MBA數(shù)學(xué)突破班講義

MBA數(shù)學(xué)突破班講義

【編寫(xiě)】孫華明

（此套講義可供輔導(dǎo)班串講使用）

§1應(yīng)用題考點(diǎn)總結(jié)與技巧歸納

一、特殊值法：

技巧點(diǎn)撥：當(dāng)某些量題目談及但并不需要求出時(shí)（參照量），我們能夠使用特殊值“1”，通常百分比題

目中都設(shè)初始值為100?

例1.1：某商品單價(jià)上調(diào)20%后，再降為原價(jià)的90%,則降價(jià)率為（）

（A）30%（B）28%（C）25%（D）22%（E）20%

例1.2：一件商品假如以八折出售，能夠獲得相當(dāng)于進(jìn)價(jià)20%的毛利，那么假如以原價(jià)出售，能夠獲得相

當(dāng)于進(jìn)價(jià)百分之幾的毛利？（）

A.20%B.30%C.40%D.50%E.60%

例1.3：某電子產(chǎn)品一月份按原定價(jià)的80%出售，能獲利20%；二月份由于進(jìn)價(jià)降低，按同樣原定價(jià)的75%

出售，能獲得25%。那么2月份進(jìn)價(jià)是一月份進(jìn)價(jià)的百分之（）。（2006年1月）

A、92B、90C、85D、80E、75

例1.4：小明上學(xué)的速度是2米/秒，回家的速度是3米/秒，求來(lái)回平均速度。

二、統(tǒng)一比例法：

技巧點(diǎn)撥：當(dāng)遇到多個(gè)量之間的比例時(shí)，常常用統(tǒng)一比例的方法，從而能夠避免用多個(gè)未知數(shù)方程。

例2.1：甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存的糧食重量之比為4:3,現(xiàn)從甲庫(kù)中調(diào)出10萬(wàn)噸糧食，則甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)存糧噸

數(shù)之比為7:6.甲倉(cāng)庫(kù)原有糧食的萬(wàn)噸數(shù)為（）

A.70B.78C.80D.85E.以上結(jié)論均不正確

例2.2：倉(cāng)庫(kù)中有甲、乙兩種產(chǎn)品若干件，其中甲占總庫(kù)存量的45%,若再存入160件乙產(chǎn)品后，甲產(chǎn)品占

新庫(kù)存量的25%.那么甲產(chǎn)品原有件數(shù)為()

A.80B.90C.100D.110E.以上結(jié)論均不正確

例2.3：某國(guó)參加北京奧運(yùn)會(huì)的男女運(yùn)動(dòng)員比例原為19：12,由于先增加若干名女運(yùn)動(dòng)員，使男女運(yùn)動(dòng)員

比例變?yōu)?0：13,后又增加了若干名男運(yùn)動(dòng)員，因此男女運(yùn)動(dòng)員比例最終變?yōu)?0：19。假如后增加的男

運(yùn)動(dòng)員比先增加的女運(yùn)動(dòng)員多3人，則最后運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為()o

(A)686(B)637(C)700(D)661(E)600

例2.4：袋中紅球與白球數(shù)量之比為19：13。放入若干個(gè)紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?：3；再放入

若干個(gè)白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?3：11。已知放入的紅球比白球少80個(gè)，問(wèn)原先共有多少球？

()

A.860B.900C.950D.960E.1000

例2.5甲、乙兩車(chē)分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行。出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是5：4,相遇后，甲的速

度減少20%,乙的速度增加20%,這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米。那么A、B兩地相距()

千米？

A.350B.400C.450D.500E.550

三、交叉法：

技巧點(diǎn)撥：當(dāng)遇到兩個(gè)因素的變化率問(wèn)題時(shí)，常常用交叉法進(jìn)行求解。

例3.1：某鄉(xiāng)中學(xué)現(xiàn)有學(xué)生500人，計(jì)劃一年后，女生在校生增加4%,男生在校生人數(shù)增加3%,這樣,

在校生將增加3.6%,則該校現(xiàn)有女生與男生各多少人？()

(A)200,300(B)300,200(C)320,180(D)180,320(E)250,250

例32某高校2007年度畢業(yè)學(xué)生7650名，比上年度增長(zhǎng)2%,其中本科畢業(yè)生比上年度減少2%,而研究

生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10%。那么這所高校2006年畢業(yè)的本科生有()

