2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)二立體幾何教學(xué)案

專(zhuān)題二立體幾何

［江蘇卷5年考情分析］

小題考情分析大題考情分析

常

空間幾何體的表面積與體

考本專(zhuān)題在高考大題中的考查非常穩(wěn)定，主要是線(xiàn)線(xiàn)、

積（5年4考）

點(diǎn)線(xiàn)面、面面的平行與垂直的證明，一般第（1）問(wèn)是線(xiàn)面平

偶行的證明，第（2）問(wèn)是線(xiàn)線(xiàn)垂直或面面垂直的證明，考查

簡(jiǎn)單幾何體與球的切接問(wèn)

考形式單一，難度一般.

題

點(diǎn)

第一講I小題考法一一立體幾何中的計(jì)算

考點(diǎn)（一）

空間幾何體的表面積與體積

主要考查柱體、錐體以及簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積.

［題組練透］

1.（2019?江蘇高考）如圖，長(zhǎng)方體46必■48G"的體積是120,

￡為CC\的中點(diǎn)，則三棱錐展頗的體積是.

解析：設(shè)長(zhǎng)方體中CD=b,CG=c,則abc=120,

11111

V&BCD=^X~abX-c=—abc=—X120=10.

o乙乙i■乙i.乙

答案：10

2.（2018?蘇錫常鎮(zhèn)二模）己知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為24,

則該直四棱柱的側(cè)面積為

解析：由題意得，直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為：（24）2一*=2蛆,所以該直四棱柱的側(cè)面

積為5=c7=4X2X2-72=16^2.

答案：16位

3.（2018?江蘇高考）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中

心為頂點(diǎn)的多面體的體積為,不個(gè)、J

解析：由題意知所給的幾何體是棱長(zhǎng)均為m的八面體，它是由兩個(gè)

有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1,所以這個(gè)八面體

1_4

2

的體積為2兀E四極錐=2X可義（r\j2）X1=~

OO

答案：I4

4.（2018?南通、泰州一調(diào)）如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六~\

棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的幾何體.已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為

：：：：

4cm,圓柱的底面積為9^3cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為6cmI：；f\

的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為cm（不計(jì)損耗）.'―“二—

解析：由題意知，熔化前后的體積相等，熔化前的體積為6X*X42X4—9/X4=64

（cm3）,設(shè)所求正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為xcm,則有半，6=6骸，解得x=2板所以所求

邊長(zhǎng)為2y[lbcm.

答案：2班

5.（2019?蘇北三市一模）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為24，高為1,則該正四棱錐的側(cè)

面積為.

解析：易知正四棱錐的斜高為抽尸+（小），=2,所以該正四棱錐的側(cè)面積為4XaX24

X2=8小.

答案：8y[3

[方法技巧]

求幾何體的表面積及體積的解題技巧

（1）求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在.求

三棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知兒何體的

某一面上.

（2）求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體

以易于求解.

考點(diǎn)（二）

簡(jiǎn)單兒何體與球的切接問(wèn)題

主要考查簡(jiǎn)單幾何體與球切接時(shí)的表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題，以及將空間幾何體的問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的關(guān)系的能力.

［題組練透］

1.（2017?江蘇高考）如圖，在圓柱aa內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、

下底面及母線(xiàn)均相切.記圓柱aa的體積為匕，球。的體積為七，則萬(wàn)的值是

V2

解析：設(shè)球。的半徑為此因?yàn)榍?。與圓柱aa的上、下底面及母線(xiàn)均相切，所以圓柱

的底面半徑為樂(lè)高為2兄所以卷=三""='

答案：I

2.（2019?南通等七市二模）設(shè)只A,B,C為球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB,用兩兩垂

直，且為=2m,PB=3m,PC=Am,則球。的表面積為m2.

解析：根據(jù)題意，可知三棱錐A是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，該長(zhǎng)方體的外

接球就是經(jīng)過(guò)RA,B,，四點(diǎn)的球，

'：PA=2,必=3,PC=\,

長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為

、制+稱(chēng)+*=亞,

即外接球的直徑21=*，可得A=呼,

因此，外接球的表面積為S=4n下=4

答案：29n

3.（2019?無(wú)錫期初測(cè)試）已知正四面體/靦的所有棱長(zhǎng)都等于乖，則以力為頂點(diǎn)，△

及力的內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積「=.

