2021-2022學(xué)年新教材湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5函數(shù)

5.4函數(shù)y=Asin（GJX+力）的圖象與性質(zhì)

1、函數(shù)y=AsM（u）x+6）的圖象及變換.................................1

2、函數(shù)y=AsM（u）x+6）圖象與性質(zhì)的應(yīng)用（習(xí)題課）.....................8

1、函數(shù)y=A5加（3x+6）的圖象及變換

1.若函數(shù)尸sin2x的圖象向左平移亍個(gè)單位長(zhǎng)度得到尸於）的圖象，則

（）

A.fix）=cos2xB.f（x）=sin2x

C.fix）=~cos2xD./（x）=—sin2x

解析：選A依題意得2x.故選A.

2.函數(shù)y=cosx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得

到圖象的解析式為y=cos3%,則幻的值為（）

A.2B.；

C.4D.1

解析：選B由題意可知得到圖象的解析式為y=cos所以G=；.

3.將函數(shù)y=sinQ-￡|的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的最縱坐標(biāo)不

變），再將所得函數(shù)的圖象向左平移尚■個(gè)單位長(zhǎng)度，則最終所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的

解析式為（）

A.y=cos$B.y=sin2x

C.y=sin%D.y=cos2x

解析：選D函數(shù)y=sinQ—（j的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;（縱

坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin12x一總的圖象，再將所得函數(shù)的圖象向左平移方個(gè)單位

長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin12Q+g_）一卷=sin^2x+^=cos2%的圖象.

4.已知函數(shù)/(x)=sin(3X+T-J(X￡R,口＞0)的最小正周期為n,為了得到

函數(shù)7U)的圖象，只需將函數(shù)g(x)=sinox的圖象()

JI、

A.向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度

O

n、

C.向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度

JI、

D.向右平移了個(gè)單位長(zhǎng)度

解析：選A由兀x)的最小正周期是n,得(0=2,即/(x)=sin(2x+9=

sin[2(x+￡，，因此它的圖象可由g(x)=sin2x的圖象向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度得

到.故選A.

5.如果兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，那么這兩個(gè)函數(shù)稱為“和諧”

函數(shù).下列函數(shù)中與g(x)=ginQ+f能構(gòu)成“和諧”函數(shù)的是()

A..*x)=sinQ+總

B._/U)=2sinQ一總

C.於)=心山修+總

D./0)=65E，+彳)+2

解析：選D將函數(shù)g(x)圖象上的所有的點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，即得到

函數(shù)?x)=q2sinQ+T，+2的圖象，故選D.

JI

6.將丁=4112%的圖象向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的曲線對(duì)應(yīng)的解析式為

工.商龍平秒T?個(gè)單位卡度(nA

斛析：y=sin2x?y=sin21x+亍〉

答案：y=sin(2x+W-)

7.將函數(shù)y=sin(2x—9的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)

(填“伸長(zhǎng)”或“縮短”)為原來的倍，將會(huì)得到函數(shù)y=

3sin（2九一]）的圖象.

解析：A=3>1,故將函數(shù)），=sin[2x—圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍，即可得到函數(shù)y=3sin（2r—5的圖象.

答案：伸長(zhǎng)3

8.已知函數(shù)凡r）=Asin^x（A>0,勿>0）的最小正周期為n,將y=?x）的圖象

上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=

g（x）?若g（5）=啦，則的值為---------

解析：?.了(x)的最小正周期為TT,.?.§=!!,二3=2,.,./(x)=AsinIx.^y

干力的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的

函數(shù)為g（x）=AsinX.飛仁卜啦，.,.g（T=Asin]=坐4=啦，：.A=2,

2sin(2X用3ny[2

/(x)=2sin2x..二=2sin丁=2X4-=&r.

答案：也

9.已知函數(shù)），=/U）的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，橫坐標(biāo)

擴(kuò)大到原來的2倍，然后把所得的圖象沿x軸向左平移■個(gè)單位，這樣得到的曲

線和y=2sinx的圖象相同，求函數(shù)y=/（x）的解析式.