(A)2450(B)2500(C)4900(D)5000(E)5100

例3.3：王女生以一筆資金分別投入股市與基金，但因故要抽回一部分資金。若從股市中抽回10%,從基金

中抽回5%,則總投資額減少8%；若從股市與基金中各抽回15%與10%,則其總投資額減少130萬(wàn)元。其總

投資額為（）（2007年10月）

A、1000萬(wàn)元B、1500萬(wàn)元C、2000萬(wàn)元D、2500萬(wàn)元E、3000萬(wàn)元

例3.4：某班有學(xué)生36人，期末各科平均成績(jī)?yōu)?5分以上的為優(yōu)秀生，若該班優(yōu)秀生的平均成績(jī)?yōu)?0分,

非優(yōu)秀生的平均成績(jī)?yōu)?2分，全班平均成績(jī)?yōu)?0分，則該班優(yōu)秀生人數(shù)是（）（2008年10月）

A.12B.14C.16D.18E.20

例3.5：已知某車(chē)間的男工人數(shù)比女工人數(shù)多80%,若在該車(chē)間一次技術(shù)考核中全體工人的平均成績(jī)?yōu)?5

分，而女工平均成績(jī)比男工平均成績(jī)高20%,則女工的平均成績(jī)?yōu)椋ǎ┓?。?009年10月）

A.88B.86C.84D.82E.80

例3.6：若用濃度30%與20%的甲、乙兩種食鹽溶液配成濃度為24%的食鹽溶液500克，則甲、乙兩種溶

液應(yīng)各?。ǎ?/p>

A.180克與320克B.185克與315克C.190克與310克

D.195克與305克E.200克與300克

例3.7：：（09-1）在某實(shí)驗(yàn)中，三個(gè)試管各盛水若干克?，F(xiàn)將濃度為12%的鹽水10克倒入A管中，混合后

取10克倒入B管仲，混合后再取10克倒入C管中，結(jié)果A,B,C三個(gè)試管中鹽水的濃度分別為6%、2%、

0.5%,那么三個(gè)試管中原先盛水最多的試管及其盛水量各是（）

A.A試管，10克B.B試管，20克C.C試管，30克D.B試管，40克

E.C試管，50克

例3.8：有一桶鹽水，第一次加入一定量的鹽后，鹽水濃度變?yōu)?0%,第二次加入同樣多的鹽后，鹽水濃度

變?yōu)?0%,則第三次加入同樣多的鹽后鹽水濃度變?yōu)椋海ǎ?/p>

A.35.5%B.36.4%C.37.8%D.39.5%E.均不正確

四、縱向比較法:

技巧點(diǎn)撥：在行程問(wèn)題與工程問(wèn)題中，假如遇到某件情況分別用兩種不一致的方式去完成時(shí)，往往采取縱

向比較求解的方法。

例4.1：甲、乙兩人從相距180千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，1小時(shí)48分相遇。假如甲比乙早出發(fā)40

分鐘，那么在乙出發(fā)后1小時(shí)30分相遇，求兩人每小時(shí)各走幾千米？()

(A)40,50(B)45,55(C)50,40(D)55,45(E)以上均不對(duì)

例4.2：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程需18天，假如甲隊(duì)干3天，乙隊(duì)干4天則完成工程的1/5o

則甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程需要()天。

(A)20(B)30(C)35(D)40(E)45

例4.3：一件工作，假如甲單獨(dú)做，那么甲按照規(guī)定時(shí)間可提早2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天完成。

現(xiàn)在，甲、乙二人合作2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。若二人合作，則完成這

項(xiàng)工程需要()天。

(A)5(B)6(C)8(D)10(E)15

五、圖表、圖示法：

技巧點(diǎn)撥：當(dāng)題目出現(xiàn)多維因素變化或者者重疊問(wèn)題時(shí)，常常用列表與畫(huà)文氏圖的方法。

例5.1：某工廠生產(chǎn)某種新型產(chǎn)品，一月份每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)是出廠價(jià)的25%,二月份每件產(chǎn)品出廠價(jià)降

低10%,成本不變，銷(xiāo)售件數(shù)比一月份增加80%,則銷(xiāo)售利潤(rùn)比一月份的銷(xiāo)售利潤(rùn)增長(zhǎng)()

(A)6%(B)8%(C)15.5%(D)25.5%(E)以上均不對(duì)

例52某單位有90人，其中有65人參加外語(yǔ)培訓(xùn)，72人參加計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，已知參加外語(yǔ)培訓(xùn)

