上海市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（三模）附答案

上海市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（三模）一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知集合，，則______．2．已知，則______．3．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為_(kāi)_____．4．已知向量，，則在上的投影向量的模為_(kāi)_____．5．已知，則的最大值為_(kāi)_____．6．已知扇形的弧長(zhǎng)為，面積為，則扇形所在圓的半徑為_(kāi)_____．7．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊是a，b，c．若，且，則______．8．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，x，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為_(kāi)_____．9．若的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是______．10．已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為_(kāi)_____．11．日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，．店員認(rèn)為在彩繩扎緊的情況下，按照?qǐng)DA中的方向捆扎包裝盒會(huì)比按照?qǐng)DB中的十字捆扎法更節(jié)省彩繩（不考慮打結(jié)處的用繩量和彩繩的寬度）．則圖A比圖B最多節(jié)省的彩繩長(zhǎng)度為_(kāi)_____．12．正實(shí)數(shù)x，y滿足：存在和，使得，，，則的最大值為_(kāi)_____．二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件14．要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵椎?倍 B．每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍C．向左平移ln2個(gè)單位 D．向上平移ln2個(gè)單位15．在一個(gè)有限樣本空間中，假設(shè)，且A與B相互獨(dú)立，A與C互斥，以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①②③若，則B與C互斥A．0 B．1 C．2 D．316．設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都存在唯一的正整數(shù)m，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（）A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列C．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則為嚴(yán)格增數(shù)列D．若內(nèi)和數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分．已知向量，，其中，若，且函數(shù)的最小正周期為π．（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，若，，，求的值．18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分．在四面體中，，．（1）求證：平面ADC⊥平面ABC；（2）對(duì)角線BD上是否存在一點(diǎn)E，使得直線AD與平面ACE所成角為30°．若存在求出的值，若不存在說(shuō)明理由．19．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分．為了解人們是否喜歡跑步，某機(jī)構(gòu)在一小區(qū)隨機(jī)抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表．喜歡不喜歡合計(jì)男12820女101020合計(jì)221840（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對(duì)跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？附：，其中，（2）該小區(qū)居民張先生每天跑步或開(kāi)車上班，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，張先生跑步上班準(zhǔn)時(shí)到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為．對(duì)于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開(kāi)始，若前一天準(zhǔn)時(shí)到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開(kāi)車上班，且因公司安排，周五開(kāi)車去公司（無(wú)論周四是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)公司）．設(shè)從周一開(kāi)始到張先生第一次開(kāi)車去上班前跑步上班的天數(shù)為X，求X的分布及數(shù)學(xué)期望E[X]．20．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿8分．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、．（1）以為圓心的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，求橢圓的離心率；（2）已知，，設(shè)點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且位于x軸的上方，若是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知，，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)記作，若動(dòng)直線l也過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)（均不同于A），是否存在定直線：，使得動(dòng)直線l與的交點(diǎn)C滿足直線AM、AC、AN的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿8分．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)滿足以下①②兩個(gè)性質(zhì)中的任意一個(gè)時(shí)，則稱區(qū)間I是的一個(gè)“美好區(qū)間”．性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．（1）已知，．分別判斷區(qū)間和區(qū)間是否為函數(shù)的“美好區(qū)間”，并說(shuō)明理由；（2）已知且，若區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“美好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對(duì)于任意，都有．求證：函數(shù)存在“美好區(qū)間”，且存在，使得不屬于函數(shù)的任意一個(gè)“美好區(qū)間”．