解：y=2sinx的圖象

向右平移點(diǎn)個(gè)單位（n、，，

—?y=2sin（x一句的圖象

各點(diǎn)橫生標(biāo)縮小為原來的十

——-------3?y=2sin（2a—不）的圖象

縱坐標(biāo)不變\2/

各點(diǎn)城坐標(biāo)縮小為燎來的:

橫坐標(biāo)不變，=彳而（2丁一豹的圖象，

即/（x）=—/os2JC.

10.已知函數(shù)_/U）=2sin（2x—看），將函數(shù)?x）圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來

的4倍，再向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象.

JI11JI

(1)畫出函數(shù)g(x)在一可，三一上的大致圖象；

、「n3Ji]

(2)求函數(shù)?x)在可上的單調(diào)遞減區(qū)間.

解：(1)將函數(shù).*x)的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，得到y(tǒng)=2sin(gx一段)

的圖象，

再向右平移g-個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到g(x)=2singQ一曰一由=2sin俁一日的

圖象，列表如下：

1nnn3n

2X-T一工0Tn

n2n5TT8n11n

X

33333

g(x)-2020-2

n5nn5n4n

彳寸7+左n攵n/￡Z),令t攵=0,打工-WxW蹤一，令tk=l,彳寸

JVAJV_zJ

<1111

X、6，

故函數(shù)zu)在2：上的單調(diào)遞減區(qū)間為藍(lán)，號(hào)■和'F，萼'?

11.為了得到函數(shù)g(x)=cos(3x—至)的圖象，只需將函數(shù)/(x)=sin(2x+w)圖

象上所有的點(diǎn)()

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的12

B.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的楙倍

c.橫坐標(biāo)縮短到原來的2東再向右平移五n個(gè)單位長(zhǎng)度

D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的］倍，再向右平移五個(gè)單位長(zhǎng)度

解析：選A由題可得式x）=sin（2r+V}5足"+'—/■）=3（2%—總，

2

故只需將其圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的丞即可得到函數(shù)g（x）=

cos（3x—的圖象.故選A.

12.（多選）已知曲線Ci：y=sinx,C2：y=sin（2x+~y）,下列說法中正確的

是（）

A.把G向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得

至UCi

B.把G向左平移號(hào)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得

至Uc2

C.把G上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?點(diǎn)而再向左平移丁JI個(gè)單位長(zhǎng)度，得

至1J。2

D.把。上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼奈?倍，再向左平移式JI個(gè)單位長(zhǎng)度，得

2o

至UC2

解析：選BD由函數(shù)y=sinx的圖象向左平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=

sin，+g"）,再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到）＞=$指（2彳+3，故A錯(cuò)

誤，B正確.

由函數(shù)），=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅倍，得到y(tǒng)=sin2x,

再向左平移關(guān)■個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin2（x+￡j=sin（2x+f,故C錯(cuò)誤，D正

確.

13.給出下列六種圖象變換的方法：

①圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的去

②圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍；

n

③圖象向右平移了個(gè)單位長(zhǎng)度；

JT

④圖象向左平移了個(gè)單位長(zhǎng)度；

2Ji

⑤圖象向右平移亍個(gè)單位長(zhǎng)度；

2n

⑥圖象向左平移亍個(gè)單位長(zhǎng)度.

請(qǐng)用上述變換中的兩種變換，將函數(shù)y=sinx的圖象變換為函數(shù)y=

sin年+多的圖象，那么這兩種變換正確的標(biāo)號(hào)是.(按變換先后順序填

上一種你認(rèn)為正確的標(biāo)號(hào)即可)

解析：y=sinx的圖象一④~＞丫=5布，+1_)的圖象一②~\y=sin(3x+*的圖象，

或y=sinx的圖象一②--y=sin楙的圖象一⑥■n'=sinQ(x+4_)]=sin(5+lj的圖

象.