而沒(méi)參加計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有8人，則參加計(jì)算機(jī)培訓(xùn)而沒(méi)參加外語(yǔ)培訓(xùn)的人數(shù)為()

A.5B.8C.10D.12E.15

例5.3：某班有學(xué)生46人，在調(diào)查他們家中是否有電子琴與小提琴中發(fā)現(xiàn)，有電子琴的有22人，兩種琴

都沒(méi)有的14人，只有小提琴與兩種琴都有的人數(shù)比為5：3。則只有電子琴的有多少人()

(A)12(B)14(C)16(D)18(E)20

例5.4：申請(qǐng)駕駛執(zhí)照時(shí)，必須參加理論考試和路考，且兩種考試均通過(guò)。若在同一批學(xué)員中有

70%的人通過(guò)了理論考試，80%的人通過(guò)了路考，則最后領(lǐng)到駕駛執(zhí)照的人有60%()

(1)10%的人兩種考試都沒(méi)有通過(guò)

(2)20%的人僅同過(guò)了路考

例5.5：某公司的員工中，擁有本科畢業(yè)證、計(jì)算機(jī)等級(jí)證、汽車(chē)駕駛證的人數(shù)分別為130,110,90.又

知只有一種證的人數(shù)為140,三證齊全的人數(shù)為30,則恰有雙證的人數(shù)為()

(A)45(B)50(C)52(D)65(E)100

§2代數(shù)模塊題型歸納及考點(diǎn)總結(jié)

題型一：考查實(shí)數(shù)的計(jì)算：

常用方法：裂項(xiàng)相消法、公式法(求與公式、平方差公式)、分母有理化、數(shù)列求與法。

(1)裂項(xiàng)法：=|(---二)

n(n+k)knn+k

/1、依必2切c(%+%)〃n(n-l),,d、2/d、

(I)等差數(shù)列：Sn=---------=nciyH-------——d=+(%——

na、(q=1)

(2)等比數(shù)列：Sn=<”i(l—=/g壬0且“關(guān)。

、\-q\-q'

技巧點(diǎn)撥：找出通項(xiàng)，尋求規(guī)律。

3111,、

例1?1---------+----------+…+-----------=()

13x1515x1737x39

例1.2,5_2n_,5+2"=()

A.2^/2B.-2^/2C.2^/3D.-2^/3E.-\/3-A/2

111_j__j_

例1.3(1+2-5)(1+2二)(1+2-0(1+27)(1+2三)=()

1)

例1.4+???_|-->--(-1--+--，--2--0--0--9--)-=-(

V2008+V2009)

A.2006B.2007C.2008D.2009E.2010

例L50.1+0.2+0.3+0.4+.??+0.9()

⑷蔡(噓喈⑸以上結(jié)論都不正確

1Q

例1.6等差數(shù)列｛aj的前18項(xiàng)和S[8=；■.(

/八11。、11

⑴。3。6；；。3=：，。6=~

=62=3(2)42

例1.7S6=126o()

⑴數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是?！ǘ?0(3〃+4)(〃？N)

(2)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是%=2〃(〃？N)

例1.8a,+a：++...+aj——(4"-1)()

(1)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2〃

(2)在數(shù)列｛〃〃｝中，對(duì)任意正整數(shù)〃，有4+%+。3+,??+0〃=2〃—1

題型二：考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)：

常見(jiàn)考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)。

例2.1某人左右兩手分別握了若干顆石子，左手中石子數(shù)乘3加上右手中石子數(shù)乘4之與為29,則右手

中石子數(shù)為（）

（A）奇數(shù)（B）偶數(shù)（C）質(zhì)數(shù)（D）合數(shù)（E）以上結(jié)論均不正確

例2.2已知兩個(gè)自然數(shù)的差為48,它們的最小公倍數(shù)為60,則這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為（）

A10B12C15D20E30

例2.3已知p、q均為質(zhì)數(shù)，且滿(mǎn)足5"+3q=59,則以p+3,l-p+q,2p+q-4為邊長(zhǎng)的三角形是（）

（A）銳角三角形（B）直角三角形（C）全等三角形（D）鈍角三角形（E）等

腰三角形

例2.4若a,瓦c是小于12的三個(gè)不一致的質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，J!L|a-Z?|+|Z>-c|+|c-a|=8,則a+Z?+c=()。

