是⊙C的切線．又∵M(jìn)N切⊙C于點(diǎn)P∴∠CMN＝EQ\F(1,2)∠OMN，∠CNM＝EQ\F(1,2)∠ANM∵OM∥AN∴∠ANM＋∠OMN＝180°∴∠CMN＋∠CNM＝EQ\F(1,2)∠OMN＋EQ\F(1,2)∠ANM＝EQ\F(1,2)(∠OMN＋EQ\F(1,2)∠ANM)＝90°，∴∠MCN＝90°∠1＋∠2＝90°，而∠2＋∠3＝900，∴∠1＝∠3；∴Rt△MOC∽R(shí)t△CAN∴EQ\F(OM,AC)＝EQ\F(OC,AN)∵直線y＝－m(x–4)交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2∵OM＝1，設(shè)AN＝y(tǒng)，∵＝EQ\F(2,y)∴y＝4∴AN＝4，此時(shí)S四邊形ANMO＝10∵直線AB平分梯形ANMO的面積，∴△ANF的面積為5過點(diǎn)F作FG⊥AN于G，則EQ\F(1,2)FG·AN＝5，∴FG＝EQ\F(5,2)∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4－EQ\F(5,2)＝EQ\F(3,2)∵M(jìn)（0，1），N（4，4）∴直線MN的解析式為y＝EQ\F(3,4)x＋1∵F點(diǎn)在直線MN上，∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝EQ\F(17,8)∴F（EQ\F(3,2)，EQ\F(17,8)）∵點(diǎn)F又在直線y＝－m(x－4)上∴EQ\F(17,8)＝－m(EQ\F(3,2)－4)∴m＝EQ\F(17,20)答案為：EQ\F(17,20)三、解答題（54分）在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛200千米，每輛巡邏車可載供行駛14天的汽油，現(xiàn)有5輛巡邏車，同時(shí)從駐地A出發(fā)，完成任務(wù)后再沿原路返回駐地．為了讓其中三輛盡可能向更遠(yuǎn)的距離巡邏（然后再一起返回），甲、乙兩車行至途中B處后，僅留足自己返回駐地所需的汽油，將其余的汽油留給另外三輛使用，問其他三輛可行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離是多少千米？提示：設(shè)甲、乙兩車從駐地A行至B處需耗x天的汽油，則其他三輛車在AB路段也消耗了x天汽油，在B處甲、乙兩車可向其他三輛車提供2（14-2x）天的汽油．要使這三輛車行程最遠(yuǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)甲、乙兩車提供的汽油總量等于這三輛車在AB路段消耗的汽油總量．即2（14-2x）=3x，解之，得x=4．從而，這三輛車從駐地出發(fā)，行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離為：[（14-4）+4]×200=1800（千米）．(12分)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，AD垂直平分BE，連接AC．（1）求證：AB＝AC．（2）連接AE，若AE∥BC，AB＝3，BC＝2，求CE的長(zhǎng)．提示：（1）證明：連接BD．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADE＝∠ABC，∵AD垂直平分BE，∴BD＝DE，∴∠ADB＝∠ADE，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）連接AE，作AF⊥BC點(diǎn)F，CH⊥AE點(diǎn)H，∴∠AFC＝∠AHC＝90°，∵AE∥BC，∴∠FAE＝90°，∴四邊形AFCH為矩形，∴AH＝CF，CH＝AF，∵AB＝AC＝3，BC＝2，∴AH＝CF＝1，∴CH=AF=3∵AD垂直平分BE，∴AE＝AB＝3，∴HE＝AE﹣AH＝3﹣1＝2，∴CE=219.(14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,?3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上．

求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由；

(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

?提示：（1）將A,C兩點(diǎn)代入，解得：b=-2,c=-3∴拋物線解析式為（2）存在．

理由：如圖所示：

①當(dāng)∠ACP1=90°．

由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)AC的解析式為y=kx-3．

∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得3k-3=0，解得k=1，

∴直線AC的解析式為y=x-3．

∴直線CP1的解析式為y=-x-3．

∵將y=-x-3與y=x2-2x-3聯(lián)立解得x1=1，x2=0（舍去），

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1，-4）．

②當(dāng)∠P2AC=90°時(shí)．

設(shè)AP2的解析式為y=-x+b．

∵將x=3，y=0代入得：-3+b=0，解得b=3．

∴直線AP2的解析式為y=-x+3．

∵將y=-x+3與y=x2-2x-3聯(lián)立解得x1=-2，x2=3（舍去），

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-2，5）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（1，-4）或（-2，5）．

（3）如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據(jù)垂線