2023-2024學(xué)年廣東省梅州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省梅州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=(2?i)2(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第(????)A.一 B.二 C.三 D.四2.某校舉行演講比賽，9位評委對參賽選手李明的評分分別為87，85，91，95，90，92，96，88，83則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是(

)A.92 B.91.5 C.91 D.903.如圖，水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′恰為腰長為2的等腰直角三角形，則△ABC中最長邊的長為(

)A.22

B.4

C.44.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若α//β，m?α，n?β，則m//n

C.若m//α，m⊥β，則α⊥β D.若m⊥n，n?α，則m⊥α5.已知3sinθ?cosθ=23,θ∈(0,A.?223 B.?136.有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒裝有編號為1，2，3，4，5的5個(gè)球，乙盒裝有編號為1，2，3的3個(gè)球，每個(gè)球大小相同、材質(zhì)均勻，各盒中每個(gè)球被抽取的概率相同，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，設(shè)事件A=“從甲盒中所抽取的球的編號小于3”，B=“兩個(gè)球編號之和為偶數(shù)”，則P(AB)=(

)A.12 B.13 C.147.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若滿足條件a=3，A=60°的三角形有兩個(gè)，則b的取值范圍是(

)A.(2,3) B.(3,33) C.(3,28.如圖，在扇形AOB中，扇形的半徑為1，∠AOB=2π3，點(diǎn)P在弧AB上移動(dòng)，OP=aOA+bOB.A.32

B.3

C.2

D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某中學(xué)三個(gè)年級學(xué)生共2000人，且各年級人數(shù)比例如以下扇形圖.現(xiàn)因舉辦校慶活動(dòng)，以分層抽樣的方式從中隨機(jī)選出志愿服務(wù)小組，已知選出的志愿服務(wù)小組中高一學(xué)生有32人，則下列說法正確的有(

)A.該學(xué)校高一學(xué)生共800人

B.志愿服務(wù)小組共有學(xué)生96人

C.志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有20人

D.某高三學(xué)生被選入志愿服務(wù)小組的概率為110.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+π3)，則下列說法正確的有A.函數(shù)f(x)的一條對稱軸為x=π12

B.f(x)在區(qū)間[?π6,π6]上單調(diào)遞增

C.f(x)的圖象可由g(x)=2sin2x的圖象向右平移5π11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M為棱C1D1的中點(diǎn)，NA.當(dāng)N為棱CC1上的中點(diǎn)時(shí)，平面A1MN經(jīng)過頂點(diǎn)B

B.當(dāng)N為棱CC1上的中點(diǎn)時(shí)，則AN/?/平面A1DM

C.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，三棱錐A?A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，則OA與OB夾角的余弦值cos<OA,OB13.若復(fù)數(shù)z=a+bi(其中i為虛數(shù)單位，a，b∈R，b≠0)滿足z+4z為實(shí)數(shù)，則z?z14.如圖，已知AD⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2AD=2，E，F(xiàn)分別為棱BD，AC上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則線段EF長度的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

(1)已知復(fù)數(shù)z=3+bi(其中i為虛數(shù)單位)滿足|z?2i|=5，求實(shí)數(shù)b的值；

(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解方程：5x2?2x+1=016.(本小題15分)

為了解學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間，督促學(xué)生加強(qiáng)鍛煉，甲、乙兩個(gè)班的班主任分別對所在班學(xué)生進(jìn)行體育鍛煉時(shí)長調(diào)查.將甲班50名學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長(單位：小時(shí))數(shù)據(jù)分成4組：[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，根據(jù)分組數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)甲班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長的平均數(shù)；

(2)乙班48名學(xué)生中周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的有16人，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從甲乙兩個(gè)班中各隨機(jī)抽查一位學(xué)生，求其中至少有一位學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率．17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D．

(1)求證：ADCD=ca；

(2)若3csinB+bcosC=a+c．

(ⅰ)求B；

(ⅱ)若a=2c18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是等腰梯形，PA⊥平面ABCD，BC//AD，AB=BC=CD=1，PA=AD=2．

(1)求證：BD⊥平面PAB；

(2)點(diǎn)Q為PA上一點(diǎn)，PQPA=13，求證：PC//平面BDQ；

(3)點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，求AM與平面19.(本小題17分)

歐拉是偉大的數(shù)學(xué)家，也是最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、復(fù)變函數(shù)、變分法、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程、力學(xué)等等領(lǐng)域都有杰出貢獻(xiàn).1765年，歐拉在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直線上(這條直線被稱為三角形的歐拉線)，此外，外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半.為證明以上結(jié)論，我們作以下探究：

如圖，點(diǎn)O、G、H分別為△ABC的外心、重心、垂心．

(1)求證：GA+GB+GC=0；

(2)求證：OG=13(OA+OB+OC)；

(3)求證：OH=OA+OB

參考答案1.D

2.A

3.D

4.C

5.B

6.D

7.C

8.B

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.4513.4

14.215.解：(1)∵z=3+bi，∴|z?2i|=|3+(b?2)i|=9+(b?2)2=5，

∴b=6或b=?2；

(2)∵Δ=(?2)2?4×5×1=?16<0，

∴方程的根為x=16.解：(1)根據(jù)題意可得(a+0.18+0.2+0.05)×2=1，∴a=0.07；

估計(jì)甲班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長的平均數(shù)為：

5×0.14+7×0.36+9×0.4+11×0.1=7.92小時(shí)；

(2)甲班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率為0.2×2+0.05×2=0.5，

乙班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率為1648=13，

∴至少有一位學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長在817.(1)證明：在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，

設(shè)∠ABD=α，∠BDC=β，則∠CBD=α，∠ADB=180°?β．

在△ABD和△BCD中，由正弦定理得ABAD=sin(180°?β)sinα，BCDC=sinβsinα．

因?yàn)閟in(180°?β)=sinβ，所以ABAD=BCDC，可得ABBC=ADDC=ca．

(2)解：(ⅰ)根據(jù)3csinB+bcosC=a+c，由正弦定理得3sinCsinB+sinBcosC=sinA+sinC．

因?yàn)閟inA=sin(180°?A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以3sinCsinB+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，可得3sinCsinB=cosBsinC+sinC，

即3sinB=cosB+1，可得3sinB?cosB=1，18.解：(1)證明：由題意可知，∠BAD+∠BCD=180°，所以cos∠BAD+cos∠BCD=0，

所以12+22?BD22×1×2+12+12?BD22×1×1=0，

解得BD=3，

則AB2+BD2=AD2，所以AB⊥BD，

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD，PA∩AB=A，且PA，AB?平面PAB，

所以BD⊥平面PAB；

(2)證明：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)QO，

因?yàn)锽C/?/AD，且ADBC=2，

所以AOOC=2，又因?yàn)锳QQP=2，

所以O(shè)Q//PC，且PC?平面BQD，OQ?平面BQD，

所以PC//平面BQD；

(3)由(1)可知，BD⊥平面PAB，BD?平面BDP，

所以平面PAB⊥平面BDP，且平面PAB∩平面BDP=PB，

過點(diǎn)A作AN⊥PB，連結(jié)