答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，．店員認(rèn)為在彩繩扎緊的情況下，按照?qǐng)DA中的方向捆扎包裝盒會(huì)比按照?qǐng)DB中的十字捆扎法更節(jié)省彩繩（不考慮打結(jié)處的用繩量和彩繩的寬度）．則圖A比圖B最多節(jié)省的彩繩長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【正確答案】對(duì)于圖（A），沿彩繩展開(kāi)正四棱柱，則彩繩長(zhǎng)度的最小值為；對(duì)于圖（B），彩繩長(zhǎng)度的最小值為16，因?yàn)?，所以圖A比圖B最多節(jié)省的彩繩長(zhǎng)度．12．正實(shí)數(shù)x，y滿足：存在和，使得，，，則的最大值為_(kāi)_____．【正確答案】構(gòu)造，，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等腰直角三角形繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)?，所以點(diǎn)位于點(diǎn)的左上方，設(shè)，則，所以，所以，所以最大值為．二、選擇題13.B14.D15.C16.D14.D15.C16.D15.C16.D15．在一個(gè)有限樣本空間中，假設(shè)，且A與B相互獨(dú)立，A與C互斥，以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①②③若，則B與C互斥A．0 B．1 C．2 D．3【正確答案】C對(duì)于①,且與相互獨(dú)立,則

,①錯(cuò)誤;

對(duì)于②,

故,故②正確;

對(duì)于③,則,

故,即(1),

若互斥,則,滿足(1)式,故,即與互斥,故③正確.故選:C.16．設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都存在唯一的正整數(shù)m，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（）A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列C．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則為嚴(yán)格增數(shù)列D．若內(nèi)和數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列【正確答案】D對(duì)于選項(xiàng):例如,可知即為等差數(shù)列,也為等比數(shù)列,

則,但不存在,使得所以不為內(nèi)和數(shù)列,故錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:例如：數(shù)列：顯然是所有正整數(shù)的排列,可知為內(nèi)和數(shù)列,且的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列,但不是遞增數(shù)列,故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?對(duì)任意,可知存在,

使得,,

則即,所以其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列,故D正確;故選D.三．解答題17.（1）（2）18.（1）證明略（2）19.（1）否（2），分布列如下20．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿8分．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、．（1）以為圓心的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，求橢圓的離心率；（2）已知，，設(shè)點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且位于x軸的上方，若是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知，，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)記作，若動(dòng)直線l也過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)（均不同于A），是否存在定直線：，使得動(dòng)直線l與的交點(diǎn)C滿足直線AM、AC、AN的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）（2）（3）存在，（1）由題意可得：,.

（2）,橢圓的方程為:

點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),且位于軸的上方,若,則.

若,設(shè),則,,聯(lián)立解得,.若,設(shè),根據(jù)對(duì)稱性可得.綜上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(3),橢圓的方程為,把代入橢圓方程可得,解得.

設(shè)直線的方程為:,,設(shè),

聯(lián)立,化為假設(shè)存在定直線,使得動(dòng)直線與的交點(diǎn)滿足直線的斜率總是成等差數(shù)列,則,,,

代入化為:而,解得.

因此存在定直線,使得動(dòng)直線與的交點(diǎn)滿足直線的斜率總是成等差數(shù)列.21．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿8分．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)滿足以下①②兩個(gè)性質(zhì)中的任意一個(gè)時(shí)，則稱區(qū)間I是的一個(gè)“美好區(qū)間”．性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．（1）已知，．分別判斷區(qū)間和區(qū)間是否為函數(shù)的“美好區(qū)間”，并說(shuō)明理由；（2）已知且，若區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“美好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對(duì)于任意，都有．求證：函數(shù)存在“美好區(qū)間”，且存在，使得不屬于函數(shù)的任意一個(gè)“美好區(qū)間”．【正確答案】（1）是（2）（3）見(jiàn)解析（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“美好區(qū)間”．（2），由得，所以或，當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格減，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以且，無(wú)解；所以，；(3)證明：對(duì)于任意區(qū)間,記由已知得在上單調(diào)遞減,故

因?yàn)?即的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度,故不滿足性質(zhì)①,

所以若為的“美好區(qū)間”,必滿足性質(zhì)②),這只需,即只需或,

由顯然不恒成立,所以存在