A.10B.12C.14D.15E.19

例2.5若尤,y是有理數(shù),且滿(mǎn)足（l+2?）x+（l-〃）y—2+5==0,則的值分別為（）

A.1,3B.-1,2C.-1,3D.1,2E.以上結(jié)論都不正確

題型三：關(guān)于非負(fù)性考查：

常見(jiàn)考點(diǎn)：絕對(duì)值、偶次累、偶次根式。

技巧點(diǎn)撥：配方法。

/一廿1

例3.1)

194+96/134

a2b2

儀,6均為實(shí)數(shù)且-2卜（a2-b2-1)2=0;(2)〃涉均為實(shí)數(shù),且羋立二1

a—2b

例3.2已知實(shí)數(shù)a,,b,x,y滿(mǎn)足y+|石-四和,_2f一則產(chǎn)+3*=()

A.25B.26C.27D.28E.29

例3.3|3X+2|+2X2—12肛+18/=0,貝i]2y—3x=().

142214

A.B.---C.0D.-E.

T99T

例3?4實(shí)數(shù)九,y,z滿(mǎn)足—+4孫+5>2]+Jz+；=一2>一1,貝!J(4x—10y)z等于()。

*3TE嚕

題型四：考查絕對(duì)值的兩種定義：

常見(jiàn)考點(diǎn)：

Ifa,(a>Q)

1、代數(shù)定義：〃|一1-a,(a<0)，

\a\=aoa>0

a\_a_\l,Q>0

由定義可知：<\a\——aoa<0f當(dāng)aWO時(shí),

a\a\<0

問(wèn)=0=a=0

2、幾何意義：卜-耳是數(shù)軸上a、b兩點(diǎn)間的距離，特別同是數(shù)軸上a到原點(diǎn)的距離。

例4.1.|1-%|-，%2-8%+16=2%-5.()

(1)2<x(2)x<3

例4.2實(shí)數(shù)〃、方滿(mǎn)足:同(a+Z?)>《〃+闿

(l)a<0(2)b>-a

例4.3a|a-Z?|>|a|(a-Z?)

(1)實(shí)數(shù)a>0(2)實(shí)數(shù)a,萬(wàn)滿(mǎn)足a9

…<1

例

4.4和()

(1)巳-2=0(2)

同網(wǎng)

例4.5/(%)有最小值2()

(1)于3=x-^-+x-^-;(2)/(x)=|x-2|+|4-x|

例4.6設(shè)y=|x-a|+|x-20|+|x-a-20|,M4:l0<?<20,

則對(duì)于滿(mǎn)足a<x<20的Ml,y的最小值是()

A.10B.15C.20D.25E.30

例4.7方程|x+l|+N=2無(wú)根。()

(l)x?(?,1)(2)x?(1,0)

例4.9關(guān)于任何實(shí)數(shù)x,不等式k+l|+|x—2]>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

(A)a>3(B)aN3(C)aW3(D)a<3(E)以上結(jié)論均不正確

題型五：考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值：

常見(jiàn)考點(diǎn)：

(1)、乘法公式(1)(a+b)(a-b)=a1-b2

(2)((7±Z?)2=a2±2ab+b2

(3)(〃±3(〃2不次?+//)二/±b3

(4)(a+Z?+c)=a?+Z??+c2+2aZ?+2Z7c+2ca

(5)a2+及+c?+ab+be+cct——[(a+b)。+(b+c)2+(c+a)2]

(2)、因式分解

十字相乘：ax2+bx+c=(a/+6)(。2%+Q),

其中a=axa2.c=cxc2.同時(shí)b=axc2+a2cl

(3)、比例的性質(zhì)：

人八acci±m(xù)c.a±c

合分比定理：一=一=--------m=l-------

bdb±m(xù)d==b±d

等比定理：，

bdfb+d+fb

技巧點(diǎn)撥：注意輪換式，整體代換思想。

例5.1已知(2007—a)(2009—a)=2008,貝式2007—。)2+(2009—。)2=()

(A)4012(B)4014(C)4016(D)4018(E)4020

例5.2AABC是等邊三角形。()

(1)AASC的三邊滿(mǎn)足(a+b+=3(ab+bc+ac)

(2)兒45國(guó)三邊滿(mǎn)足/一〃2。+〃匕2+〃。2一。3一〃。2=。

7222

例5.3已知—F—H--=3,—I-----F—=0,刃5么二-1—-+—=()

abcxyzabc

A.0B.1C.3D.9E.以上結(jié)論均不正確

b+c+da+c+da+b+da+b+c

例5.4------------=-------------=-------------=m,則根二()

abed

1

A.3B.-C.-1D.3或者一1E.以上均不對(duì)