解析：設(shè)正48切內(nèi)切圓的圓心為0,連接必，OA,則圓。的半徑尸=坐%=乎，OB=

/3

歸&'=*.易知的_L平面BCD,所以物上照所以圓錐的高h(yuǎn)=-0后=在二i=2,

O

JI

所以圓錐的體積nrnXX2=—

oo

答案：V

o

4.（2018?全國(guó)卷川改編）設(shè)4B,C,〃是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，叢ABC

為等邊三角形且其面積為973,則三棱錐34笫體積的最大值為_(kāi)______.

解析：由等邊△4?。的面積為可得率4/=9#,所以46=6,所以等邊△4式的

外接圓的半徑為小.設(shè)球的半徑為R,球心到等邊的外接圓圓心的距離為

d,則4川"/=［16T2=2.所以三棱錐ZM6C高的最大值為2+4=6,所以三棱錐0-ABC

體積的最大值為〈X4X6=18小.

答案：18^3

［方法技巧］

簡(jiǎn)單幾何體與球切接問(wèn)題的解題技巧

方法解讀適合題型

解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)

作截面來(lái)解決.如果內(nèi)切的是

截面法球內(nèi)切多面體或旋轉(zhuǎn)體

多面體，則作截面時(shí)主要抓住

多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作

首先確定球心位置，借助外接

的性質(zhì)一一球心到多面體的頂

構(gòu)造

點(diǎn)的距離等于球的半徑，尋求

直角

球心到底面中心的距離、半徑、正棱錐、正棱柱的外接球

三角

頂點(diǎn)到底面中心的距離構(gòu)造成

形法

直角三角形，利用勾股定理求

半徑

因正方體、長(zhǎng)方體的外接球半

三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，

徑易求得，故將一些特殊的幾

從正方體或長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)

補(bǔ)形法何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，

中選取點(diǎn)作為頂點(diǎn)組成的三棱

便可借助外接球?yàn)橥粋€(gè)的特

錐、四棱錐等

點(diǎn)求解

考點(diǎn)（三）

平面圖形的翻折與空間圖形的展開(kāi)問(wèn)題

主要考查空間圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化，面積、體積以及最值

問(wèn)題的求解.

［典例感悟］

［典例］⑴如圖，正的邊長(zhǎng)為2,必是4?邊上的高，E,尸分別為邊然與園的

中點(diǎn)，現(xiàn)將△46C沿切翻折，使平面力加工平面"況則三棱錐氐加心的體積為.

⑵如圖，直三棱柱/aM心G中，AB=1,BC=2,AC=yj5,14=3,"為線(xiàn)段跖上的

一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)4V+,跖最小時(shí)，△力必的面積為.

［解析］⑴&甌=；8械=；X俾X22)=半，￡到平面外&的距離力等于所以

(2)將側(cè)面展開(kāi)后可得：本題AM+MQ最小可以等價(jià)為在矩形ACC^

中求AM+MG的最小值.

如圖，當(dāng)4機(jī)G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，4什如最小.

又AB：BC=\：2,48=1,6c=2,O；=3,

所以4井=木,ilfCi=2y［2,又AG=、9+5=^/14,

1

AM+C\M—Au\2+8—14-

所以cosN4總2

24"?CxM_2X^2X2^2

所以sinN4%?i=乎

故△建峪的面積為陽(yáng)=^義加義2/X坐=4.

［答案］⑵小

［方法技巧］

解決翻折問(wèn)題需要把握的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

（1）解決與翻折有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量.一般情況下，折線(xiàn)

同一側(cè)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度是不變量，位置關(guān)系可能會(huì)發(fā)生變化，抓住兩個(gè)“不變性”.

①與折線(xiàn)垂直的線(xiàn)段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；

②與折線(xiàn)平行的線(xiàn)段，翻折前后平行關(guān)系不改變.

（2）解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前

的圖形.

［演練沖關(guān)］

1.有一根長(zhǎng)為6cm,底面半徑為0.5cm的圓柱型鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，

并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線(xiàn)的兩端，則鐵絲的長(zhǎng)度最少為cm.

