新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第31講 正弦定理、余弦定理（原卷版）

第31講正弦定理、余弦定理1、正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．正弦定理的常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA).2、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常見變形(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3、三角形的面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha為邊a上的高)；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．1、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02、已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊上的高．3、記SKIPIF1<0內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積．1、在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于()A．1B．2C．3D．42、已知△ABC，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．均不正確3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．24、若在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.以上都不對(duì)考向一運(yùn)用正余弦定理解三角形例1、在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，成等差數(shù)列.（1）求角B的大??；（2）若，求的值.變式1、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0變式2、記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．考查基本運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形狀例2、（河北張家口市·高三月考）（多選題）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對(duì)邊分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓半徑是4B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0一定是鈍角三角形D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0變式1、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形變式2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形方法總結(jié)：判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考點(diǎn)三運(yùn)用正余弦定理研究三角形的面積考向三運(yùn)用正余弦定理解決三角形的面積、周長(zhǎng)例3、已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.變式1、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．變式2、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c的值；(2)設(shè)D為邊BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．變式3、已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求角B；（2）求SKIPIF1<0的面積.方法總結(jié)：1．求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．1、在SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2、在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形3、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的外接圓的半徑為SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0___________.4、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0的大??；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.5、在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIP