新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第10章　§10.4　隨機(jī)事件與概率（原卷版）

§10.4隨機(jī)事件與概率考試要求1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率．知識(shí)梳理1．樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示．③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系若A發(fā)生，則B一定發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件(和事件)A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，且A∪B＝Ω3．古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．4．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．5．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．常用結(jié)論1．當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，一定互斥，即兩事件互斥是對(duì)立的必要不充分條件．2．若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．()(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生．()(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．()(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對(duì)立事件．()教材改編題1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A．至少有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶2．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.83．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________．題型一隨機(jī)事件命題點(diǎn)1隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷例1(1)(多選)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，則下列關(guān)系正確的是()A．A∩D＝? B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D(2)從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是()A．至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B．恰有一個(gè)紅球；都是白球C．至少有一個(gè)紅球；都是白球D．至多有一個(gè)紅球；都是紅球命題點(diǎn)2利用互斥、對(duì)立事件求概率例2某商場(chǎng)進(jìn)行有獎(jiǎng)銷售，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．思維升華事件關(guān)系的運(yùn)算策略進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．當(dāng)事件是由互斥事件組成時(shí)，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci＝“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2＝“點(diǎn)數(shù)不小于2”，D3＝“點(diǎn)數(shù)大于5”；E＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；F＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”．下列結(jié)論正確的是()A．C1與C2對(duì)立 B．D1與D2不互斥C．D3?F D．E?(D1∩D2)(2)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.①確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；②估計(jì)一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率．題型二古典概型例3(1)我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，孿生素?cái)?shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為()A.eq\f(3,56)B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(1,5)(2)在一次比賽中某隊(duì)共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)順序，則乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,10)思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)(2)2022年冬奧會(huì)在北京、延慶、張家口三個(gè)區(qū)域布置賽場(chǎng)，北京承辦所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦所有雪上項(xiàng)目．組委會(huì)招聘了包括甲在內(nèi)的4名志愿者，準(zhǔn)備分配到上述3個(gè)賽場(chǎng)參與賽后維護(hù)服務(wù)工作，要求每個(gè)賽場(chǎng)至少分到一名志愿者，則志愿者甲正好分到北京賽場(chǎng)的概率為________.題型三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題例4北京冬奧會(huì)順利閉幕后，某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)講座活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學(xué)生中男生有40名對(duì)講座活動(dòng)滿意，女生中有30名對(duì)講座活動(dòng)不滿意．(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷對(duì)講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān)？滿意不滿意合計(jì)男生女生合計(jì)120(2)從被調(diào)查的對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生中，利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取7名學(xué)生，再在這7名學(xué)生中抽取3名學(xué)生談?wù)勛约郝犞v座的心得體會(huì)，求其中恰好抽中2名男生與1名女生的概率．參考數(shù)據(jù)：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828思維升華求解古典概型的綜合問題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟蹤訓(xùn)練3從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題．(1)成績(jī)?cè)赱80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫過程)(3)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．課時(shí)精練1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件B，則()A．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3D．A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或52．杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖．現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中．若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9)D.eq\f(1,9)3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石4.在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則在一次試驗(yàn)中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)5．將5名支援某地區(qū)抗疫的醫(yī)生分配到A，B，C三所醫(yī)院，要求每所醫(yī)院至少安排1人，則其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(6,25)C.eq\f(7,16)D.eq\f(4,9)6．(多選)下列說法中正確的有()A．若事件A與事件B是互斥事件，則P(AB)＝0B．若事件A與事件B是對(duì)立事件，則P(A＋B)＝1C．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件D．把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件7．通過手機(jī)驗(yàn)證碼注冊(cè)某APP時(shí)，收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成，如某人收到的驗(yàn)證碼(a1，a2，a3，a4)滿足a1<a2<a3<a4，則稱該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼，某人收到一個(gè)驗(yàn)證碼，則它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為________．8．)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．9．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．10.某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到其元旦期間的網(wǎng)購(gòu)金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)．(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)若網(wǎng)購(gòu)金額(單位：萬元)不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，根據(jù)莖葉圖估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中任取2個(gè)做網(wǎng)購(gòu)商品的調(diào)查，求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的概率．11．如果事件A，B互斥，記eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么()A．A∪B是必然事件B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定互斥D.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定不互斥12．整數(shù)集就像一片浩瀚無邊的海洋，充滿了無盡的奧秘．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)220和284具有如下性質(zhì)：220的所有真因數(shù)(不包括本身的因數(shù))之和恰好等于284，同時(shí)284的所有真因數(shù)之和也等于220，他把具有這種性質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)叫做一對(duì)“親和數(shù)”，“親和數(shù)”的發(fā)現(xiàn)掀起了無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者的研究熱潮．已知220和284，1184和1210,2924和2620是3對(duì)“親和數(shù)”，把這六個(gè)數(shù)隨機(jī)分成兩組，一組2個(gè)數(shù)，另一組4個(gè)數(shù)，則220和284在同一組的概率為()A.eq\f(1,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(7,15)D.eq\f(1,5)13．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說．河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如圖，白圈為陽數(shù)，