解析：由題意作出圖形如圖所示，

則鐵絲的長(zhǎng)度至少為#64（4n）2=>36+161=249+4T.

答案：249+4n2

2.（2018?南京、鹽城、連云港二模）在邊長(zhǎng)為4的正方形4版內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰

三角形（如圖①中陰影部分），折疊成底面邊長(zhǎng)為鏡的正四棱錐亂砒加（如圖②），則正四棱

錐,￡7物的體積為.

解析：連結(jié)用，HF,交點(diǎn)為。（圖略），正方形跖第的對(duì)角線(xiàn)￡6=2,￡0=1,則點(diǎn)￡到

線(xiàn)段加的距離為1,郎=5'；+2"=#,SO=7SE-窕=小三=2,故正四棱錐$七%7/的

體積為W1X（血L/又2=可4.

OO

依d4

答案：

3.如圖所示，平面四邊形48（笫中，AB=AD=CD=-\,BD=pBDLCD,將其沿對(duì)角線(xiàn)

仍折成四面體微力，使平面力劭，平面靦，若四面體/靦的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球

的體積為

AA

解析：如圖，取切的中點(diǎn)笈比■的中點(diǎn)。，連接OD,EO,A0.

因?yàn)?8=4。，所以4反L做

由于平面/加_L平面BCD,所以力反1平面BCD.

因?yàn)榱Α?49=CZ=1,笈9=,所以AE=2，￡0=5.所以0A—?.

1/Q

在口△〃%中，OB=OC=OD=-BC=A^~,所以四面體力靦的外接球的球心為。，半徑為

2.

4

所以該球的體積r=-n

答案:殍

［必備知能?自主補(bǔ)缺］._________________________________________________________

(-)主干知識(shí)要牢記

h'為斜高，即側(cè)面等腰梯形的高

S跚杖他=2nrl

---------

圓柱1r為底面半徑

--、

---

1為側(cè)面母線(xiàn)長(zhǎng)

Siat(tffli=nrl

圓錐r為底面半徑

1為側(cè)面母線(xiàn)長(zhǎng)

SMM=n(ri+?2)1

△為上底面半徑

圓臺(tái)

n為下底面半徑

1為側(cè)面母線(xiàn)長(zhǎng)

2.柱彳本、錐體、臺(tái)體的體積公式

⑴，柱體=57?(S為底面面積，//為高)；

⑵小體=!防(S為底面面積，A為高);

(3)%=4(S+4r+￡)/;(不要求記憶).

O

3.球的表面積和體積公式

(1)S球=4n為球的半徑)；

4

(2)心=爐外(火為球的半徑).

4.立體幾何中相鄰兩個(gè)面之間的兩點(diǎn)間距離路徑最短問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為平面幾何中兩

點(diǎn)距離最短.

(-)二級(jí)結(jié)論要用好

1.長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)與其共點(diǎn)的三條棱之間的長(zhǎng)度關(guān)系/:才+^+儲(chǔ)若長(zhǎng)方體外接球

半徑為此則有(2而2=3+斤+。2.

［針對(duì)練1］設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為2,2小，4,則其外接

球的表面積為.

解析：依題意，設(shè)題中的三棱錐外接球的半徑為R,可將題中的三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方

體，則4;R+(2如"2=2也所以該三棱錐外接球的表面積為S=4n4=32n.

答案:32n

2.棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球半徑r=噌a,外接球的半徑月=羋a.又正四面體的高

1L勺

人=坐a,故廠(chǎng)=；方，兄=［力?

［針對(duì)練2］正四面體4?切的外接球半徑為2,過(guò)棱46作該球的截面，則截面面積的最

小值為.

解析：由題意知，面積最小的截面是以為直徑的圓，設(shè)4?的長(zhǎng)為a,

因?yàn)檎拿骟w外接球的半徑為2,

所以乎a=2,解得a=半，

4u

故截面面積的最小值為

田―8Jt

答案：

3.認(rèn)識(shí)球與正方體組合的3種特殊截面：

一是球內(nèi)切于正方體；二是球與正方體的十二條棱相切；三是球外接于正方體.它們的

相應(yīng)軸截面如圖所示（正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為曲.

［課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練］._______________________________________________________________

A組一一抓牢中檔小題

1.若圓錐底面半徑為1,高為2,則圓錐的側(cè)面積為.

解析：由題意，得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)/=4船+2：'=所以nr）="義1乂m=乖

答案：小兀

2.已知正六棱柱的側(cè)面積為72cm2,高為6cm,那么它的體積為cm3.

解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為xcm,由題意得6xX6=72,所以x=2,于是其體積M

乎X2?X6X6=36#（cm。）.

答案：36m

3.（2019?揚(yáng)州中學(xué)模擬）已知三棱錐%的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SC是球0

的直徑.若平面平面SC5SA=AC,SB=BC,三棱錐S/8C的體積為9,則球。的表面

積為.

解析：如圖，連接。1,OB.

由SA=AC,SB=BC,SC為球。的直徑，知OA±SC,OBISC.

由平面SOJL平面SCB平面san平面sc3=sc,OAI.SC,知勿_L平面SCN

設(shè)球。的半徑為r,則。1=應(yīng)=r,SC=2r,

三棱錐S-4a1的體積

3

即可=9,**?2^=39I.S球表=4冗了=36兀.

O

答案:36n

4.（2019?南京四校聯(lián)考）如圖，在正三棱柱/g45G中，AB=2,AAx

=3,點(diǎn)￡是棱陽(yáng)上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），則三棱錐4-4比1的體積為.

解析：由題意知，在正三角形/a'中，AB=2,所以以歐=乎'22=4.

連接BA、,由等體積法知，VArAEC=VE-AAtC=V&AtAC=VArABC=^XAAtXS

o

答案：小

5.（2018?揚(yáng)州期末）若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為3"且圓心角為胃1的扇形，則此圓

錐的體積為.

19JI

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為方，母線(xiàn)為1,則由J?一廠(chǎng)?/=3",得/=3,又

乙O

2

由等??/=2叮r,得_r=L從而有力=\//一/=2鏡,所以「=；?nr.n.

J?Jo

答案：第n

6.一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等

的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的正四棱錐形容

器.當(dāng)x=6cm時(shí)，該容器的容積為cm3.

p

解析：由題意知，這個(gè)正四棱錐形容器的底面是以6cm為邊長(zhǎng)的正方形，側(cè)面高為5cm,

則正四棱錐的高為所以所求容積K=1x62X4=48（cm：,）.

答案：48

7.（2019?蘇錫常鎮(zhèn)四市一模）已知圓柱的軸截面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2,則這個(gè)圓柱的側(cè)面積

的最大值為.

解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為力，則由圓柱的軸截面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2知，4?+A2

4y+代

=4.圓柱的側(cè)面積5=2K動(dòng)W口X—y—=2n,當(dāng)且僅當(dāng)2r=h時(shí)取等號(hào)，所以這個(gè)圓柱

的側(cè)面積的最大值為2n.

答案：2n

8.設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為一,S,底面半徑和高均為「的圓錐的體

yoc

積和側(cè)面積分別為%S,若則亳的值為—

V-iJI02

—a,Si—yfiJtr,由即［旦一=彳~，得

解析：由題意知,

..6a-__6__3m

a=r,從而豆=衣7=聲="'

?3A/2

答案：于

9.已知正方形的邊長(zhǎng)為2,E,F分別為BC,小的中點(diǎn)，沿心EF,4尸折成一個(gè)

四面體，使8,C,〃三點(diǎn)重合，則這個(gè)四面體的體積為.

解析：設(shè)B,C,〃三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,得到如圖所示的四面體P-AEF.

因?yàn)?，陽(yáng)APVPF,PECPF=P,所以北，平面儂；所以Vnm

1111

/四面體4板=鼻?AP=-X-X1X1X2=-

SMEF?O。乙J

答案：|

10.（2018?常州期末）已知圓錐的高為6,體積為8,用平行于圓錐底面的平面截圓錐,

得到的圓臺(tái)體積是7,則該圓臺(tái)的高為

解析：設(shè)截得的小圓錐的高為加，底面半徑為八，體積為匕=:式6垢大圓錐的高為人

rh

=6,底面半徑為r,體積為勺二外=8.依題意有三=力

得力=；2=3,所以圓臺(tái)的高為A—九=3.