答案：④②或②⑥

14.設(shè)/(x)=4sin12x―—+4.

(1)求7U)在[o,旬JT上的最大值和最小值；

(2)把y=/(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再

2JI

把得到的圖象向左平移亍個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)〉=8儀)的圖象，求g(x)的單調(diào)

減區(qū)間.

,「n-],nFn2n

斛：⑴當(dāng)xG0,爹時(shí)，2x—亍6—y,-y.

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)/(x)有最小值，

.*x)min=*0)=4sin1—3+正=一#;

當(dāng)時(shí)，函數(shù)y(x)有最大值，

/U)max=彳*)=4sin(2X號(hào)-3+小=4+/.

(2)把)，=/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到

y=4sinQ——+小的圖象，再把得到的圖象向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=

4sin[x+g，的圖象，

所以8(%)=45皿1+胃+市.

,nn3nn7n

由2ATT+"yWx+*yW2AnkGZ,得2ATT+不WXW2ATT+-^~,kG

Z.

所以g(x)的單調(diào)減區(qū)間是2攵n+￡,24n+平'(ZWZ).

15.已知函數(shù)/(x)=2sin3x,其中常數(shù)①>0.

(1)若y=/(x)在一了，q一上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)令0=2,將函數(shù)y=*x)的圖象向左平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，區(qū)間［a,b］(a,beR且a〈b)滿足：y=g(x)

在［a,回上至少含有30個(gè)對(duì)稱中心，在所有滿足上述條件的出，切中，求b-a

的最小值.

解：(1)因?yàn)閣>0,

'nn

一彳3》一干3

根據(jù)題意有?=>0<w<7，

2nn4

所以①的取值范圍是(o,1.

(2)由/(x)=2sin2x可得，g(x)=2sin^2^r4—+1=2sin(2x+g-1+1,

(nA1n?7

g(x)=0=>sinl2x4-yl=-2^=^n-彳或x=&n-五n,&GZ,

即g(x)的對(duì)稱中心間隔依次為■和耳"，

故若y=g(x)在［a,切上至少含有30個(gè)對(duì)稱中心，

則b—a的最小值為14X^j-+15X-y=^—.

2、函數(shù)y=AsE（3x+6）圖象與性質(zhì)的應(yīng)用（習(xí)題課）

（JI111

1.已知3>0,函數(shù)7（x）=cos[3%十句圖象的一條對(duì)稱軸方程為％=§",一

個(gè)對(duì)稱中心為&o）,則①有（）

A.最小值2B.最大值2

C.最小值1D.最大值1

解析：選A由題意知白一故n,322.

31Z4Ci）

2.下列函數(shù)中，圖象的一部分如圖所示的是（）

A.y=sin卜+方

B.y=sin（2x-V

C.y=cos^4x-

D.y=cos（2x一總

解析：選D設(shè)、=加缶（3+9）,顯然A=l,又圖象過點(diǎn)（一￡,°），用，J

3?（-總+。=。，n一（n'

所以j解得3=2,。=于所以函數(shù)解析式為y=sin〔2x+w

=cos^2x—~

3.商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，某節(jié)日期間某一天商場(chǎng)的

人流量滿足函數(shù)FQ）=50+4sin與r20）,則人流量增加的時(shí)間段是（）

A.[0,5]B.[5,10]

C.[10,15]D.[15,20]

解析：選C由2An—+，，攵GZ,知函數(shù)/⑺的單調(diào)遞增區(qū)

間為[4Zn—n,4kn+n],女￡乙當(dāng)&=1時(shí)，/G[3n,5n].因?yàn)閇10,15]U[3

n,5n],故選C.