3

例5.5：%=-1或者x=8()

⑴x=絲也處型￡±&詆工0)a+b-c_a-b+c_-a+b+c

cba

題型六：考查整式的除法運(yùn)算：

常見(jiàn)考點(diǎn)：

因式定理：砒一匕為多項(xiàng)式/(X)的一次因式o/造)=0O/(%)能被以一匕整除。

a

余式定理：多項(xiàng)式/(%)除以X-〃之余式為了(〃)，

推論：多項(xiàng)式/(X)除以Z?之余式/(2)。

a

技巧：降易思想方法。

例6.1(07年10月)若多項(xiàng)式/。)=]3+。2必+工一3。能被x—1整除，則實(shí)數(shù)。=()

A.0B.1C.0或者1D.2或者一1E.2或者1

例6.2已知/(%)=%3_2x2+Q%+b除以%2一%一2的余式為2x+l,則的值為()

A.a=1,b=_3B.a=-3,b=1C.a=-2,b=3D.a=1,b=3E.以上均不對(duì)

例6.3二次三項(xiàng)式*十1一6是多項(xiàng)式2犬+d一辦2+6X+Q+6一]的一個(gè)因式。()

(1)a=16(2)b=2

例6.4(-〃)"=-1()

(1)3/+依2+區(qū)+1能被尤2+1整除

(2)X12—%6+1除以/-I的余式是ax+b

題型七：考查一元二次方程：

常見(jiàn)考點(diǎn)：根的判別式、韋達(dá)定理、實(shí)根的分布、共趣根、有理根、公共根。

(1)根的判別式：ax2+bx+c=0(610)

A>0,有兩個(gè)不相等實(shí)根無(wú)「％=一"石

2a

設(shè)△=b--4ac\&=0,有兩個(gè)相等實(shí)根網(wǎng).％=一2

2a

A<0,無(wú)實(shí)根

(2)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

b

“1+%2=-------

2a

ax+bx+c=G(aWO)兩根為玉、x2o<

C

石工2--

a

(3)一元二次方程根的分布情況可分成兩類(lèi)：

①兩根屬于同一區(qū)間(包含兩相等實(shí)根情況)：從三個(gè)角度加條件：A>0,對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)與端點(diǎn)函數(shù)值

的正負(fù)。

②兩根分屬于兩個(gè)區(qū)間：只需加端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)。

例7.1關(guān)于x的兩個(gè)方程X?+4巾+4療+2加+3=0與x2+(2加+l)x+W=0中至少有一個(gè)方程有

實(shí)根()

(1)m?l(2)mW-2

例7.2已知a、b、c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，設(shè)0、夕是方程Q2+公—。=0的兩個(gè)根，且

a>/3a3/3-a|33=()。

(A)2(B)3(C)亞(D)76(E)以上結(jié)果均不正確

例7.33x2+Z?x+c=O(cWO)的兩根為a、0,假如a+尸，皿為根的一元二次方程是

3X2-Z?X+C=0,貝!jb與c分另U為()

(A)2,6(B)3,4(C)-2,-6(D)-3,-6(E)以上結(jié)果均不正確

例7.4的最小值是g.()

(1)a與夕是方程f-2ax+(q2+2a+l)=0的兩個(gè)實(shí)根(2)a/3=￡

例7.5方程4f+(a-2)x+a-5=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根()

(l)a<6(2)a>5

例7.6方程2at2-2x-3a+5=0的一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1。()

(1)a>3(2)a<0

例7.7若關(guān)于x的二次方程"if—一1)%+根一5=0有兩個(gè)實(shí)根名尸,且滿(mǎn)足—1<々<0與0<尸<1,則

m的取值范圍是()?

A.3<m<4B.4<m<5C.5<m<6

D.加>6或5>w7E.m>5§J<4>m

題型八：考查不等式的解法：

常見(jiàn)考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式，一元二次不等式，一元高次不等式，分式不等式，均值不等式等。

技巧點(diǎn)撥：穿針引線(xiàn)法，代根驗(yàn)證法。

1、二次函數(shù)、方程、不等式關(guān)系：

△=b2-4ac△>0△=0△<0

當(dāng)a,A為正數(shù)時(shí)，”22J拓，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立。

2

例8.1滿(mǎn)足不等式(x+4)(x+6)+3>0的所有實(shí)數(shù)x的集合是()