答案：3

11.如圖，在直三棱柱中，底面為直角三角形，NACB=

90°,4c=6,BgCC\=/,P是附上一動(dòng)點(diǎn)，則b+例的最小值是

解析：連結(jié)48,沿陽(yáng)將展開(kāi)，與△&的在同一個(gè)平面內(nèi),

如圖所示，連結(jié)4G則4c的長(zhǎng)度就是所求的最小值.

c,

A上

AB

因?yàn)?G=6,BG=2,所以4婿+函=44，所以N4G6=90°.

又/8GC=45°,所以N4GC=135°,由余弦定理，得4d=4竊+編-24G?CG?cos

N4GC=36+2-2X6X/x(-由=50,所以4c=5鏡，即b+/H的最小值是八區(qū)

答案：5會(huì)

12.(2019?南京三模)有一個(gè)體積為2的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)、寬、高依次為a,6,1.現(xiàn)將

它的長(zhǎng)增加1,寬增加2,且體積不變，則所得新長(zhǎng)方體高的最大值為.

ab=2,

解析：設(shè)所得新長(zhǎng)方體的高為h,根據(jù)題意，得,,、.，°、，°所以h=

(a+1)(6+2)h=2,

22221

7~I\/I\=~；1~I/I=Q_\1\AWI=不當(dāng)且僅當(dāng)2a=6,即a=l,b

?+11)(Zz?+29)ab-\~92a+b+292a+Z?+4212db+44

=2時(shí)取等號(hào)，故所得新長(zhǎng)方體高的最大值為京

1

答案：彳

13.已知圓錐的底面半徑和高相等，側(cè)面積為4m“，過(guò)圓錐的兩條母線(xiàn)作截面，截面

為等邊三角形，則圓錐底面中心到截面的距離為.

解析：如圖，設(shè)底面半徑為r,由題意可得：母線(xiàn)長(zhǎng)為蛆r.又側(cè)面展

D

開(kāi)圖面積為,隹廣義2冗尸=4鏡n，所以T=2.乂截面三角形力切為等邊三角形，故BI)=AB

=/八又OB=OD=r,故△/?〃為等腰直角三角形.設(shè)圓錐底面

==

中心到截面的距離為d,又Vo-ABDVA-B0I)9所以dXSnABD=AOXS△啊又S&AffD^^~A^X

廣工J2X22市

8=2yf3,5A(W=2>A0=r=tlf故d=二3?

答案.

14.底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為T(mén)cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相

切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒(méi)所有鐵球，則需要注

水cm3.

解析：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為。，Q,a,?！逼渲衋,a為下層兩球的球心，aaoM

為正四面體，棱QQ到棱aa的距離為孚，所以注水高為1+坐.故應(yīng)注水體積為“。十平)

—4x1x(33=&+平卜(城).

答案:目郛

B組一一力爭(zhēng)難度小題

1.(2019?全國(guó)卷III)學(xué)生到工廠(chǎng)勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型

為長(zhǎng)方體挖去四棱錐第后所得的幾何體.其中。為

長(zhǎng)方體的中心，E,F,G,〃分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AAt

=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/aA不考慮打印損耗,制作該模

型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)______g.

解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為6cm和4cm,

故^Btii<)Ht?=1x|x4X6X3=12(cnit).

0乙

又「長(zhǎng)方體=6X6X4=144(cm‘)，

所以模型的體積為

VK方體一，拉去的四核怫=144—12=132(cm'),

所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X0.9=118.8(g).

答案：118.8

2.（2018?蘇州期末）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古

代建筑中首創(chuàng)的榨卯結(jié)構(gòu)，它的外觀(guān)是如圖所示的十字立方體，其上下、

左右、前后完全對(duì)稱(chēng)，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°樣卯起

來(lái).若正四棱柱的高為5,底面正方形的邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)

一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留

解析：設(shè)球形容器的最小半徑為此則“十字立方體”的24個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為"的球面

上，所以?xún)筛⑴诺乃睦庵w組成的長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)球面上.球的直徑就是長(zhǎng)方體

的體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，所以2斤=4?不喬/=，而，得4下=30.從而S球面=4“外=30JT.

答案:3031

3.（2019?啟東中學(xué)模擬）把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為"

20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸

點(diǎn)（皮球不變形），則皮球的半徑為cm.