（JT、Jt

4.（2021?姜堰二中月考）已知函數(shù)?r）=sin（tux+s“3>0,x=一彳

為函數(shù)段）零點(diǎn)，直線尸亍為函數(shù)外）的對(duì)稱軸，且本）在伍知上單調(diào)，則

s可能等于（）

A.11B.9

C.8D.6

解析：選B因?yàn)閄=—5?為函數(shù).八%）零點(diǎn)，所以6oX（—3+夕=女11,kez,

又因?yàn)橹本€x=-^?為函數(shù)段）的對(duì)稱軸，所以"x/+s=〃n+-^~,"GZ,所以

co=2（n—k）+l,又?x）在[衣，行）上單調(diào)，則每一同，即3W12,當(dāng)

11nnn,

tz）=11時(shí)，一一^―+s=Zn,kGZ,因?yàn)樗詄=一彳，此時(shí).*x）在

[蔻，筌]上不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)（0=9時(shí)，一誓+9=%TT，左GZ,因?yàn)镸IW,,

所以0=；,此時(shí)人工）在（白，上單調(diào)，滿足題意，故。的值為9,則切不可

能等于11,6,8,故選B.

5.（多選）對(duì)于函數(shù)段）=cos[“x—至），下列選項(xiàng)正確的是（）

A.尸危）的圖象是由於）=COSTU的圖象向右平移?■個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的

B.y=/（x）的圖象過點(diǎn)[1,—2^

C.尸危）的圖象關(guān)于點(diǎn)信0）對(duì)稱

D.>=於）的圖象關(guān)于直線》=一，2對(duì)稱

解析：選CDy（九）=COSFix的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解

析式為Xx)=COS

當(dāng)X=1時(shí)，yu）=cos（TT—gj=-T，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

當(dāng)x=^時(shí)，年）=3（平一g，=0,y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)島，0）對(duì)稱，故選

項(xiàng)C正確;

當(dāng)x=一|時(shí)，彳一|）=以^—斗一?=-1,所以尸危）的圖象關(guān)于直線x

3

答案：$

7.如圖所示為函數(shù),*x）=2sin（a）x+s）（3>0,"yWOWm］的部分圖象，其中

A,B兩點(diǎn)之間的距離為5,那么/U）=________.

解析：由HB|=5得\Jg2+42=5,解得了=6.

,2nn

由T=\一■,3>0得

⑷3

又當(dāng)x=0時(shí)，.*x）=l,即2sindx0+，=l,

1n5n(n,5n

/.sin0=2>又，0=%~,.；/U)=2sinlyx4-^-

n,5n7n

因此，Xl)=2sin|T+~6=2sm—=2X-1.

答案：-1

8.若函數(shù)外）①>0）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為

JTrJI

了，且該函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（xo，0）成中心對(duì)稱，xoW0,了，則xo=.

解析：由/U）=sin13》+看）（①〉0）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為三=

n2n

不知T=----=n得（o=2,又圖象關(guān)于點(diǎn)5）,0）成中心對(duì)稱，得

3

nn,5n

=0,2%o+w=&n(&WZ),而x()￡0,-y,則怎)=不三.

5JT

答案：記

9.如圖為函數(shù)/（x）=Asin（a）x+9）（A>0,3>0,的一個(gè)周期內(nèi)的圖

-1O

⑴求函數(shù)/U）的解析式；

⑵求函數(shù)人x）在4》一1,2]的值域.

解：（1）由題圖，知A=2,T=7-（-l）=8,

所以①所以"x）=2sin[N-x+s）

將點(diǎn)（一1,0）代入，得0=2sin[--^-+J.

,nTT

因?yàn)樗?lt;?~,所以8=彳，

所以/W=2sin仔?工+高.

,nn3

（2）因一1WXW2,則0或平+]W111,

所以0Wsin（i"x+jWl.所以0W2sin（7x+wJW2.

所以函數(shù)/U）的值域?yàn)閇0,2].

10.已知函數(shù)?x）=3sin（5+，（0e[o,的圖象的一條對(duì)稱軸是直線x

⑴求°的值；

⑵求函數(shù)y=Ax）的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱中心.

