2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第七章 統(tǒng)計(jì)案例綜合拔高練

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)1變量的相關(guān)關(guān)系與線性回歸模型

1.(2020全國(guó)I理,5)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫

度x(單位：℃)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

(x”yi)(i=l,2,???,20)得到下面的散點(diǎn)圖:

10^%

80%

楙

就60%

0

數(shù)4-%

20%

O

in2030加溫度/七

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率

y和溫度x的回歸方程類型的是()

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

2.(2020全國(guó)H理,18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動(dòng)物數(shù)

量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個(gè)地

塊,從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)

(x“Y1)(i=l,2,…,20),其中&和力分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:

202020

公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得￡xi=60,E=l200,E(x-

i=li=liY=il

2020

元)2=80,E(y-y)-9000,E(x-x)(y-y)=800.

i=li=l

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)

這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));

⑵求樣本(Xi,yi)(i=l,2,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以

獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì),請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方

法,并說明理由.

n

附：相關(guān)系數(shù)r=1Z,8\.414.

X（Xi-X）2X（yi-y）2

\1=11=1

考點(diǎn)2獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用

3.（2020新高考I,19）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣

質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：Rg/W）,得

下表：

so2

PM2?5\^[0,50](50,150](150,475]

[0,35^\32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的

概率；

⑵根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2X2列聯(lián)表:

so

2[0,150](150,475]

PM2.

[0,75f\

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度

與SO2濃度有關(guān).

附.[{2—n(ad-bc)2

?(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4.(2021全國(guó)甲，17)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二

級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品

的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

附.n(ad-bc)2

?(a+b)(c+d)Q+c)(b+d)'

P(YNk)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.(2022江蘇如皋期中)為推動(dòng)實(shí)施健康中國(guó)戰(zhàn)略，樹立國(guó)家大衛(wèi)生、大健康概念,

手機(jī)APP也推出了多款健康運(yùn)動(dòng)軟件，如“某信運(yùn)動(dòng)”，某運(yùn)動(dòng)品牌公司140名

員工均在某信好友群中參與了“某信運(yùn)動(dòng)”，且公司每月進(jìn)行一次評(píng)比,對(duì)該月

內(nèi)每日運(yùn)動(dòng)都達(dá)到10000步及以上的員工授予該月“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào),其余員

工均稱為“參與者”，下表是該運(yùn)動(dòng)品牌公司140名員工2021年1月?5月獲得

“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

月份12345

“運(yùn)動(dòng)達(dá)

人”1201051009580

員工數(shù)

(1)由表中看出，可用線性回歸模型擬合“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”員工數(shù)y與月份x之間的

關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程并預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)品牌公司6月份獲得

“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的員工數(shù)；

(2)為了進(jìn)一步了解員工們的運(yùn)動(dòng)情況，選取了員工們?cè)?月份的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行

分析,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

青況

運(yùn)動(dòng)達(dá)人參與者總計(jì)

性別

男員工60m80

女員工n2060

總計(jì)10040140

請(qǐng)補(bǔ)充上表中的數(shù)據(jù)(直接寫出m,n的值)，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有95%的把

握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)？

參考公式：

n

A

AExtyt-nxy八

b=A------a=y-bx,

i=i1

X2_n{ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

2.(2022云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高考適應(yīng)性月考)隨著手機(jī)的日益普及，中學(xué)生使

用手機(jī)的人數(shù)越來越多,使用的手機(jī)也越來越智能.某中學(xué)為了解學(xué)生在校期間

使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的影響，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了150名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.

經(jīng)統(tǒng)計(jì),有豹勺學(xué)生在校期間使用手機(jī),且使用手機(jī)的學(xué)生中學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的占也

另不使用手機(jī)的學(xué)生中學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的占§

(1)請(qǐng)根據(jù)以上信息完成2X2列聯(lián)表,并分析是否有99%的把握認(rèn)為“在校期間

使用手機(jī)和學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”；

^學(xué)習(xí)成績(jī)

使用優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)

機(jī)情況

在校期間

使用手機(jī)

在校期間

不使用手機(jī)

總計(jì)

（2）現(xiàn)從上表學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中按在校期間是否使用手機(jī)分層抽樣選出6人,

再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)這2人中在校期間使用手機(jī)的學(xué)生人數(shù)為X,求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.（2020四川廣元第一次高考適應(yīng)性統(tǒng)考）新高考不再分文、理科，而是采用3+3

模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要在政

治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3）,每

科目滿分100分.為了應(yīng)對(duì)新高考,某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生（其中男生

550人,女生450人）中,采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）已知抽取的n名學(xué)生中有女生45人，求n的值及抽取到的男生人數(shù)；

（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的物理和地理兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)

這兩個(gè)科目的選課情況,對(duì)在⑴的條件下抽取到的n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假設(shè)

每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目）,下表是根據(jù)

調(diào)查結(jié)果得到的2X2列聯(lián)表.請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷選擇科目與性別是否

有關(guān)；

物理地理總計(jì)

性別一—一

男生10

女生25

總計(jì)

（3）在抽取的選擇地理的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法再抽取6名學(xué)生,然后從

這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生了解他們對(duì)地理的選課意向情況,求2名學(xué)生中至少

有1名男生的概率.