解析：法一：如圖，過(guò)點(diǎn)S作SJ吐平面力靦，垂足為連接4仇由題意，可知SM=

S

10^2cm,cm,易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M到每條棱的距離均為10cm,所以/K

點(diǎn)"即球心，球半徑為10cm.IA\

法二：在四棱錐力中，所有棱長(zhǎng)均為20cm,

連接4G初交于點(diǎn)0,連接S。，

則SgAO^BgCgDO=10^2cm,

易知點(diǎn)。到48,BC,CD,49的距離均為10cm,

在等腰三角形十S中，/k=S，=10娟cm,必=20cm,

所以。到外的距離rf=10cm,

同理可證。到的SC,劈的距離也為10cm,

所以球心為四棱錐底面4?徵的中心0,

所以皮球的半徑二=10cm.

答案：10

4.（2019?河南模擬）如圖，已知正方體4844的棱長(zhǎng)為1,

。為優(yōu)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)力，P,G的平面截正方體所得的截面為M,則截

面M的面積為一.

解析：如圖，取44,力。的中點(diǎn)分別為尸，G.

連接/凡AP,PC、,GF,PG,仄G,AG,PF.

An

??,尸為4〃的中點(diǎn)，戶(hù)為回的中點(diǎn)，G為力〃的中點(diǎn),

,\/5

：.AF=FQ=AP=PQ=^

PG//CD,AF//DxG,

由題意易知CD//C\D\>

:?PG〃C\D\,

???四邊形為平行四邊形，

：.PCx//IXG,

:.PC」/AF,

，力，P,G,尸四點(diǎn)共面，

???四邊形力陽(yáng)少為菱形.

??3G=/，PF=/,

截面M的面積S=5G?^=1^3X小=坐

答案:平

5.如圖所示，在直三棱柱中，ACLBC,AC=\,BC=CC、=2,若用平行

于三棱柱464-46C的某一側(cè)面的平面去截此三棱柱，使得到的兩個(gè)幾何體

能夠拼接成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體表面積的最小值為.

解析：用過(guò)/反的中點(diǎn)且平行于平面8s5的平面截此三棱柱，可

以拼接成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，其表面積為24；

用過(guò)回的中點(diǎn)且平行于平面1%M的平面截此三棱柱，可以拼接成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高

分別為4,1,2的長(zhǎng)方體，其表面積為28：

用過(guò)44,BR,CG的中點(diǎn)且平行于平面力宛的平面截此三棱柱，可以拼接成一個(gè)長(zhǎng)、寬、

高分別為4,2,1的長(zhǎng)方體，其表面積為28,

因此所求的長(zhǎng)方體表面積的最小值為24.

答案：24

6.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體/比》46￡〃中，E,尸分別為棱44,4G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G

為正方形尻%'G的中心.則空間四邊形4576在該正方體各個(gè)面上的正

投影所構(gòu)成的圖形中，面積的最大值為,人，

解析：四邊形在前、后面的正投影如圖①，當(dāng)￡與4重合，F(xiàn)

與合重合時(shí)，四邊形1防。在前、后面的正投影的面積最大值為12；

四邊形457%在左、右面的正投影如圖②，當(dāng)匯與4重合，四邊形力牙1。在左、右面的正

投影的面積最大值為8；

四邊形457若在上、下面的正投影如圖③，當(dāng)尸與〃重合時(shí)，四邊形/必1G在上、下面的

正投影的面積最大值為8.綜上所述，所求面積的最大值為12.

答案：12

第二講I大題考法一一平行與垂直

題型（一）

線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系的證明

平行、垂直關(guān)系的證明是高考的必考內(nèi)容，主要考查線(xiàn)面平行、垂直

的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化等.

［典例感悟］

［例1］（2017?江蘇高考）如圖，在三棱錐力-靦中，ABYAD,BC

LBD,平面/加，平面犯9,點(diǎn)匕尸（￡與4,。不重合）分別在棱BD

上，且“'

求證：（1）夕，〃平面4匕

⑵皿4c

［證明］（1）在平面4砌內(nèi)，因?yàn)?必EFLAD,

所以EF//AB.

又因?yàn)椤?平面/6C,/8u平面/6G

所以仔〃平面ABC.