A.[4,+oo)B,(4,+oo)C,(-co,-2]D.(-oo,-1)￡.(-00,+00)

例8.24%2-4%<3()

(1)XG(2)xG(-1,0)

42

例8.3已知不等式ax2+2x+2〉0的解集是(-!-)，則a=()

32

(A)-12(B)6(C)0(D)12(E)以上結(jié)論均不正確

x~—4x+3<0、

例8.4不等式組1的解均滿(mǎn)足不等式2d-9%+加<0

X2-6X+8<0

(1)mW9(2)m>9

例8.5不等式—5耳＞6的解集為()

(A)(-8,-1)U(2,3)(B)(2,3)U(6,+8)(C)(-8,-1)U(6,+8)

(D)(-8,-1)u(2,3)U(5,+8)(E)(-8,-1)U(2,3)U(6,+8)

例8.6(%2-2x-8)(2-x)(2x-2x2-6)>0()

(1)xe(-3,-2)(2)xe[2,3]

例8.7(2x?+x+3)(—x~+2x+3)<0()

(l)xe[-3,-2];(2)xe(4,5)

32

例8.8不等式——<1---------的解集為()

x-2x+2

(A)(-8,2)U(6,+8)(B)(-OO,-2]U(-1,2)(C)[-1,2)U(6,+°0)

(D)(-?-2)U(-1,2)U(6,4W)(E)(^?_2)U[-1,2)U[6,4W)

例8.9直角邊之與為12的直角三角形面積的最大值為（）

A.16B.18C.20D.22E.不能確定

2LJL

例8.10設(shè)x〉0,y〉0,盯=4,則S=百+&取到最小值時(shí)制值是

A.1B.2C.20D.2^2E.不能確定

§3幾何模塊題型歸納及考點(diǎn)總結(jié)

題型一：考查三角形的計(jì)算問(wèn)題：

常見(jiàn)考點(diǎn)：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形

重點(diǎn)：面積問(wèn)題

1.通常三角形:邊的關(guān)系、面積公式：S=-aho

2

2.特殊三角形：

〈1〉.直角三角形：

①.勾股定理：c2+b2.②.兩個(gè)銳角互余.③.斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.

④.假如一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

〈2〉.等腰三角形：

①.等腰三角形的三線(xiàn)合一:頂角平分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn).

〈3〉.等邊三角形：若等邊三角形的邊長(zhǎng)為則高％=且。，面積為58=3/.

24

<4>,兩個(gè)三角形的全等與相似。

對(duì)直角三角形而言：(射影定理)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似.

例1.1

如圖3,在三角形ABC中，已知EF//BC,則三角形AEF的面積等于梯形入A

EBCF的面積.

(1)AG=2GD

(2)|BC|=A/2|EF|

DC

圖3

A

例1.2：如圖三角形ABC的面積是180,D是BC的中點(diǎn),AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的3大八

倍，EF的長(zhǎng)是BF長(zhǎng)的3倍.那么三角形AEF的面積是多少？

()

DC

D

圖16-1

例1.3：(2008年10月)下圖中，若AA5C的面積為1,AAEC,ADEC,AB石。的面積相等，則AAED

的面積=().

11112

A.-B.-C.—D.—E.—.

36545

A

/

BDC

A

E

例1.4：.直角三角形ABC的斜邊AB=13厘米，直角邊AC=5厘米，把AC對(duì)折到AB上去與斜邊相重合，點(diǎn)

C與點(diǎn)E重合，折痕為AD(如上圖)，則圖中陰影部分的面積為()

4038

A.20B.—C.—D.14E.12

33

題型二：考查四邊形的計(jì)算問(wèn)題：

常見(jiàn)考點(diǎn)：平行四邊形、梯形、矩形、正方形

1、平行四邊形：兩組對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線(xiàn)互相平分。

2、矩形性質(zhì)矩形的四個(gè)角都是直角；對(duì)角線(xiàn)相等.

3、菱形性質(zhì)四條邊都相等；菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，同時(shí)每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.

4、正方形性質(zhì)定理:正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，同時(shí)互相垂直

平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.

5、梯形：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形.

上底為下底為6,高為五，中位線(xiàn)=；(。+6),面積為s=g(a+b)/z.

等腰梯形性質(zhì)：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等.

【梯形】

例2.1：若四邊形ABCD為等腰梯形，則梯形的中位線(xiàn)與高的比為2：1.()

(1)等腰梯形的底角為45。(2)等腰梯形的高等于上底

例2.2：如圖所示，梯形ABCD的中位線(xiàn)MN=6,則梯形的面積為246.()

(1)BC=8(2)ZC=60°

A

M

D

C

例2.3.如圖2,等腰梯形的上底與腰均為x,下底為尤+10,則尤=13。(

(1)該梯形的上底與下底之比為13:23。

(2)該梯形的面積為216。

例2.4.如圖30-8,ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E,F分別為

邊AB,BC的中點(diǎn).則圖形中陰影部分的面積為多少平方厘米？

圖30-8

例2.5：如圖是一個(gè)正方形，問(wèn)：陰影部分的面積是多少?

|<-10>|<10-?

圖30-10

例2.6：

如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)E為CD的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為()

11222

(A)-(B)-(C)-(D)-(E)二

32935

例2.7：如圖16-11,梯形ABCD的上底AD長(zhǎng)為3,下底BC長(zhǎng)為9,

的面積為12平方厘米.則梯形ABCD的面積為多少平方厘米？

例2.8：如圖2長(zhǎng)方形ABCD的兩條邊長(zhǎng)分別為8m和6m,

四邊形OEFG的面積是4m2,則陰影部分的面積為()

(A)32m2(B)28m2(C)24m2(D)20m2(E)16m2

BC

圖2

例2.9：P是以a為邊長(zhǎng)的正方形，P］是以P的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形，P?是以■的四邊中點(diǎn)為

頂點(diǎn)的正方形，…，R是以電的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形，貝蛻的面積為()

222

(DI.--C.—D.—E.—

432404864

例2.10：如圖正方形ABCD四條邊與圓0相切,而正方形EFGH是圓0的內(nèi)接

正方形.已知正方形ABCD的面積為1,則正方形EFGH面積是()

(A)|(B)|(C)等(D)與(E)：

題型三：考查圓與扇形的計(jì)算問(wèn)題：

常見(jiàn)考點(diǎn)：圓、弓形、扇形

1.圓：圓的半徑為R,則周長(zhǎng)為C=2?H,面積是5=乃尺2.

<1>.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦同時(shí)平分弦所對(duì)的兩條弧.

<2>,圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

〈3>.圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，同時(shí)任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.

圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的與相等.

<4>,切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于通過(guò)切點(diǎn)的半徑.切線(xiàn)長(zhǎng)定理。

2.扇形.在扇形0AB中，若圓心角為氏則AB弧長(zhǎng)/=4變，扇形面積5=回一.

180360

【組合圖形的面積】

例3.1：求下面各圖形中陰影部分的面積。

例3.2：如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別以四邊為直徑作半圓，則相交所

成的陰影部分的面積為（）.

3

A.2;1—4B.4—萬(wàn)C.—萬(wàn)-4D.7T—2E.以上均不正確

2

-，1

例3.3：如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD中AB=10厘米，BC=5厘米，以AB和AD分別為半徑作-圓,

4

則圖中陰影部分的面積為（）

75

A.25-￡萬(wàn)平方厘米B.25+二萬(wàn)平方厘米C.50+—萬(wàn)平方厘米

224

D.W萬(wàn)-50平方厘米E.以上結(jié)果均不正確

4

例3.4：如圖所示，半徑為r的四分之一的圓ABC上，分別以AB與AC

為直徑做兩個(gè)半圓，分別標(biāo)有a的陰影部分的面積與標(biāo)有b的陰影部

分的面積，則這兩部分面積a與b有（）

A.a>bB.a<bC.a<bD.a=bE.無(wú)法判定

例3.5：

(1999)如圖，半圓AD8以C為圓心，半徑為1,且CDLAB延長(zhǎng)和AD,分別與以氏A

為圓心,2為半徑的圓弧交于E,歹兩點(diǎn)，則圖中的陰影部分的面積是()

A

（）f-1（B）（L@萬(wàn)（C）f-l（￡＞）（6—1）兀（￡）（2-^）冗

題型四：考查解析幾何基本公式:

常見(jiàn)考點(diǎn)考點(diǎn)內(nèi)容解析

兩點(diǎn)之間4（和％）,5（々,當(dāng)）,則A3=石了+⑴―XT

距離公式：

中點(diǎn)公式：x=士也廣=讓江

坐標(biāo)公式：22

重心公式：工……M+…

33

①.傾斜角（范圍

直線(xiàn)的傾

②.斜率k=tana（aw90°）左=———

斜角與斜率：x2-xx

點(diǎn)到直線(xiàn)

_\Ax0+By0+C\

距離公式（fy+B2

兩條平行線(xiàn)

的距離公式

22

A/A+JB

例4.1：己知三個(gè)點(diǎn)A(x,5),5(—2,y),C(l,1),若C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求羽y的值.