4.（2022寧夏銀川一中月考）中華技術(shù)有限公司擬對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技

升級(jí),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬,得到科技升級(jí)投入x（億元）與科技升級(jí)直接收益

y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號(hào)123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

當(dāng)0〈xW17時(shí),建立了y與x的兩個(gè)回歸模型:模型①:$=4.lx+11.8;模型

②:，=21.37^-14.4;當(dāng)x>17時(shí),確定y與x滿足的線性回歸方程為，=-0.7x+a.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0〈xW17時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2的大小,

并選擇擬合精度更高、更可靠的模型；

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.lx+11.8y=21.3Vx-14.4

7A

工（y1力）2182.479.2

1=1

(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5

億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際

收益的大??；

⑶科技升級(jí)后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高,經(jīng)實(shí)際試驗(yàn)得X大致服從正態(tài)

分布N(0.52,0.0「).公司對(duì)科技升級(jí)團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:若芯片的效率不超過

50%,不予獎(jiǎng)勵(lì);若芯片的效率超過50%,但不超過53%,每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)2元;若芯片

的效率超過53%,每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)4元.記Y為每部芯片獲得的獎(jiǎng)勵(lì),求EY(精確到

0.01).

附：

nA

①刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=1」U'',V17^4.1;

nn

AA

八八八八￡Xjyj-hxy￡

②線性回歸方程丫="+。中，5=與----——Z——，a-=y-bx;

Ex?-nxL(%>-%)2

i=i1i=iv1)

③若隨機(jī)變量X~N(,。2)(o>0),則P(u-o<X<u+。)=0.6826,P(u-

2o<X<口+2。)^0.9544.

答案與分層梯度式解析

五年高考練

1.D觀察題中散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)圖用光滑曲線連接起來比較接近對(duì)數(shù)型函數(shù)的

圖象,故選D.

20

2.解析(1)由已知得樣本平均數(shù)"/E%=60,從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的

ui=l

估計(jì)值為60X200=12000.

20

(2)樣本(土,Y1)(i=l,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)「產(chǎn)」‘

2020

￡—2g-

7i=li=l

=800——=—2V2=0?9?4.

V80X90003''

(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層,再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽

樣.

理由如下：由⑵知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很

大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣

本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

3.解析(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),可得該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且

SO2濃度不超過150的天數(shù)為32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不

超過75,且SO?濃度不超過150的概率的估計(jì)值為法=0.64.

100

⑵根據(jù)抽查數(shù)據(jù),可得2X2列聯(lián)表：

S0

2[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

⑶根據(jù)⑵中的列聯(lián)表得

K2100X(64X10-16X10)277q84

80X20X74X26**

由于7.484>6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S02濃度有

關(guān).

4.解析⑴由題意,可得甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均為200件,

因?yàn)榧讬C(jī)床生產(chǎn)的一級(jí)品的頻數(shù)為150,所以甲機(jī)床生產(chǎn)的一級(jí)品的頻率為黑弓,

2004

因?yàn)橐覚C(jī)床生產(chǎn)的一級(jí)品的頻數(shù)為120,所以乙機(jī)床生產(chǎn)的一級(jí)品的頻率為券=|.

⑵根據(jù)2X2列聯(lián)表,可得f舞就鬻J。.256>6,635,

所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

三年模擬練

L解析(1)由題意得/二上管";3,7=12。+105+；。0+95+8。=100.

5

八LXiVi-Sxy

二匚|、1zi-i1410-1500C

所以於52:55-45:-9,

Zxf-Sx

1=1

AA

a=y-b%=100-(-9)X3=127,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為，=-9x+127.

當(dāng)x=6時(shí),y=-9X6+127=73,

故預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)品牌公司6月份獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的員工數(shù)為73.

(2)依題意，得m=20,n=40.

因此x2$="3.841,

所以沒有95%的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān).

2.解析(1)2X2列聯(lián)表如下:

習(xí)成績(jī)

使用手機(jī)情而優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)

在校期間

2080100

使用手機(jī)

在校期間

401050

不使用手機(jī)

總計(jì)6090150

2_150x(20X10-80X40)2

X=50>6.635,

100X50X60X90

所以有99%的把握認(rèn)為“在校期間使用手機(jī)和學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”.

(2)從學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中按在校期間是否使用手機(jī)分層抽樣選出6人,

其中在校期間使用手機(jī)的學(xué)生有20X3=2人，

60

在校期間不使用手機(jī)的學(xué)生有40X3=4人.

60

???X的可能取值為0,1,2,

P(x=0)=^±=-=-p(x=l)=^i=—

，

I⑺髭155'I)髭15

P(X=2)=孳工

髭15,

.，.X的分布列為

X012

281

P———

51515

.?.X的數(shù)學(xué)期望EX=OX-+1X—+2X—=-.

515153

3.解析(1)由題意得,焉二解得"100,則抽取到的男生人數(shù)為

1000450

550X—=55.

1000

⑵補(bǔ)充完整的2X2列聯(lián)表如下：

物理地理總計(jì)

性別

男生451055

女生252045

總計(jì)7030100

2100X(45X20-10X25)2

計(jì)算可得X^8.129.

55x45x70x30

因?yàn)?.129>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān).

(3)從30名選擇地理的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6名學(xué)生，

則這6名學(xué)生中有2名男生,4名女生，

設(shè)男生編號(hào)分別為1,2,女生編號(hào)分別為a,b,c,d,從這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生,

所有可能的結(jié)果有髭=15種，

至少有1名