⑵因?yàn)槠矫?切上平面BCD,

平面ABDQ平面BCD^BD,

8ct平面融，BCVBD,

所以6cL平面ABD.

因?yàn)锳上平面ABD,

所以BCLAD.

又AB工AD,BCCAB=B,4代平面四C,止平面四4所以/WJL平面48c

又因?yàn)?比平面ABC,

所以ADYAC.

［方法技巧］

立體幾何證明問(wèn)題的2個(gè)注意點(diǎn)

（1）證明立體幾何問(wèn)題的主要方法是定理法，解題時(shí)必須按照定理成立的條件進(jìn)行推

理.如線(xiàn)面平行的判定定理中要求其中一條直線(xiàn)在平面內(nèi)，另一條直線(xiàn)必須說(shuō)明它在平面外;

線(xiàn)面垂直的判定定理中要求平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)必須是相交直線(xiàn)等，如果定理的條件不完整，

則結(jié)論不一定正確.

（2）證明立體幾何問(wèn)題，要緊密結(jié)合圖形，有時(shí)要利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，因此需要多

畫(huà)出一些圖形輔助使用.

［演練沖關(guān)］

1.（2018?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）如圖，在四棱錐P-ABCD中,ZADB

90°,原=繆，點(diǎn)E為棱陽(yáng)的中點(diǎn).

（。若PB=PD,求證：PCX.BD-,

（2）求證：CE〃平面PAD.

證明：⑴取劃的中點(diǎn)0,連結(jié)CO,PO,因?yàn)镃D=CB,所以BDVCO.

因?yàn)镻4PD,所以BDLPO.

又POCCg0,

所以應(yīng)LL平面PCO.

因?yàn)?在平面女力，所以/TL也

⑵由《為陽(yáng)中點(diǎn)，連結(jié)￡0,則如〃如，

又￡次平面PAD,Pg平面PAD,

所以口〃平面PAD.

由N/%?=90°,以及BD上CO,所以?！?

又明平面PAD,所以CO〃平面PAD.

又CO^EO=O,所以平面砥）〃平面PAD,

而CEu平面CEO,所以磔〃平面PAD.

2.（2019?江蘇高考）如圖，在直三棱柱/8G48C中，D,￡分別為

BC,/C的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：（1）48〃平面〃笫；

⑵陽(yáng)

證明：（1）因?yàn)椤‥分型為BC,4C的中點(diǎn)，

所以ED//AB.

在直三棱柱力舐4劣G中，AB"A瓜,

所以4臺(tái)〃被

又因?yàn)闅W:平面〃命，48I平面%'G,

所以48〃平面比G.

⑵因?yàn)锳B=BC,￡為“'的中點(diǎn)，所以膽L然

因?yàn)槿庵鵄BC-4劣G是直棱柱，所以GCL平面ABC.

又因?yàn)锽Eu平面ABC,所以GCLBE.

因?yàn)镚Ci=平面44CG,4ct平面4/CG,GCAAC^C,

所以跳上平面AxACQ.

因?yàn)镚￡t平面44s,所以應(yīng)'_LG&

題型(二)

兩平面之間位置關(guān)系的證明

考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本質(zhì)是考查線(xiàn)面垂直和平行.

［典例感悟］

［例2］(2019?南京鹽城一模)如圖，在直三棱柱481G中，D,E

分別是棱8GM上的點(diǎn)(其中點(diǎn)2不同于點(diǎn)。，且尸為棱AG上

的點(diǎn)，且4RL8G.

求證：(1)平面ADEL平面BCCB；

(2)4尸〃平面ADE.

［證明］(1)在直三棱柱/跖48C中，CGJ_平面4比:

因?yàn)?t平面ABC,所以CGVAD.

又AD1DE,在平面8%由中，CG與小相交,

所以血狀平面BCCB.

又ADc.平面ADE,所以平面/應(yīng)比平面BCGBx.

(2)在直三棱柱中，被，平面484,

因?yàn)?代平面45G,所以如_L4汽

又4436,所以4￡1平面比匕尻

在⑴中已證得1平面BCCB,所以AyF//AI).

又/閃平面/龐，/Wc平面力〃所以4人〃平面49E

［方法技巧］

證明兩平面位置關(guān)系的求解思路

(1)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行即

可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行.