解：（1）'."=T'是函數(shù)1A%）的圖象的一條對(duì)稱軸,

/.sinl2X—+(p\=±\,

3n

.?干+s=kn+k，ZG乙,??()<0VF，0=

oZZ~S~-

(2)由(1)知g=挈~,.*.y=3sin|3n

,.n13n

由題意得，

2Zn—kZW.Zx+donW2Rn+kZk￡Z,

7nn

即4kn一丁4W4ATT+不ZGZ,

，函數(shù)?x）的單調(diào)增區(qū)間為4Zn一午"，4ATT+/（keZ）.

,13n3n

由（一?。ǎィ?/p>

3Zx+~OV=ZnAGZK^x=2kn4eZ,

故該函數(shù)的對(duì)稱中心為12A：r[—考"，0）（%eZ）.

11.智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是：通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍

的噪音，然后通過聽感主動(dòng)降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音.已知某噪音

的聲波曲線y=2sin（x+s）（0W0<y）,經(jīng)過點(diǎn)（不，S）則通過聽感主動(dòng)降噪芯片

生成相等的反向波曲線為（）

A.y=2sinQ+VB.y=-2sin（x+總

C.y=2sinxD.y=-2sinx

解析：選B因?yàn)?U）過點(diǎn)（藍(lán)，小），所以2sin（l"+，=小，又因?yàn)椤?lt;夕；當(dāng),

所以夕=/,所以?x）=2sinQ+~^]所以反向波曲線為fi,x）=-2sinQ+~^，

12.（多選涵數(shù)/（x）=Asin（（yx+夕）（其中A>0,3〉0,|的部分圖象如

圖所示，則（）

A.函數(shù)“X）的最小正周期是2m

B.函數(shù)./)的圖象關(guān)于點(diǎn)舁，0)對(duì)稱

JI

C.函數(shù)?r)的圖象關(guān)于直線尤=7對(duì)稱

幾

D.將函數(shù)/U)的圖象向右平移不個(gè)單位后，所得的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

解析：選CD由函數(shù)圖象可知：A=2,(7=碧一]一總=手，所以丁=

2n

n,又T=\7且ty>0,所以co=2,又=-2,

nnnn

所以一日"+夕=—E+2Zn,k￡Z,解得夕=一不+2kn,k￡Z,又期忘了，則夕

=一不，所以/(x)=2sin(2x一不)

對(duì)于A,函數(shù)?r)的最小正周期是n,故A不正確；

對(duì)于B,當(dāng)產(chǎn)=亍時(shí)，2x-y=—-y=-^-,所以點(diǎn)序-,0)不是函數(shù)人。

的對(duì)稱中心，故B不正確；

,nn2nnn-

對(duì)于C,當(dāng)x=3■時(shí)，2%一不=丁一不=彳，故C正確；

對(duì)于D,函數(shù)式x)的圖象向右平移著個(gè)單位后，得.*x)=2sin[2(x一總一卷=

2sin(2x-gj=-2cos2x,所得函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故

D正確.

(nA7nn

13.已知函數(shù),/(x)=asinl2x+-yJ+l(a>0)的定義域?yàn)镽,若當(dāng)一開了&W—正

時(shí)，加)的最大值為2,則

(1)。=；

(2)該函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.

--7nn,5nnn

斛析：(1)當(dāng)一-jyWxW一五時(shí)，則一忘不，

所以當(dāng)2%+1-=["時(shí)，/)有最大值為3+l.

又因?yàn)槿畑)的最大值為2,所以5+1=2,解得a=2.

.(,n八一女nn

⑵由(1)知於)=2sin〔2x+wJ+l,令2x+*y=An,kGZ,解彳寸工=方~—7,

kGZ,

所以函數(shù)義x）=2sin（2尤+/J+1的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為與一kGZ.

又因?yàn)楹瘮?shù)式x）=2sin[2