例4.2：已知三點(diǎn)4a,2),5(5,1),C(T,2a)在同一直線(xiàn)上,求a的值.

例4.3：實(shí)數(shù)羽y滿(mǎn)足3%-2,一5=0(1?%<3),求上的取值范圍。

x

例4.4：點(diǎn)P(x,y)是直線(xiàn)2x+y—4=0上的動(dòng)點(diǎn),0為原點(diǎn),求0P的最小值.

例4.5：<1>.成立.()

①.點(diǎn)A(a,6)到直線(xiàn)3x-4y=2的距離大于4.

②.兩條平行線(xiàn)/i：x—y—。=0與4：x—y—3=0的距離小于42.

〈2〉.正方形A3CD的頂點(diǎn)。(―1,7).()

①.正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)依逆時(shí)針順序排列；②.點(diǎn)4(2,3),5(6,6).

題型五：考查直線(xiàn)與圓的方程:

常見(jiàn)考點(diǎn)

①.斜截式,=履+。.

直線(xiàn)方程

②.點(diǎn)斜式y(tǒng)—％=k(x-Xj)

三種形式③.通常式Ax+By+C^0(A2+B20)

(x-a)2+(y—瓦)2=r2,r>0

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r.

X2+y2+Dx+Ey+F=Q

圓的通常方程DE

(￡>29+E92-4F>0),圓心(——，——)，

22

半徑為廠=工JE>2+石2—4F

2

【直線(xiàn)方程】

例5.1：過(guò)點(diǎn)。(-1,10)且被圓。：12+;/一4%-2丁-20=0所截得的弦長(zhǎng)為8的直線(xiàn)方程是一

例5.2：.平行于直線(xiàn)2x—y+l=O,且與圓Y+/=5相切的直線(xiàn)方程是

例5.3：.已知圓C：/+/=4,求過(guò)A(若，1)的圓C的切線(xiàn)方程是=

例5.4：、設(shè)P是圓￡+=2上的一點(diǎn)，該圓在點(diǎn)P的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)x+y+2=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

()。

A.(-1,1)B.(1,-1)C.(0,0)D.(V2,0)E.(1,1)

例5.5：若圓C:(x+l)2+(y-l)2=l與x軸交于A點(diǎn),與y軸交于B點(diǎn),則與此圓相切于劣弧AB中點(diǎn)

M(注:小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧)的切線(xiàn)方程是()

A.y=x+2—^2B.y=x+l——C.y=x-1+'—1

D.y=x—2+y/2.E.y—x+1—A/2

例5.6：已知圓(x—2產(chǎn)+(y+l)之=16的一條直徑通過(guò)直線(xiàn)x-2y+3=0被圓所截弦的中點(diǎn)，則該直徑所在直

線(xiàn)的方程()

(A)2x+y-5=0(B)x-2y=0(C)2x+y-3=0(D)x—2y+4=0

【圓的方程】

例5.7：方程同—1=Jl—9所表示的曲線(xiàn)是()

A.1條直線(xiàn)B.2條直線(xiàn)C.1個(gè)圓D.2個(gè)半圓E.2個(gè)點(diǎn)

例5.8：動(dòng)點(diǎn)（x,y）的軌跡是圓。（）

（l）|x-l|+|）；|=4

（2）3（x2+y2）+6x-9y+l=0

例59假如圓+瓜+或+尸=。與丫軸相切于原點(diǎn)，那么（）

(A)F=0,DW0,EH0(B)E=0,F=0,D豐0

(C)D=0,F=0,E#0(D)D=0,E=0,FH0

題型六：考查幾何圖形位置關(guān)系：

①關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

點(diǎn)「（公,%）

關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（-x,y）;

關(guān)于特殊直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：00

注:左=±1時(shí)直接用快速

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（―x0,—y0）;

②關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（%,%）；

關(guān)于y=-％的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（一方,-%）;

點(diǎn)「（玉）,為）

[A.^O±A+B.A±A+C=O

關(guān)于直線(xiàn)Ac+6y+C=0的J22

<…。.(.當(dāng)=_1

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（%,%），[再-/B

直線(xiàn)治+為+。=0關(guān)于點(diǎn)

P（xo，%