（2）證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線(xiàn)，將證

明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，一般先從現(xiàn)有直線(xiàn)中尋找，若圖中不存在這樣的直線(xiàn)，則

借助中線(xiàn)、高線(xiàn)或添加輔助線(xiàn)解決.

［演練沖關(guān)］

?iQ

（2018?江蘇高考）在平行六面體隊(duì)中，旭上以Q.

求證：⑴股〃平面46心

⑵平面/薇4,平面ABC.BC

證明：（1）在平行六面體4比9454"中，

AB//AM.

因?yàn)?人平面45C,ABu平面ABC,

所以48〃平面ABC.

（2）在平行六面體ABCD-4844中，

四邊形4初4為平行四邊形.

又因?yàn)榧邮?

所以四邊形為菱形，

因此

因?yàn)锽C//BxG,

所以48」8c

因?yàn)?8nBC=B,A慶平面A、BC,

BCu平面AxBC,

所以仍J_平面A\BC.

因?yàn)橄鄒平面ABRA、,

所以平面平面AWC.

題型（三）

空間位置關(guān)系的綜合問(wèn)題

主要考查空間線(xiàn)面、面面平行或垂直的位置關(guān)系的證明與翻折或存在性問(wèn)題相結(jié)合的綜

合問(wèn)題.

［典例感悟］

［例3］如圖1,在矩形4靦中，AB=\,AD=2,￡是口的中點(diǎn)，將△4外■沿四折起,

得到如圖2所示的四棱錐Dy-ABCE,其中平面ZU虹平面ABCE.

(1)證明：平面ZMA

(2)設(shè)尸為勿的中點(diǎn)，在線(xiàn)段4?上是否存在一點(diǎn)M,使得物W平面若存在，求

出勤值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解］⑴證明：?.?四邊形48(力為矩形且4g應(yīng)'=%=比'=2,."A跖=24.又4?

=4,:.A代+B^=A百,:"AEB=9Q°,即跳、_L4￡又平面"力反1平面46G5；平面ZU￡D平

面MCE=4E,8Eu平面A8CE,.?.如!平面〃

..AM1.__

(2)—=7＞理由如下：

/\D4

取〃￡的中點(diǎn)￡,連接也，AL,

：.FL//EC,FL=*C=L

又ECHAB,:.FL〃AB,且FL=，AB,

:.M,F,L,4四點(diǎn)共面.若.，監(jiān)力平面力〃色貝心折〃4....四邊形4監(jiān)Z為平行四邊形，

1AM1

：.AM=FL=~AB,即am=不

4AD4

［方法技巧］

與平行、垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題的解題步驟

假設(shè)存在bf植應(yīng)語(yǔ)詔春宿;余藁山蒞費(fèi)最拓面.............:

一＞I在假設(shè)條件下進(jìn)行推理,若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)；

推梵明T據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在;若導(dǎo)出與條陰

色——少■或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，說(shuō)明不成立，即不存在；

01;

得出結(jié)論卜回答顯否容癡而面宓：

［演練沖關(guān)］

(2018?全國(guó)卷I)如圖，在平行四邊形/比￥中，絲=然=3,/〃￥=90°.以4C為折痕

將折起，使點(diǎn)歷到達(dá)點(diǎn)〃的位置，且物.

D\

⑴證明：平面力切，平面板

2

⑵0為線(xiàn)段段上一點(diǎn)，月為線(xiàn)段回上一點(diǎn)，且BP=DQ=QA,求三棱錐鰭的體積.

解：（1）證明：由己知可得，/物C=90°,即用

又因?yàn)楹?〃，ACC\AD=A,

所以481.平面ACD.

因?yàn)榱κ掀矫鍭BC,

所以平面力5_1平面ABC.

⑵由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3y［2.

又BP=D*J）A,所以如2$.

如圖，過(guò)點(diǎn)0作處」4G

垂足為E,則QE^DC.

由已知及（1）可得，〃C_L平面/8G

所以Q6J_平面四GQE=\.

因此，三棱錐。｛//的體積為4何＞=：＞＜以必X?！?：＞＜^＞＜3X21^^45°Xl=l.

［課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練］________________________________________________________________