2022-2023學(xué)年廣西貴港市桂平市數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標(biāo)原點），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．4．已知集合，，則=()A． B． C． D．5．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解，則實數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．6．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．8．二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是()A．180 B．90 C．45 D．3609．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．10．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．011．設(shè)全集集合，則（）A． B． C． D．12．為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐標(biāo)原點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（，）的左頂點為A，右焦點為F，過F作x軸的垂線交雙曲線于點P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.14．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動，服務(wù)活動共有“走進社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個項目，每人限報其中一項，記事件為“4名同學(xué)所報項目各不相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報走進社區(qū)項目”，則的值為______.15．已知是偶函數(shù)，則的最小值為___________.16．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差________，通項公式________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點，與交于另一點，若，求的取值范圍.18．（12分）已知在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，為的中點，連接，為的中點，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知圓外有一點，過點作直線．(1)當(dāng)直線與圓相切時，求直線的方程；(2)當(dāng)直線的傾斜角為時，求直線被圓所截得的弦長．20．（12分）一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本（萬元）與該月產(chǎn)量（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過畫散點圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程；②通過建立的關(guān)于的回歸方程，估計某月產(chǎn)量為1.98萬件時，產(chǎn)品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）附注：①參考數(shù)據(jù)：，，，，.②參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.21．（12分）改革開放40年，我國經(jīng)濟取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機抽取男女駕駛員各50人，進行問卷測評，所得分數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強.安全意識強安全意識不強合計男性女性合計（Ⅰ）求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；（Ⅱ）已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1，完成2×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關(guān)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人，求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82822．（10分）已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用向量運算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.2、C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).3、B【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)球0得半徑為R，AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，，，由，得．如圖：設(shè)三角形的外心為，連接，，，可得，則．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．則三棱錐的體積的最大值為．故選：．【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積，基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．4、C【解析】

計算，，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，意在考查學(xué)生的計算能力.5、A【解析】

若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【詳解】解：，∴，設(shè)，∴，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時，，當(dāng)，，函數(shù)恒過點，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，∴且，即，且∴，故實數(shù)m的最大值為，故選：A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運算能力.6、A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當(dāng)直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當(dāng)時，沒有零點，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、C【解析】略8、A【解析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以，，令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數(shù)的計算.9、B【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點睛】本題考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選：C.【點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.12、D【解析】

過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進而可得出，結(jié)合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點作，設(shè)該雙曲線的右焦點為，連接.，.，，，為的中點，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點可得，再由雙曲線的性質(zhì)可得，解出即得.【詳解】由題，設(shè)點，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點，過點，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是?？碱}型.14、【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為：【點睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得，解得，再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：2【點睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題16、2【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】，，解得，，故.故答案為：2；.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計算，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換公式，把參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進行轉(zhuǎn)化；（2）利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】（1）因為，所以的普通方程為，又，，，的極坐標(biāo)方程為，的方程即為，對應(yīng)極坐標(biāo)方程為.（2）由己知設(shè)，，則，，所以，又，，當(dāng)，即時，取得最小值；當(dāng)，即時，取得最大值.所以，的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，三角函數(shù)的值域求解等知識，考查了學(xué)生的運算求解能力.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接，證明，得到面，得到證明.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，為平面的法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）連接，在四邊形中，，平面，面，，，面，又面，，又在直角三角形中，，為的中點，，，面，面，.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，，，，令，則，，，同理可得平面的一個法向量為.設(shè)向量與的所成的角為，，由圖形知，二面角為銳二面角，所以余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.19、（1）或（2）．【解析】

(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結(jié)果;(2)先求出直線方程，然后求得圓心與直線的距離,由弦長公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當(dāng)斜率不存在時，直線的方程為,滿足題意當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長為【點睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式及弦長公式，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.20、（1）見解析；（2）①②3.386（萬元）【解析】

（1）利用代入數(shù)值，求出后即可得解；（2）①計算出、后，利用求出后即可得解；②把代入線性回歸方程，計算即可得解.【詳解】（1）由已知條件得，，∴，說明與正相關(guān)，且相關(guān)性很強.（2）①由已知求得，，所以，所求回歸直線方程為.②當(dāng)時，（萬元），此時產(chǎn)品的總成本約為3.386萬元.【點睛】本題考查了相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用以及線性回歸方程的求解和應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）見解析，有的把握認為交通安全意識與性別有關(guān)（Ⅲ）見解析，【解析】

（Ⅰ）直接根據(jù)頻率和為1計算得到答案.（Ⅱ）完善列聯(lián)表，計算，對比臨界值表得到答案.（Ⅲ）的取值為，計算概率得到分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（Ⅰ），解得.所以該城市駕駛員交通安全意識強的概率.（Ⅱ）安全意識強安全意識不強合計男性163450女性44650合計2080100，所以有的把握認為交通安全意識與性別有關(guān)（Ⅲ）的取值為所以的分布列為期望.【點睛】本題考查了獨立性檢驗，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.22、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.（2）解法一：分類討論：當(dāng)時，觀察式子可得恒成立；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當(dāng)時，令，由，，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛比達法則計算可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)，，，，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）